Во многих задачниках задается вопрос -- "почему обжигает пар" или "почему пар обжигает сильнее, чем вода той же температуры", и дается ответ -- "потому, что происходит конденсация с тепловыделением". Но, во-первых, не всякое тепловыделение заметно поднимает температуру; нужно хотя бы простейшей оценкой показать, что эффект заметен. Во-вторых, вдумчивый школьник может выдвинуть такое возражение -- горячий металл обжигает сильнее горячего дерева, а холодный металл "холодит" сильнее камня, то есть тепловые потоки зависят от теплопроводности. Пар -- это газ, его теплопроводность много меньше, чем у жидкости, так что все должно быть наоборот.
Теплопроводность пара действительно мала, однако в целом это возражение неправильное. В этом нам еще предстоит разобраться, а начнем мы с введения понятия теплопроводности, которое употребляем интуитивно. Мы введем его для частного случая, но применяется оно шире; при этом из нашего частного вывода станет понятно ограничение, при котором можно пользоваться этим понятием.
Начнем мы с формулы Q = cm?T, которая вам известна. Здесь при чтении надо сделать короткую паузу, вспомнить, кто как обозначается и написать на бумажке размерности и убедиться, что все правильно. Попутно вопрос -- позволяет ли проверка размерностей убедиться в полной правильности формулы?
Нет, в формуле может быть безразмерный коэффициент -- он не влияет на размерность. В данной формуле его нет, а почему? Например, в законе Ньютона и Ома его нет, в законе всемирного тяготения он есть, но размерный, а в законе Кулона есть и размерный, и безразмерный -- почему? Подумайте об этом на досуге.
Кроме того, вам известно понятие потока тепла, которое вы, скорее всего, определяете так: N = ?Q/?t, где t -- естественно, время. Заметим, что одни и те же, по сути, величины, в разных разделах физики могут называться по-разному. Как называются Q и N в "механике" и электричестве?
Заряд и мощность.
Когда определение дается с "дельтами", например, как здесь N = ?Q/?t или как в "электричестве" I = ?Q/?t, подразумевается, что ?t можно брать любое, то есть ?Q пропорционально ?t, и, какое бы мы ?t не брали, отношение получится то же. Поэтому это определение уже предполагает, что мощность (или, соответственно, ток), постоянны. Иначе надо было бы писать N = dQ/dt, I = dQ/dt, дифференцировать, вводить понятие "мгновенной мощности" и "мгновенного значения тока". Но в школе про переменное N вообще не упоминается, а определение тока дается для постоянного тока. Но это формальные вещи, а вот теперь нам потребуется серьезное физическое предположение.
Рассмотрим прямой цилиндр (не обязательно круговой), длиной L и сечением S. Пусть на торцах цилиндра температуры постоянны, разность температур между торцами равна ?T, боковые поверхности теплоизолированы, то есть поток тепла через них равен нулю. Пусть в этих условиях поток тепла вдоль цилиндра равен N. Если пристроить к такому цилиндру еще один такой же с потоком N, получим удвоение L и удвоение ?T. А если пристроить сбоку, то получим удвоение N и S.
Таким образом, N оказывается пропорционально S?T/L, то есть N = ??TS/L, где ? -- коэффициент пропорциональности, его как раз и называют теплопроводностью. Определите размерность коэффициента теплопроводности и подумайте, какое предположение мы не сделали, а без него наша формула не то, чтобы совсем ошибочна, но на экзамене придраться можно.
Размерность ? -- Вт/мК, а предположение одно серьезное и два не серьезных. Не серьезные -- что S и L -- константы, не зависящие от ?T. В данном случае это канает за отмазку, потому что при нагреве на 300 K они изменяются обычно не более, чем на 0,3%. Это не означает, что тепловыми расширениями можно пренебрегать в других случаях!
А серьезное предположение, это что ? -- константа. Для многих материалов это не так, при нагреве на 300 К теплопроводность может и увеличиться на треть, и уменьшиться на 30%, а это обычно существенно. Складывая два цилиндра вдоль, мы не только увеличили вдвое ?T, но и увеличили сами значения Т, а на возможную зависимость ?(Т) внимания не обратили. Но для нашей конкретной задачи это не важно, большие нагревы мы, понятное дело, не рассматриваем.
Формулу N = ??TS/L полезно запомнить. Хоть мы ее вывели для простейшей (одномерной) задачи, но она бывает полезна всегда, когда теплообмен "вбок" мал. А при применении теплоизоляции (одежда, строительство) это бывает чаще всего. Теперь вернемся к нашей задаче. Пусть у нас есть полупространство, то есть рука человека (опять, естественно, одномерная задача), но границу которого падает тепловой поток N, приходящийся на площадь S. В нашем случае этот поток создается конденсацией пара, на площадь S падает поток вещества Ѕ (размерность кг/с) с теплотой фазового перехода r (Дж/кг). Настоящим решение была бы функция ?T(x, t), говорящая, на сколько нагреется глубина x за время t. Получение решения в таком виде требует решения уравнения в частных производных, а мы этого не умеем. Поэтому рассмотрим самое сложное приближение, с которым мы справимся математически, и оно же самое простое, позволяющее получить разумный ответ. Совпадение этих двух приближений -- принципиально важный момент. В физике это случается далеко не всегда, поэтому серьезное знание математики необходимо для серьезного занятия физикой; но в данном случае нам повезло. Будем считать, что температура падает в глубину линейно.
Пишем очевидные уравнения: N = Ѕr, Q = Nt, Q = cm?T/2, m = cSL, N = ??TS/L, здесь Q -- тепло, m -- масса, ? -- плотность. В уравнении для Q деление на 2, потому, что мы использовали модель с линейной функцией и непрерывной функцией ?T(x). Менее реалистичной была бы модель ?T(x) = const при 0 < x < L, в этом случае исчезло бы деление на два.
Ну вот, решаем эту систем и получаем ?T(t) = (Ѕr/S)(2t/c??)1/2. Прежде чем радостно подставлять числа, надо проверить размерность и разумность результата. Размерность проверьте сами, а разумностью займемся вместе. То, что спереди стоит (Ѕr/S) -- это правильно, это просто плотность мощности. То, что она в первой степени -- следствие "линейности задачи", постоянства ?. Энергии и мощности суммируются, и кстати, если они ноль, то никакого нагрева. Дальше -- интереснее, время вошло под корнем. Так как энергия, введенная в систему, то есть Q, растет со временем линейно, это значит, что как t1/2растет не только ?T, но и L. Да, из наших уравнений получаем L = (2?t/c?)1/2. Эту формулу полезно запомнить, она позволяет оценить на какое расстояние распространится тепло за какое-то время, если мы знаем параметры среды.
Теперь займемся цифрами. Возьмем r = 2,2 МДж/кг, S = 1 см2, t = 0,2 c, ? = 103 кг/м3, с = 3000 Дж/кг•К, ? = 0,5 Вт/м•К; две последние цифры для мяса находим в Интернете, остальное очевидно. Но теперь у нас проблема с Ѕ, как вы думаете, можно было бы ее оценить? Есть три варианта -- экспериментальный, смешанный и теоретический. Попробуйте сами их придумать.
Экспериментальный. Внести в поток пара из носика чайника блюдце или чашку на секунду и посмотреть, сколько воды на ней конденсируется. Второй вариант -- посмотреть, за какое время выкипает некоторое количество воды и пересчитать это в поток вещества. Третий -- просто вычислить это, исходя из мощности чайника. Первый вариант имеет в бытовых условиях низкую точность, третий плох тем, что мы не знаем КПД чайника.
Но в общем все три способа дают примерно одинаковые ответы, от 10-4 кг/c до 3•10-4 кг/c. Но не вздумайте это прямо подставлять! Это же поток на уровне "дульного среза", то есть на самом носике. Реально ближе 10 см от носика руку никто не проносит, тогда надо сбросить еще полтора порядка, квадрат отношения этого расстояния к диаметру отверстия в носике 2 см. Ибо мы живем в трехмерном пространстве, вы же помните про квадрат во всемирном тяготении и Кулоне, да? И в итоге получается для перегрева ?T разумная цифра -- 60 К. И это за 0,2 секунды, так что будьте осторожнее!
