# Лестница, статически неопределимая

Леонид Александрович Ашкинази

Лестница, статически неопределимая


Вот задача, которую -- насколько я помню -- решали школьники еще в Древнем Египте. К стене прислонена лестница, найти действующие на нее силы. Поскольку вы сейчас не в школе, а читаете журнал "Квант", вам ничего не "дано" -- сообразите сами, что вам нужно.


Если у вас есть нормальный для школьника опыт решения сотни-другой задач по механике, вы мгновенно скажите -- масса, ускорение свободного падения, длина, угол, коэффициент трения. Если у вас этого опыта нет, но вы усвоили школьный учебник, вы скажете то же самое, но не так быстро. Однако вы, возможно, сделали несколько ошибок. Вы не сказали, что стена, пол, короче -- весь дом, не имеет ускорения. Действительно, если он имеет ускорение g вниз, то все силы равны нулю, а если нет -- то нет, правда? Далее, длину вы упомянули зря, она в ответ не войдет, хотя бы потому, что размерность ее -- метры, а ответ должен быть в ньютонах. А значит, он может зависеть только от mg и от безразмерных величин. Кто у нас в этой задаче безразмерные? Это коэффициенты трения и -- внимание -- отношения длин, например, длины лестницы, расстояния ее низа от стены и расстояния ее верха от пола. Эти отношения войдут в ответ, скорее всего, как тригонометрические функции угла. И не надо спрашивать, какого! Потому, что любого из двух. Ну и, если вы очень осторожны и предусмотрительны, вы еще упомяните про положение центра тяжести.


Все эти соображения должны промелькнуть у вас в голове до того, как вы начнете писать уравнения. Такой предварительный взгляд на задачу всегда полезен, даже если он приблизителен и не точен. Сравните передвижение по незнакомому помещению в полной темноте и при не идеальном -- но все же освещении.


Теперь мы, как хороший послушный школьник, рисуете все силы, пишите уравнения "сумма сил по горизонтали", "сумма сил по вертикали" и сумма моментов относительно центра тяжести" равны нулю и -- о ужас -- у вас три уравнения и четыре неизвестных. Это караул, причем такой караул, что всем караулам караул. У составителей задач есть способ бороться с этой ситуацией -- придушить одно неизвестное, в данном случае -- объявить, что трение в верхней точке контакта отсутствует, дескать, ? = 0. Естественно, это отключает одну из сил, но где вы видели стену без коэффициента трения? Кстати, очевидно ли, что объявлять ? = 0 в нижней точке может быть опасно для жизни?


Эта задача -- одна из многих так называемых "статически неопределимых задач". Так называют задачи статики, в которых количество неизвестных больше количества уравнений. В школе обычно рассматривают плоские задачи статики -- всего лишь потому, что картинки к ним легко рисовать на плоской поверхности, на бумаге, доске или экране. В таких задачах уравнений три -- два "сумма сил вдоль оси равна нулю" и одно -- "сумма моментов равна нулю". Кстати, подумайте, сколько уравнений будет для трехмерной задачи статики.


Понятно, что в реальной жизни что бы с телами не делали, как бы их не располагали, все силы в итоге приобретают какие-то значения. "Нерешаемость" этих задач возникает потому, что мы чем-то пренебрегли, и для решения нужно это что-то учесть. Но учтите -- если мы это "что-то" учтем, и задача получит свое решение, это будет означать, что мы решили данную задачу, и лишь в данном приближении. Это "что-то" -- деформации элементов системы. При рассмотрении какой-либо другой задачи, или даже при увеличении требований к точности решения может потребоваться учесть что-то еще. Рассмотрим простой пример, а потом вернемся к нашей лестнице.


Пусть балка висит на двух тросах, нужно найти их натяжения. Задача тривиальна, горизонтальных сил нет, так что уравнений два и неизвестных тоже два. Приделываем третий трос и наступает караул.


Попробуем учесть деформации -- но чьи? Деформации тросов в школе подчиняются закону Гука, а деформацию балки в школе не посчитать. Поэтому ограничимся тросами, их деформация показана условно в виде пружин. У нас прибавится 6 известных величин -- начальные длины и коэффициенты в законе Гука, три неизвестных -- итоговые длины и три уравнения -- зависимость длин веревок от натяжений, то есть уравнения закона Гука, но не в виде "F = kx", а в виде L = L0 + N/k, где L0 -- начальная длина, N -- натяжение, k -- коэффициент жесткости. Но нам не хватало одного уравнения, не хватает его и сейчас. Не видите ли вы на рисунке еще одного уравнения?


Уравнения этого типа называют уравнениями совместимости деформаций. То есть деформации элементов конструкции как-то связаны, размеры элементов конструкции не могут быть произвольны. Например, если точки закрепления тросов на балке лежали на одной прямой, то они и будут лежать на прямой, и если деформации невелики, то тросы параллельны и итоговые длины связаны тривиальным уравнением. Это и будет седьмое уравнение, которого нам не хватало.


Задачу можно решить и при больших деформациях, просто решение будет длиннее. Можно рассмотреть и широкий диапазон начальных длин и коэффициентов жесткости, причем в этом случае можно написать программу, которая будет подвешивать балку на тросах прямо на экране, и показывать нам поведение при варьировании исходных величин. Весьма няшная получится прога.


Вернемся к лестнице, но с ней ситуация будет сложнее -- тросов, к которым естественно применить Гука, нет. Первое, о чем можно задуматься -- откуда берется сила трения покоя, каков ее механизм. Ответ лежит внутри школьного курса, нужно только его применять. Третий закон Ньютона говорит нам, что если сила трения действует не тело, то такая же по модулю сила действует на тело, а закон Гука (при жизни эти двое враждовали, а их результаты теперь трудятся совместно) сообщает, что в этом случае должны быть деформации.


И действительно, поверхностные слои тел деформируются -- и того, которое собирается скользить, и того, на котором оно лежит. Тут есть одна тонкость -- закон Гука в школе формулируется для деформации растяжения и сжатия, когда слои вещества перемещаются примерно так, как при распространении продольной волны -- помните картинку из учебника? А при трении вещество перемещается хитрее, комбинируя и "деформации растяжения-сжатия" и так называемые "деформации сдвига", при которых слои перемещаются так, как при распространении поперечной волны -- помните картинку?


А теперь -- вот наша лестница, сначала просто приложенная к стене и полу, а потом мы включили тяготение, и она потерлась о стену и пол и слегка переместилась. Будем считать лестницу жесткой, то есть ее деформацией пренебрежем, и ее длину будем считать постоянной. Тогда получаем соотношения Fн = kнYн и Fв = kвYв, где k -- коэффициенты жесткости по отношению к сдвигу, Y -- смещения, Н и В -- индексы, означающие "нижний" и "верхний". Вот мы и получили наше четвертое уравнение Fн / Fв = Yн / Yв = tg ?.


Каково может быть дальнейшее развитие и уточнение этой модели? Первое, самое простое и очевидное -- учесть деформацию лестницы. Для этого надо сообразить, какая продольная сила ее сжимает, ввести коэффициент жесткости лестницы и переделать последнее уравнение, учтя изменение ее длины. Второй, более сложный ход, учесть не только деформации сдвига, но и деформации сжатия, как показано на рисунке, введя четыре коэффициента жесткости, два для сдвига и два для сжатия, и связав их с силами по Гуку.


Уравнения пишутся легко и -- ах, какую красивую программу можно будет соорудить... вводим цифры и прямо на экране лестница прислоняется, проминает пол и стену, скользит по ним и останавливается. Или удивленно падает.


А если говорить серьезно, то, решив физическую задачу -- если вы всерьез решили заниматься именно этой великолепной наукой -- нужно поразмыслить, чем и почему мы пренебрегли и как бы что-то из этого учесть. Чтобы нам было чем заняться и через час, и завтра, и всегда.