# Динамическое моделирование в процессе обучения математике (Новые принципы обучения, средняя школа)

Евгений Михайлович Гуреев

динамическое моделирование математических объектов как средство и цель образовательного ПРОЦЕССА


Вступление.

Важнейшими проблемами образования, в частности - математического, являются проблемы заинтересованности учащегося в изучении того или иного материала и возможности его эффективного усвоения.

Если степень заинтересованности определяется в первую очередь  общекультурным уровнем учащегося,  качеством и глубиной его ценностных установок (которые зависят, прежде всего, от родителей, затем - от следующих уровней окружения: товарищей, СМИ, школы) и лишь во вторую очередь -  трудностями усвоения (понимания) учебного материала,  то сама проблема "усвоения" связана с определенной методикой работы с изучаемым материалом. А именно: понять и "усвоить" некий объект  (или совокупность объектов как объект) относительно некоего множества задач (т.е. уровня понимания) это значит, свободно оперируя процессом моделирования объекта и связанных с ним других объектов, переходя от одного уровня моделей к другим, добиться, если не решения каждой из этих задач, то, хотя бы, - возможности применения известных методологических подходов  для их решения. Автор данной статьи считает процессы моделирования (а еще точнее - динамического моделирования) основными в учебной и исследовательской работе на уроках математики и во внеурочное время на всех ступенях школьного образования.

Прежде чем перейти непосредственно к вопросу о моделировании в ходе учебного процесса я должен сделать несколько предварительных замечаний.

Оппоненты такому подходу, как правило, мотивируют свою позицию тем обстоятельством, что "любой учебный процесс уже сам по себе есть использование различных моделей - так чего же изобретать колесо?". Однако это "колесо" учебного процесса всё ещё представляет собою довольно разреженный конгломерат случайных и разрозненных математических моделей, в то время как моделирование предполагает систему взаимно обусловленных математических моделей различного уровня и осознанное использование учащимися этой системы (осознанный переход от моделей одного уровня к моделям другого уровня - это и есть процесс моделирования!), понимание методологии моделирования.

Вот что пишет Л.М. Фридман о моделировании как содержательном элементе образования: "модельный характер изучаемых понятий ... представляет педагогическую проекцию изучаемых наук, а вся наука есть система развивающихся знаний об определенной области или стороне действительности... процесс моделирования стал одним из основных методов научного исследования, ... обладает огромной эвристической силой, позволяет свести изучение сложного к простому, неосознанное и неосязаемое к осознанному и осязаемому.... Как показывают эксперименты, явное введение в  содержание образования  понятий модели в научном познании существенно меняет отношение учащихся к самому учебному процессу, делает их деятельность более осмысленной и продуктивной.... Исследования показали также возможность овладения методом моделирования учащихся младшего школьного возраста". Приведем еще одно высказывание А.Н. Хинчина в связи с привычной практикой получения формальных математических знаний, игнорирующей "модельный подход": "Не менее тяжким следствием формализма математических знаний мы должны, наконец, признать почти полную мертвенность, бесполезность такого рода знаний в формировании научного мышления".

Как яркий пример того, к чему приводит пренебрежительного отношения к моделированию в учебном процессе, является печальный итог экспериментов по введению новых программ и учебников математики в 60-х - 70-х годах прошлого столетия. Напомню, что была произведена попытка внедрить в математику теоретико-множественный подход без понимания того, средствами каких математических моделей можно было этого достичь. В результате идея преподавания математики на теоретико-множественной основе была скомпрометирована, а сама школьная математика оказалась в сумеречном состоянии (были разрушены и доказательная и наглядная базы), из которого она до сих пор не вышла.


Моделирование

Так что же понимает автор под моделированием и под динамическим моделированием в частности.

Сначала остановимся на моделировании как таковом.

Анализ литературы, в которой применяется термин "модель", показывает, что этот термин употребляется в двух значениях: 1) в значении теории и 2) в значении объекта (или процесса как частного случая объекта), который этой теорией отражается. Т.е., с одной стороны, модель носит абстрагирующий по отношению к объекту характер (абстрактная модель), а с другой конкретизирующий (конкретная модель). Последовательно рассматривая основные значения термина "модель",  автор монографии "Моделирование и философия" В.А. Штофф предлагает следующее определение: "Под моделью понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая и воспроизводя объект, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте". Отвлекаясь от целевой компоненты понятия "модель" и имея в виду школьную математику, в которой "модель" могла бы быть не только средством, но и объектом изучения, дадим следующее определение модели: "Отвлекаясь (абстрагируясь) от некоторых свойств объекта, получаем абстрактную модель. Приписывая объекту дополнительные свойства (материал моделирования), получаем конкретную модель". А сами процессы отвлечения (абстрагирования) и приписывания (оснащения) назовем процессом моделирования.

Сразу же отмечу, что операции "отвлечения" (абстрагирования) и "оснащения" хорошо усваиваются уже младшими школьниками и не просто на уровне обычного понимания, а на уровне операбельного понимания, позволяющему ученику конструктивно оперировать этими понятиями в таких тонких вопросах как вопросы аксиоматики, определения вектора и способов его задания.

В качестве примера моделирования рассмотрим модели точки.

Возьмем некоторое физическое тело, в общем случае движущееся относительно некоторой системы отсчета. Остановим тело /хотя бы с помощью фотографии или мысленной фиксации/. Отвлечемся /абстрагируемся/ от размеров этого тела, для чего в качестве вспомогательного средства осуществляем мысленное стягивание тела к тому, что мы. предполагаем его центром.

Если  выбранное тело - одушевленное, получаем "воспринимающую точку". Можно рассмотреть и такие градации как: осознающая точка, волевая точка и т.д.  Если  мы отвлечемся от психических и биологических свойств воспринимающей точки, то получим "материальную точку" Отвлекаясь от всех физико-химических свойств материальной точки, за исключением ее кинематических свойств, получаем "кинематическую точку". Отвлекаясь от всех механических свойств кинематической точки /т.е. свойств описываемых с помощью понятий, связанных с движением: времени, скорости, траекторий и т.д./,получим "пространственную точку".

Получается следующий ряд: воспринимающая точка, материальная, кинематическая, пространственная. Далее идут: геометрическая (стандартная интерпретация - в виде пространственной точки, как ее конкретной модели, но возможны и иные интерпретации), синтактическая точка (она обладает лишь одним свойством - именем, отличающим ее от других). Впереди этого ряда следует добавить физическое тело или явление.

Что же дают все эти модели в плане программы ознакомления,  изучения, преобразования объекта-оригинала? Кинематическая и пространственная модели являются источником гипотез по отношению к геометрической системе, а также имеют эвристическое значение для установления функциональных зависимостей между геометрическими величинами и для поиска доказательства выдвинутых гипотез. Воспринимающая модель может быть эффективно применена в программе ознакомления: например, "разумно движущиеся точки" являются хорошей иллюстрацией различных видов точечных преобразований, оживляют обстановку, позволяя привлечь внимание учащихся, для которых математика "бесчеловечна, суха, неодушевленна", но самое главное состоит в том, что конкретизирующее моделирование таких точек позволяет в качестве моделей использовать человека /в том числе - ученика/,тем самым используя богатый детский  жизненный опыт и порождая множество ассоциаций.

Для школьников 10-14 лет это выглядит следующим образом. Например, берем неподвижный кусок мела и отвлекаемся от всех его физико-химических и "бытовых" (назначение мела) свойств (перечисляются некоторые: цвет, вес, движение и т.д. -  и когда объем отвлечения становится ясен, следует продолжение), затем отвлекаемся и от его размеров, мысленно стягивая кусок мела к предполагаемому его центру. В результате этого отвлечения получается (в нашем воображении) "пространственная точка". Таким образом,  дается "определение" пространственной точки, находящееся за пределами математической системы (но - в пределах общенаучного поля, на уровне которого можно указать, что единственной свойство, которое осталось у точки - это ее месторасположение). Кусочек  мела является (конкретной) моделью точки, а материалом моделирования является оснащение точки физико-химическими свойствами.

Сама же точка, в случае необходимости, может быть названа абстрактной моделью мелового кусочка. Аналогичная необходимость в абстрактном моделировании возникает, например, при изображении городов на географической карте в виде моделирующих их "точек" или кружочков. Впрочем, "точка" на карте - это, если быть точным, не сама точка, а ее конкретная модель. В результате имеем композицию двух моделирований: абстрагирующего и конкретизирующего. Поэтому изображение на карте являет пример "двухступенчатого смешанного моделирования".

Другой пример: натянем нить, отвлечемся от ее физико-химических и целевых свойств, от толщины нити и будем мысленно продолжать ее по направлениям - учитель показывает эти направления - до бесконечности, тем самым приписывая ей свойство неограниченной протяженности. Получим прямую линию (геодезическую). Третий пример (после определения направленного отрезка, его длины и направления): берем направленный отрезок и отвлекаемся от всех его свойств, за исключением тех, что связаны с длиной и направлением (например, - от концов, от принадлежности точки этому отрезку и др.). Получаем вектор. Направленный отрезок - его модель.

Используем и  синтактические модели. Например, фраза "начало вектора АВ" означает сокращение фразы "начало направленного отрезка АВ, изображающего вектор" - здесь мы оперируем с двумя синтактическими моделями.

Автор подробно осветил эти, казалось бы, совсем незначительные примеры, чтобы показать, как в самом начале изучения геометрии (или другой математической дисциплины) можно не только очень точно, глубоко,  тонко и доступно изложить собственно математический материал, но и доступным образом приобщать ученика к семантике, к научной методологии, к методологии науки. Опыт автора, относящийся еще к концу 70-х, началу 80-х годов, показывает, что дети упомянутого возраста свободно овладевают не только понятиями модели, моделирования и привыкают к ним, но и глубоко осваивают фундаментальные понятия, лежащие в основе математики. Использование моделей оживляет урок.

Из приведенных выше простейших примеров уже видно, куда можно идти дальше. Традиционно ложно понимаемые "неопределяемые понятия", сбивающие ученика с толку, формирующие у него неправильные методологические позиции. Ни о чем ему не говорят и, так называемые, основные понятия, если, конечно, отталкиваясь от последних не пойти на вполне доступном модельном уровне к аксиоматической системе построения геометрии. Уже в возрасте шестиклассника ученик вполне в состоянии приобщиться к пониманию системы, как некой "индивидуальности", взаимодействующей с другими, уже на примере точки осознавая, что любое понятие имеет определение относительно одной системы (например, общенаучной), а в другую систему (например, геометрическую) входит как неопределяемое. От понимания системы идет и понимание необходимости для каждой системы собственного словаря и собственного синтаксиса. При безмодельном подходе такое осознание, в лучшем случае, свершается у наиболее продвинутых учеников и лишь в старших классах.

Не только об определении точки может поговорить учитель (выходя на родовые и безродовые-аксиоматические определения, а также и на конструктивные, чего школьнику уже вполне достаточно), но и попросить привести примеры различных моделей. Отсюда идет многосторонний выход в другие науки: можно и понятие геодезической линии ввести и об искривленных пространствах поговорить... Динамические напряжения, лежащие в основе геометрических моделей, дают возможность разобрать взаимосвязь пространственных отношений с физическими свойствами материи, заполняющей пространство. С точки зрения динамических моделей, отрезок не из точек состоит, а из остановок и движений, а на несколько ином модельном уровне - из точек и интервалов. Отрезок же, состоящий из точек - это иная модель. Разница между этими моделями и выражается в апориях Зенона, которые, при указанном подходе, также становятся доступными для анализа учащимися. Теоретико-множественный подход, скомпрометировавший себя в школьной математике, вызван был не недоступностью его для детей, а отсутствием надлежащих моделей для его интерпретации. Динамическая модель снимает эти трудности. Например, зрительно равные интервал и отрезок (т.е. равные на уровне зрительных статичных моделей) становятся различными, если интерпретировать точку как остановку в движении. Если закон движения позволяет заходить на концы геометрической натянутой нити, то получаем отрезок. Если же нить оснащена иным законом, позволяющим приближаться к концам, и запрещающим на них заходить, то получаем интервал. Конечно, отрезок и интервал получаются из натянутой нити не только в результате абстрагирования, но и в результате оснащения законами движения по ним, но все эти операции оказываются доступными для учащимся.   Указанное выше определение вектора также снимает все существовавшие ранее логические и семантические проблемы вокруг этого понятия.

Акцентирую внимание читателя на том, что во всех отмеченных примерах и дальнейших использование процесса моделирования является явным.


Динамическое моделирование

Прежде чем охватить все перспективы применения моделирования в процессе школьного образования, обратимся к "динамическому" моделированию и задержимся на некоторых теоретических вопросах моделирования.

Методические исследования, позволяющие рассматривать возможность

динамизации математических объектов как одного из средств формирования активной умственной деятельности учащихся отражены в работах Л.М. Фридмана, И.М. Яглома, А.В. Василевского и других.

Под динамизацией понимается, прежде всего, процесс исследования математических объектов и их структур с помощью изменения базисных элементов или определяющих их параметров, установление функциональных связей и инвариантов.

Например, в авторской концепции А.В. Василевского лежит, в основном, функциональная сторона динамизации математических объектов.

С точки зрения автора данной работы, несмотря на новизну предлагаемого подхода и других достоинств, В.Василевский и его ученики ограничивают применение динамического подхода, рассматривая в качестве объектов динамизации лишь математические объекты (геометрические фигуры, алгебраические выражения...), и рассматривая их лишь в контексте решения задач (или классов задач). Методы динамизации ограничены необходимостью введения числовых параметров, а сам процесс оторван от процесса моделирования.

Таким образом, стоит проблема возможного расширения объектов  и

методов динамизации, а также расширение условий, при которых динамизация раскрывает все свои возможности.

В качестве объектов динамизации можно брать различные типы моделей тех или иных понятий и не только чисто геометрических, но и синтактических, например.  В качестве объектов можно использовать  высказывания и умозаключения ...

Динамизации возможна не только на стадий решения задач, но и на стадий работы над понятием, над доказательством и т.д.

Вообще говоря, проблема динамизации в математике может рассматриваться в двух аспектах: во-первых, динамизация в математике может рассматриваться как цель /при этом формулируются и решаются специальные динамические задачи, вводятся специальные термины/;

во-вторых, динамизация в математике может рассматриваться как

средство постановки новых проблем, формулировки новых задач на различных этапах учебной деятельности.

Таким образом, исследование по тематике динамического моделирования становится актуальным в условиях тех новых задач, что ставятся перед учебно-воспитательной деятельностью учителя.

С нашей точки зрения, моделирование должно стать как элементом содержания образования, так и учебным действием и учебным средством. (Гуреев Е.М.. "Элементы содержательной геометрии и экспериментальная работа в 5-6-х классах средней школы", "Первоначальные понятия геометрии в 5-6-х классах" /"Опыт, проблемы и перспективы дифференциации математического образования" - областная научно-практическая конференция учителей математики, Самара 1996).

Мы видим, что учащийся, решая  методом проб и ошибок уравнение  /х-2/=5,  не в состоянии произвести непрерывное, в меру быстрое перемещение пот числовой оси с необходимым задержками на отдельных на числах для проверки, являются ли они корнями уравнения. Мы видим, что учащийся либо не в состоянии приблизиться на оси к тому числу, которое окажется корнем, либо "проскочит" его. Это значит, что он не владеет методом динамического моделирования как множества чисел, так и динамическим моделированием вообще.

Итак, можно констатировать два факта: большинство учеников типичной средней школы не только не выработали умений и навыков моделирования и динамического подхода в процессе изучения математики, но и имеют весьма смутное представление о том, что это такое.

Исследования показывают:

1. Динамическое моделирование развивает математическую интуицию и  само является эвристическим приемом, выходящим за пределы собственно математики.

2. Надлежащий подбор динамических моделей с учетом возрастных особенностей учащихся позволяет опустить возрастную планку для целостного усвоения связанной между собой группы понятий (например: степень, корень, логарифм), предоставляет новые возможности для опережающего обучения и пропедевтики.

3. Динамическое моделирование развивает мышление учащихся, формирует методологические принципы учебной и исследовательской работы.

4. Оно позволяет дифференцировать обучение учащихся и интегрировать различные темы.

5. Позволяет безболезненно использовать в школьном курсе теоретико-множественный и аксиоматический подходы, более широко использовать точечные и иные преобразования.

6. Расширяет возможности составления исследовательских программ, выявляет новые возможности для обучения учащихся составлению и решению задач, в том числе - и нестандартных.

7. Позволяет ввести в учебный процесс математический эксперимент (а не ту примитивную видимость эксперимента, который часто можно видеть в учебном процессе), четко выделить содержательную и логическую составляющие изучаемой темы, осуществить многоуровневый подход к обучению учащихся как содержательной, так и логической составляющих и их использованию.

8. Эффективность динамического моделирования зависит от динамического опыта  ребенка в дошкольный и младший школьный периоды своей конструктивно-познавательной деятельности (ребенок, который работал в детстве с различными подвижными моделями на сознательном или бессознательном уровнях, рисовал различные конструкции, уже обладает начальными навыками динамического моделирования и очень легко входит в среду динамического моделирования в процессе учебной деятельности).


Классификация моделей

Для учебного процесса, по мнению автора этой статьи, важна следующая классификация учебных моделей: абстрактная, конкретная, интерпретирующая, стандартная, слиянная, целостная, динамически полная, искусственно-аналитическая, естественно-синтетическая.

В связи с тем, что абстрактная модели соответствует множество конкретных, есть необходимость выделения одной из них в качестве стандартной модели.  Например, разжатые пальцы представляют стандартную модель числа; в качестве стандартной числовой модели уравнения "aх=b" можно положить "2·3=6". Остальные модели мысленно образуются из стандартной путем динамических операций.

Слиянность модели с оригиналом означает наличие минимального количества отвлечений или приписываний при переходе от модели к оригиналу и обратно.

Целостная модель или система моделей предполагает наиболее полное выявление всех свойств объекта-оригинала в соответствии со всеми программами ознакомления, изучения, преобразования, развития интуиции в совокупности.

Будем считать модель /систему моделей/ некоторого класса объектов (явлений, процессов), объединенных некоторым общим  понятием, динамически полной моделью /системой моделей/ относительно программы работы с этими объектами, если:

1.  эта модель /система моделей/ позволяет выявить условия ее становления, а также разрушения как референта указанного понятия (т.е. объекта, соответствующего понятию)  путем надлежащих ее преобразований. Например, достаточная степень подвижности модели трапеции позволяет выяснить, при каких условиях трапеция исчезает, вырождаясь в параллелограмм или в иной четырехугольник, а при каких этот четырехугольник становится трапецией. Если имеем шарнирную "трапецию", то для выявления указанных условий к ней нужно добавить подвижные модели иного вида - вместе они и составят динамически полную модель.

2. позволяет выявить: а) степень свободы референта, б) ведущие элементы/параметры/,  изменяющиеся согласно выявленной степени свободы независимо друг от друга и определяющие изменение других элементов, в) область изменения этих ведущих элементов.

З. Эта модель /система моделей/ позволяет использовать столько степеней свободы и такую часть области изменения ведущих элементов, какие необходимы, чтобы в процессе преобразования охватить все частные и общие свойства референтов понятия с привлечением в случае необходимости, мысленной экстраполяций и теоретического обобщения для выполнения  заданной программы.

Различие между целостной моделью и динамически полной состоит в том, что целостная модель охватывает все возможные программы, в то время как динамическая - лишь выделенные программы.

Искусственно-аналитическая модель при первичном взаимодействии с субъектом моделирования предстает как возникшая от определенной компоновки своих частей (например, шарнирная модель параллелограмма - учитель в первую очередь знакомит учащихся с устройством модели).

Естественно-синтетическая модель при первичном взаимодействии с субъектом моделирования предстает как целостный элемент, вырванный из окружающего мира (например, физическое тело как модель точки, компьютер в нынешние времена как модель функционального оператора).

При классификации динамик можно ограничиться двумя: собственная динамика и несобственная. Собственная - это динамика перемещения по объему понятия. Например, динамика параллелограмма, осуществляясь на подвижных моделях, позволяет получить прямоугольник, квадрат и т.д. Несобственная - ее осуществляет наш разум, перемещаясь по элементам динамически неподвижной модели. Например, кончик карандаша перемещается по линии и останавливается, получая точку, лежащую на линии.

Остановимся на отдельных моментах динамического моделирования.


1.  Динамические модели-игрушки. Констатирующее исследование показывает, что у детей, с раннего детства общавшимися с различными подвижными механизмами, игрушками, имеющими большое количество степеней свободы (например, обычные школьные палочки для первоклассников), вырабатывается стереотип динамического познавательного поведения. В противном случае вырабатывается стереотип нединамического поведения. Вот почему очень важно, чтобы дети дошкольного и раннего школьного возраста имели общение с динамическими конструкциями. Автор данной статьи клал на ученические столы различные подвижные модели геометрических фигур и во время урока ученики, слушая учителя, непроизвольно общались с этими моделями. Я убежден, что динамические свойства фигур усваивались детьми на уровне подсознания и, тем самым, способствовали и развитию геометрической интуиции. В этом плане показательно, что в дальнейшем эти учащиеся,  рисуя, как это иногда бывает на уроке,  картинки в каком-нибудь "укромном" месте,  изображали на них не человечков, а геометрические конструкции в различных динамических состояниях.


2.    Пример моделирования в младших и средних классах.

Решаем уравнение "135,5х = 542". Первый этап - абстрагирующее моделирование, в результате - используется стандартная модель  "ах = b". Желательно, чтобы эта абстрактная модель была "слиянной", т.е.   зрительно накладывалась на данное уравнение (в дальнейшем первый этап можно элиминировать на подсознательный уровень, пропустить).. Второй этап - конкретизирующее, числовое моделирование. Используется стандартная слиянная модель "2·3=6". Перечеркивая с помощью Х сомножитель "3", ученик без особых трудов восстанавливает правило нахождения неизвестного сомножителя (т.е. стандартную абстрактную модель синтактического типа, которую желательно использовать в слиянном виде). Трудность заключается в другом: обычно ученик среднего звена сопротивляется процессу моделирования, даже если учитель обязывает его использовать этот процесс. Объясняется это стереотипом немодельного учебного поведения, которое воспитывается еще в дошкольном возрасте и окончательно закрепляется в начальной школе.

С двухступенчатым моделированием ребенок сталкивается, овладевая речью. Трехступеначтое моделирование в его жизни встречается гораздо реже. И когда в школе появляются три и более ступеней моделирования (например, "группа вещей - количество, число" или "группа вещей - число - буквенное обозначение числа"), то без целенаправленных усилий педагогов ребенок затрудняется его производить, нарастает внутреннее сопротивление.

В чем же должны состоять эти целенаправленные усилия педагогов и всего образовательного процесса. Во-первых, обеспечением дошкольников играми с трехуровневым абстрагирующим моделированием (практика показывает, что переход от двухуровневости к трехуровневости наиболее болезнен). Например, игра, в ходе которой приходится вставлять в текст пропущенные слова (при условии, что одинаковые из этих слов помечены одинаковыми символами). И. т.д.

Во-вторых, поскольку процесс понимания связан с процессом моделирования, то процесс моделирования не есть одноразовый акт. Процесс моделирования должен стать непрерывным процессом и на стадии получения готовых знаний, и на стадии их использования, и на стадии исследования. Видеть пространственные отношения за геометрической символикой, числа - за буквенными параметрами можно, если отработан навык непрерывного мысленного моделирования ( в результате аккуратно проведенного процесса интериоризации ). Подойти к формированию этого важнейшего умственного действия можно с помощью теории поэтапного формирования умственных действий.

Очень коротко: 1) создание мотивов, 2) ООД (ориентировочная основа умственных действий) - показано на примере уравнения 135,5х = 542, 3) выполнение действия в материализованном виде (с проговариванием), 4) внешне-речевая деятельность (ученик совмещает работу на исходном объекте с речевым объяснением каждого шага, при этом большинство шагов материально не изображается), 5) внутри-речевая деятельность (некоторые шаги - вслух, некоторые - про себя, постепенно уменьшая количество первых), 6) выполнение действия в умственном плане (стимулятором для этого этапа  - соревнование на скорость при выполнении примеров, аналогичных приведенному).


3.         Алгебраические формулы. Материализованные модели схемы, содержащие в себе в сжатом виде вывод формулы. Например,

"(а  +  в)2 = а2 + в2 + 2ав" является слиянной моделью по отношению к

любому выражению, являющемуся квадратом суммы.  Схема подразумевает, что под суммой "а  +  в" мысленно помещается эта же сумма (это размещение можно время от время материализовывать), стрелки же показывают почленное умножение слагаемых этих сумм (вертикальная стрелка, идущая от a, обозначает умножение а на а, аналогично - вертикальная стрелка, идущая от b. Диагональные линии означают двойное умножение а на b) Можно было бы выполнять операцию сокращенного умножения по этой "схеме", не прибегая к формуле или ее формулировке. Однако этот "правополушарный" метод должен работать во взаимодействия с "левополушарным". Поэтому, произведя раскрытие скобок по "схеме", ученик зачитывает формулировку. Меньшее количество раз всё производится в обратном порядке. Наконец, в процессе интериоризации остается только формулировка - на подсознательном же уровне работают "оба полушария".

Приведенная модель является по многим параметрам статичной. Возможна более динамичная модель: ученик постукивает два раза по первому слагаемому (символ произведения двух сомножителей), два раза по второму, по одному разу на каждом слагаемом и на двойке. Своего рода - динамические опорные сигналы. Можно очень быстро проверить весь класс на владение этой моделью, после чего начнется и ее реализация. Динамические опорные сигналы можно использовать и на уроках геометрии (молчаливое "доказательство"), когда ученик выходит к доске и очень быстро воспроизводит серию изображений на основном рисунке, иллюстрирующих процесс доказательства теоремы. Затем этот процесс озвучивается в виде диад или триад (см. ниже).


4. При решении задач на движение и работу приходится использовать целый набор разноуровневых моделей: исходную вербальную модель, гомотетично реальную модель (проигрывание реальной физической ситуации в сжатом времени и пространстве), графическую, символическую, алгебраические модели (развернутую и свернутую). Понимание учащимся этой структуры, реального своего места в ней в заданный момент времени, направленности и качества своего дальнейшего действия не только расширяет общее методологическое "мировоззрение" учащегося - что весьма важно само по себе - но позволяет ему совместно с учителем продиагностировать месторасположение своих трудностей и провести соответствующую работу по их ликвидации.

Напомню, что современная методика решения задач на работу и движение в большинстве случаев сводится к кусочкам "реального" моделирования (так называемого "анализа задачи"), а далее - по принципу "догадайся сам". Целенаправленная же работа с учащимися над переводом вербальных моделей в (гомотетично) реальные позволяет не только достигнуть успехов в решении указанного класса задач, но и перенести методологию этого моделирования на другие классы задач.


5. Принцип целостного подхода, целостного динамического моделирования позволил бы более естественно распределить содержание математического образования по классам. Например, целостное динамическое моделирование предполагает наразрывную связь между возведением в степень, извлечением корня и логарифмированием.  Изучать эти операции раздельно, - значит,  нарушать и логическую целостность изучаемого материала, и единство восприятия. Неслучайно тема "Логарифмы" психологически отторгается старшеклассниками. Проведенные эксперименты совместного изучения этих понятий в 6-7 классах показали неплохие результаты. Естественно, были использованы иные модели для введения логарифмов, чем принятые. Например, основной моделью для "log216" становилось количество сомножителей "2" в числе 16. Это же самое присутствует и в записи "24=16". Отсюда - взаимосвязь.


6.   Динамическое моделирование открывает возможности для математического эксперимента с целью получения ответов на заданные вопросы, и для задания самих вопросов (исследовательские программы).

Например, оценив на глаз градусную меру одного из углов, который смежен с двумя заданными вертикальными углами, ученик вычисляет оба вертикальных угла вычитанием из 1800 оцененного угла. Основным измерительным инструментом здесь является глаз, поэтому, изменив положение прямых, образующих вертикальные углы (материально или мысленно), можно без труда переключиться на новые данные. Эксперимент легко воспроизводится мысленно и убедительно вскрывает "глубинные причины" равенства вертикальных углов. Остается лишь обозначить параметром величину "оцениваемого" угла, чтобы, повторяя экспериментальные действия, получить математическое доказательство, пусть еще и не выраженное в строгих логических формах (подробности - ниже по тексту).

Другой пример. Нужно найти месторасположение центра окружности, вписанной в треугольник. Отталкиваясь от того факта, что такая окружность вписана в каждый его угол, ученик от руки рисует угол и от руки вписывает в нее множество окружностей. Без труда определяя линию, на которой находятся их центры, делает соответствующие выводы. Такого рода математические эксперименты, с одной стороны, позволяют выявить содержательную сторону учебного предмета еще до проведения строгих математических доказательств выявляемых фактов, с другой, как раз и являются прологом к их доказательству.


7.      Исследовательские программы. Например: 1) процесс: при фиксированном основании изменять положение вершины треугольника; 2) объекты наблюдения: медиана, биссектриса, высота, проведенные к основанию и его серединный перпендикуляр, углы между ними; 3) предикаты наблюдения: совпадение линий, расположенность "между", изменение углов. Работая по этой программе, ученик находит свойства замечательных линий равнобедренного треугольника, прямых и обратных высказываний, ставит задачу их обоснования.


8.  Требования  к эксперименту и моделированию:

Если целью моделирования является воспроизведение, то к модели предъявляется требования стандартности, целостности, слиянности.

Желательно, чтобы модель относилась к естественно-синтетическому типу, а также давала бы ответы  на вопросы "зачем?", "почему?", если эти вопросы уместны.

Самыми основными требованиями являются требования полноты и легкости мысленного воспроизведения модели.

Если же целью эксперимента является установление некоторого факта и дальнейшее его использование, то к модели предъявляются следующие требования:

а) модель должна обладать необходимым числом степеней свободы;

б) эксперимент должен быть легко воспроизводим, и, прежде всего, как мысленный эксперимент. Модели желательно брать из привычной обстановки /естественно-синтетические модели/, а в качестве основного "измерительного прибора" служил бы ученический глаз;

в) эксперимент должен вскрывать глубинные причины устанавливаемого факта/свойства/, носить обобщающий  характер, и быть прологом математического доказательства;

г) экспериментирование не должно отрицать некоторой доли рассудочной деятельности, естественным образом возникающей  в процессе эксперимента.

Если  целью эксперимента является исследовательская программа /ее составление и исследовательский процесс/, то к модели предъявляются следующие требования:

-- возможность использования всех степеней свободы и всех объектов-элементов в качестве ведущих;

-- возможность выделения их частей в качестве самостоятельных моделей;

-- возможность включения их в качества составляющих в другие модели;

-- эта модель должна позволять накладывать дополнительные связи и снимать прежние.

Такие модели легче всего найти среди идеальных. В частности, к таковым относятся графические модели и чертежи. Поэтому они и являются основными типами моделей в исследовательских программах.

Исследовательская программа предполагает:

-- задание динамического процесса /как правило - однопараметрического/;

-- задание задач наблюдения;

-- описания результатов наблюдения;

-- обоснование результатов теоретическими методами;

-- коррекции программы с целью получения новой программы.


9.      Элементы логики. Основой моделирования здесь может быть схема заключения: [ А,  А ? B,  B], или, то же  самое, что "триада". Триада состоит из посылки, оператора, вывода. В качестве оператора используются аксиомы, теоремы, (определения). В синтактических формах оператор может присутствовать в неявном виде (пропускаться) и тогда мы имеем "диаду" Например, "Так как Каин человек, то он смертен". Обратная диада: "Каин смертен, так как он человек". В качестве оператора неявно присутствует положение "Если А есть человек, то А смертен". Вводится понятие неполных (разорванных) диад (когда они следуют друг за другом. После введения триад и диад (из которых в основном и состоит доказательство) процесс доказательства материализуется и им очень легко управлять.


10.   Материализация содержательного и логического компонентов учебного материала позволяют дифференцировать обучение на многоуровневой основе. Впрочем, достаточно трех уровней, который легко могут быть осознаны любым учителем. Это такие уровни: 1) уровень с расчетом на ученика, которому в дальнейшей его профессиональной деятельности математика как таковая (содержательная часть) будет не нужна (гуманитарии, например), 2) математика нужна в прикладных целях (технические ВУЗы, например), 3) математика будет профессией.

Условно можно назвать эти уровни: гуманитарный, технический, математический (университетский). Понятно, что однозначно запланировать жизненный путь нельзя, поэтому между уровнями должны быть свободные переходы.

Первый уровень (с заходами на второй и третий) изучает содержательную часть математики в ознакомительном порядке, логическую же компоненту можно варьировать от примитивной до высшей (триады и диады).

Второй уровень(с заходами на первый и третий) изучает содержательную часть математики как основную, а логическую варьирует от средней до высшей. Третий  уровень изучает все компоненты как основные. Локально возможно использовать и подуровни. Например, для самых отсталых учеников на 1-ом уровне  можно выделить подуровень А.  Если при доказательстве теоремы о вертикальных углах на 1-ом уровне мы имеем доказательство с использованием обратных диад для каждого алгебраического действия, то на уровне А доказательство можно производить на числах, или вообще излагать последовательность доказательных фактов без их обоснования - без диад. На 2-ом уровне используются триады, но опускается доказательство того, что выбираемые углы являются смежными (это свойство определяется экспериментально, т.е. на глаз). Третий уровень предполагает самое полное и строгое (триады, диады) доказательство.

Вкратце эти уровни можно прояснить на простейшем примере, например, на доказательстве теоремы: "вертикальные углы равны".

Первый уровень предполагает числовое моделирование. Учитель задает числовое значение величине одного из углов, образованных при пересечении двух прямых и просит учеников, используя теорему о смежных углах, найти вертикальный с ним угол. Задача выполняется в два этапа и показывает, что вертикальные углы в этом случае равны. Предполагается изменить числовое значение величины угла и, наконец, заменить его буквенным значением (последнее и есть "заход" на второй уровень).

Второй уровень акцентируется на буквенной модели. Он начинается с того же самого, только изначальное значение величины угла буквенное (c числовыми примерами в конце - "заход" на первый уровень). Приводятся и геометрические обоснования, кроме тех, которые основаны на наглядном видении расположения геометрических фигур: лучей и полуплоскостей.

Третий уровень дает доказательство на строгой аксиоматической основе во всей ее полноте, хотя и с использованием всего того арсенала моделирования, о котором говорилось выше. Изредка попробовать свои силы на этом уровне предлагается и тем, кто находится на первых двух уровнях.

Непременным условием многоуровневого обучения является неизбежность кратковременных переходов низших уровней на более высокие (в ознакомительном порядке) и возможность остаться на более высоком уровне. Во второй половине 80-х годов мы с Черниковой Э.Н. писали конкурсные учебники по геометрии и алгебре, которые были трехуровневыми и строились на основе динамического моделирования. Уровни изображались в виде трех параллельных столбцов, причем на более высоком уровне вписывались те диады или триады, которые были пропущены на более низком. Это позволяло некоторым ученикам (по экспериментальным данным) готовиться сразу по трем уровням.


11.    Разделение материала на две компоненты обеспечивает изучение учебного материала большими порциями и позволяет учитывать возрастные особенности учащихся. На ранних стадиях обучения, используя математический эксперимент, ученики знакомятся с содержательной частью раздела и решают задачи с использованием преимущественно диад, но с обязательным редким употреблением триад. Затем выявляются логические связи между теоремами, и ставится задача последовательного линейного расположения теорем в порядке их доказательств. Ученики выбирают  структуру математической теории из нескольких возможных структур (в чем опять-таки проявляется динамизация всего процесса обучения), тем самым, познавая ее сущность. Сами же доказательства теорем носят более активный, чем традиционно, характер, являясь "слепками" с методов решения задач, а не просто ниспущенными  свыше. На более поздних этапах обучения доказательства следуют сразу после ознакомления с содержательной частью. Наиболее важной частью упомянутой структуры в отношении  методологии науки является вариативность системы аксиом. При заданном подходе это выглядит не только естественным, но и необходимым моментом обучения. Мои ученики знакомились с двумя такими системами, хотя в дальнейшем использовали одну, и это не вызывало принципиальных трудностей. Достаточно убедительно раскрывались  вопросы непротиворечивости и независимости системы аксиом, а также множественности интерпретаций (конкретных моделей) заданной системы аксиом. Эту работу облегчали "кривозеркальные" модели геометрической плоскости, которые, кстати, использовались и при доказательствах теорем, и при решении задач. Если обычный чертеж обнажал содержательную сущность логических шагов доказательства, то "кривозеральная" модель обнажала логическую сторону и требовала ее.


12.   Когда подросток вступает в переходный период (с тягой к самоопределению), акцент следует сделать на содержательной компоненте в аспекте ознакомления подростка с окружающим миром. В этот период нужно способствовать ознакомлению подростка с различными учебными и научными предметами и профессиями (не делая излишнего акцента на прагматической стороне этого мероприятия). Например, на фоне ознакомления с новыми учебными материалами, не мешало бы подростку под наблюдением взрослых "недельку" побывать учеником слесаря, "другую" - токаря, поработать в научной лаборатории, и т.д., "потрогав" разные профессии "своими руками".


13.   Частные виды моделирования. Моделирование может носить глобальный характер: моделирование логических форм, доказательств, методов решения задач, методологии исследования, алгоритмов, высказываний и даже понятий. Например, при изучении углов, образованных при пересечении двух прямых третьей, вводятся их буквенные модели, которые позволяют зрительно находить углы на чертежах: внутренние накрест лежащие - Z углы, соответственные -  F углы,   затем -  П углы и т.д. При обозначении признаков равенства тр-ов можно по примеру некоторых американских учебников вводить СУС, ССС, УСУ теоремы и т.д.


14.   Вкратце о теоретико-множественном подходе было сказано выше. Это тема обширная, но здесь нет места для ее развития. Ограничимся общими замечаниями. Аналитическая и синтетическая картины мира не выдуманы, они с разных сторон отражают реальную действительность - это есть две модели этой действительности. Поэтому выбор в школьной программе лишь одной из этих моделей неправомочен и обречен, что и отражалось неоднократно в процессе реформирования программ, порождая искусственные трудности. Программа же в состоянии реализовать обе возможности. Выше уже говорилось о двухмодельности отрезка (на физическом уровне он состоит из движений и остановок, на геометрическом - из точек). Но вот вводим понятие движения - и обе трактовки оказываются на геометрическом уровне. Их единство осуществляется так: моделью геометрического движения является реальное движение жесткой модели, скрепленной с моделью флага, т.е. составной фигуры, состоящей из точки (вершины флага), луча, выходящего из нее (древка флага) и полуплоскости, выходящей из прямой, на которой лежит луч (полотнища флага). Моделью флага может быть реальный флажок, к которому прикрепляется прозрачная модель плоскости. Перемещение флага и является моделью геометрического движения, если отвлечься от траектории этого движения и механических величин. Использование флага позволяет идентифицировать движение, чего не было во всех предшествующих программах. С психологической точки зрения важно, чтобы ученик ощущал эту идентификацию.

И становится совершенно элементарным доказательство многих теорем о композициях различных видов движения. Это синтетический подход. Наконец, вводится преобразование. Но этому предшествует наглядная модель: элементарное преобразование точки в точку, причем рассматриваются не геометрические точки, а одушевленные, наделенные волей и желаниями. После чего вводится преобразование плоскости как объединение элементарных преобразований (движение "толп" точек). Это аналитический подход. Затем следуют теоремы, которые связывают преобразования, сохраняющие расстояния, - с геометрическим движением. Заключительный этап: производится очень важная общеметодологическая операция отождествления: движение отождествляется с указанным преобразованием.

Замечание1. Различная "нематематическая" терминология не вызывает никаких опасений, если она выходит за пределы собственно математики и ограничивается рамками той "физической", "биологической" и других моделей. При переходе в плоскость математики, естественно используется общепринятый математический словарь терминов. И именно, используя модельный подход, всё это очень хорошо можно объяснить ученикам.

Рассмотрим пример осевой симметрии на плоскости. В качестве первой её модели служит перемещение всех точек плоскости в свой зеркальный образ относительно "прямолинейного зеркала".

Уже на этом этапе можно рассмотреть две физические ("биологические") модели осевой симметрии. Первая: каждая "одушевленная" точка движется к своему местоназначению по совершенно произвольной траектории. Вторая (снимающая хаос): каждая точка движется к своему местоназначению по кратчайшему пути.

Вербальные модели выглядят привычно: 1) симметрией плоскости относительно некоторой её называется такое преобразование плоскости, при котором каждая точка преобразуется в симметричную ей точку относительно этой прямой, 2)симметрией плоскости называется такое преобразование плоскости, каждое элементарное преобразование которой состоит из двух симметричных точек относительно некоторой прямой, и т.д. (прим.: модельный подход снимает ограничения на использование только одного искусственно заданного определения и позволяет свободно перемещаться по определениям, добавляя к ним все новые и новые). Далее, поскольку предложенная выше физическая ("биологическая") модель является "атомарной", т.е. состоящей из множества частей (точек, элементарных преобразований), то учитель может поставить перед учащимися задачу поиска "целостной" (монадной) модели, которая ликвидирует хаос перемещений первой физической модели с помощью некоего "транспортного средства", на которое все точки спокойно "садятся" и доезжают до своего местоназначения. Таким транспортным средством является плоскость (сокращенное обозначение материальной модели плоскости), проходящая через ось симметрии и поворачивающаяся вокруг нее в пространстве на 1800. Эта модель экспериментально указывает на тот факт, что осевая симметрия есть движение.

Из всех рассмотренных примеров видно, что, используя разноуровневые модели, можно значительно насытить и, в то же время, упростить процесс математического образования.


Замечание 2. Теоретико-множественный подход в геометрии с неизбежностью требует введения наряду с фигурой (точечной геометрической фигурой) ещё составной фигуры. (индуктивно состоящей из точечных фигур и других составных фигур). В качестве модели составной фигуры очень хорошо подходит модифицированная русская "матрешка", которая делает усвоение вводимых понятий достаточно легким.


Приведем пример доказательства одной из теорем о композиции движений: "Любое движение плоскости можно представить как композицию не более трех осевых симметрий". Математики знают, насколько громоздко традиционное доказательство этой теоремы - о включении ее в школьный курс и речи не было. Посмотрим же, как помогут доказать эту теорему перечисленные выше модели.

Предварительно доказывается (это доказательство тоже достаточно простое для учащихся), что, каковы бы ни были два флага, существует одно и только одно движение плоскости, накладывающее один флаг на другой.

Переходя к доказательству теоремы, мы представляем произвольное движение в качестве упорядоченной пары флагов (эта модель движения хорошо воспринимается учащимися).

Если вершины выбранных флагов не совпадают, то существует осевая симметрия, совмещающая их (это очень просто иллюстрируется, да и доказывается тоже).

Если в результате этой симметрии древки не совпали, то существует осевая симметрия (вторая по счету), которая совмещает и древки.

Если в результате второй симметрии полотнища не совпали, то существует осевая симметрия (третья), совмещающая и полотнища. В результате первый флаг оказывается наложенным на второй, что и доказывает теорему.

Разве один этот несколько стилизованный пример не говорит сам за себя?


15.  Рассмотренные выше вопросы важны для успешного учебного процесса, так как отражают начальные, базисные его основы. Но вся полнота и значимость динамического моделирования проявляется в исследовательских программах и при решении нестандартных задач. Учащийся не просто решает отдельные задачи и проводит отдельные исследования, а погружается методологию исследования  и вырабатывает динамические приемы решения задач.

Об исследовательских программах было уже сказано. Вот пример использования одного из динамических приемов: ученик знает способ построения касательной к окружности, проходящей через заданную точку вне ее, и перед ним стоит задача найти способ построения общей внешней касательной к двум окружностям разных радиусов.

Перемещая предполагаемую касательную с помощью параллельного переноса так, чтобы радиусы окружностей уменьшались, он приводит геометрическую структуру к такому  состоянию, когда окружность с меньшим радиусом вырождается в точку, после чего становится ясным способ  решения задачи: провести через эту точку касательную к образу другой окружности, а затем обратным параллельным переносом построить  искомую касательную. Таким образом динамические приемы позволяют ученику находить нестандартные решения.


16. Рамки данной статьи не позволяют рассмотреть более глубокие возможности метода моделирования в обучающем процессе. Попробую, однако, сформулировать их принципы:


-- Принцип "материализации" означает наделение математических объектов и отношений между ними субстанцией, т.е. моделями, материальность которых передается наивысшей субстанциональностью изучаемого раздела (в геометрии такой субстанциональностью являются фигуры и числа). Например, ориентированный треугольник (треугольник, вершины которого упорядочены) хорошо воспринимается, если "порядок" вершин наличествует вместе с изображением самого треугольника или от первой вершины треугольника в направлении второй вершины рисуется небольшая стрелка, или (самый "материализованный вариант") в качестве упорядоченного треугольника рассматривается составная фигура, состоящая из флага и отложенного от него треугольника (вершина треугольника, совпадающая с вершиной флага считается первой, другая вершина, расположенная на древке - второй). Как показывает эксперимент, учащиеся легко оперируют последней моделью ориентированного треугольника и свободно делают переходы от него к обычному треугольнику. Не составляет трудностей и обратный процесс.

Выше был приведен результат применения принципа материализации к умозаключениям, реализовавшийся в материализованных триадах и диадах.

-- Принцип взаимозаменяемых моделей. Его можно проиллюстрировать на только что приведенном примере трех моделей ориентированного треугольника. Этот принцип является хорошей методологической базой (учащимся ее полезно постигать) и в других разделах геометрии и алгебры (в теме "векторы", например)

-- Принцип взаимозаменяемых моделей входит в группу принципов "полимоделирования", к которым относится принцип "равносильных определений". Конечно, традиции до сих пор требуют введение одного определения и далее - любого количества необходимо-достаточных условий. В этих традициях имеется свой смысл, поэтому принцип равносильных определений не отменяет, а накладывается на традиционный подход. А именно: ученик получает группу "равносильных определений" некоего понятия с необходимой доказательной базой, затем ему указывается, что в данной учебной программе одно из равносильных определений считается основным (т.е. всего лишь ставится на первое текстовое место). Эксперимент показывает, что никаких особых затруднений не происходит. Напротив, традиционный подход с его необоснованным акцентом на исключительность одного из группы определений кажется, с точки зрения детской психологии, ничем неоправданным и непонятным.

-- Принцип взаимозаменяемых аксиоматик тоже входит в группу принципов полимоделирования. Например, введя понятие движения аксиоматически, т.е. как понятие определяемое не родовым определением, а с помощью аксиом, мы можем в дальнейшем дать и родовое определение, показав равносильность этих определений и, одновременно, возможности другой аксиоматики.

-- Принцип относительности. Эффективность одной отдельно взятой модели относительна (ограничена). С другой стороны, любая модель рассматривает объект моделирования со своей специфической стороны и в этом смысле является незаменимой. Поэтому полнота моделирования заключается в подборе такой "базисной" системы моделей, которая отвечает на все вопросы образовательного процесса.

-- Принцип элиминации атомарности заключается в том, чтобы для модели, субстанцией которой является множество атомарных элементов отыскать равнозаменяющую моноструктурную мордель. Так модель движения, в которой движение представлено как множество элементарных преобразований всех точек плоскости, обязательно дополняется материальной жесткой моделью плоскости, привязанной к модели той фигуры, которая выше была обозначена как геометрический флаг. Именно эта последняя модель и привязывает атомарную модель к динамическим процессам окружающего, посредством чего атомарная становится доступной учащимся для эффективной оперирования с нею.

Использование этого принципа относительно доказательства, представляющего из себя сумму атомов (триад, диад), приводит к модели, которую я сейчас условно назову "доказательным древом". Это универсальная модель, которая может быть реализована и в графовой, и в линейной формах.

В качестве другого важного примера следует отметить понятие движения.. Атомарной вербальной моделью движения является известное всем "преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между (любыми двумя) точками". Целостная модель (если взять её на физическом уровне) выглядит как движение жесткой физической плоскости. Будем считать модель совершенной, если она индивидуализирует каждое движение (т.е. определяет не более одного движения). Движение плоскости, совершающее наложение одного флага на другое как раз и является такой совершенной моделью. Связь этой модели с геометрическим уровнем осуществляется с помощью ее проекции на этот уровень. В свою очередь проекция эта может быть названа каркасной моделью, поскольку состоит из каркаса (субстанция является геометрической) и номинала (субстанция которого является синтактической). Каркасом в данном случае является пара геометрических флагов, а номиналом - сообщение о движении, преобразующем один флаг в другой. Т.е. каркас оснащается номиналом, без которого пара флагов предстает просто парой флагов и не более. Каркасная модель, естественно, является неоднородной, так как состоит из частей разной субстанциональности: субстанциональности геометрической и субстанциональности синтактической. Преобразование неоднородной модели в однородную совершается переводом номинала в геометрическую субстанцию. Это можно сделать, если вершины флагов соединить направленной линией, подразумевая под ней движение. Если пропустить все эти рассуждения о моделях, начиная с совершенной модели, поскольку введенные здесь понятия были бы излишни для учащегося (но, несомненно, должен учитывать учитель, занимающийся этой проблематикой), то можно перейти к простейшим иллюстрациям.


В заключение остается добавить, что динамическое моделирование выводит учебный процесс за пределы собственно математики, на более широкое поле деятельности: в область логики, семантики, гносеологии,  методологии науки, а количество используемых моделей отнюдь не обременяет учебный процесс, а делает его более интересным, насыщенным и, в то же время, методологически прозрачным. Формируются критерии истины, осознается системный и многомодельный подходы к изучению реального мира, осознается все богатство его взаимосвязей, происходит синтез различных областей познания. Поскольку все науки (не только математика) используют различные эвристические, объяснительные, интерпретирующие, предсказательные теоретические модели, изучают взаимозависимость различных явлений своей области познания, то динамическое моделирование является общим методом всех наук, специфически проявляясь в каждой из них.  Введение в школьное образование этого метода давно назрело и, в конечном счете, - неизбежно, ибо нельзя до бесконечности игнорировать основной метод познания действительности.,  Использование его в школе не будет означать, что все школьное образование перевернется с ног на  голову и будет очередным "экспериментом" - это гарантируется тем, что метод динамического моделирования ничего из достигнутого не отрицает, но уплотняет учебный материал и время, вбирает все достигнутое в качестве своих неотъемлемых элементов. С другой стороны, открывается широкое поле для педагогических и методических исследований.


http://www.gureev2006.narod.ru/Paradoksy.htm


http://www.gureev2006.narod.ru/Modelirovanie.htm


http://www.gureev2006.narod.ru/dinam2.htm


http://lit.lib.ru/editors/g/gureew_e_m/


Ноябрь 2003г., Е.М. Гуреев.


Литература


-- Штоф В.А. "Моделирование и философия", Наука, 1966

-- Фридман Л.М. "Психолого-педагогические основы обучения математике в щколе" и "Психологическая наука - учителю".

-- Василевский А.В. "Сборник динамических задач и упражнений по геометрии", Минск 1997

-- Василевский А.В. "Упражнения по алгебре и началам анализа", Минск 1997

-- Пирютко О.Н. "Динамические упражнения по геометрии как средство интеграции школьного курса математики" - диссертация, Минск 1997.

-- Г. Фройденталь, "Математика как педагогическая задача", Просвещение, 1983г

-- "Логика и эмпирическое познание", Институт философии, Наука, 1972

-- А.А Зиновьев "Логика науки", Мысль, 1971 г.


О себе:


Гуреев Е.М., преподаватель математики, учитель-методист, член Российского союза философов и Российского союза профессиональных литераторов,  автор конкурсных трехуровневых учебников по алгебре и геометрии на основе динамического моделирования (80-е годы).


Дополнительно


Основные научные интересы: теория познания, методология науки, философия естествознания, семантика, отдельные разделы богословия, проблемы динамического моделирования.

Большинство терминов и определений в данной статье введены самим автором в аспекте рассматриваемых проблем. Все рассмотренные приемы были испробованы в процессе преподавания в 5 - 8-ых классах в 80-ые годы прошлого столетия в средней школе N21 г. Чапаевска Самарской области. Хотя о целостном эксперименте не могло быть и речи, даже изолированное применение изложенных методов было достаточно ощутимым и позволило однажды ученикам 6-го класса успешно сдать в один прием экзамены за 6 8 классы (более половины учащихся согласились на такое тройное испытание).