# Задачи по физике

Леонид Александрович Ашкинази

Раздел 1. Задачи, объединенные с теорией


В качестве примера приведем задачи МИЭМовской физической олимпиады 1996 года, при составлении которых мы в наибольшей степени реализовали этот принцип. Каждый вариант состоял из одной задачи, а успешность решения оценивалась количеством вопросов, на которые дан правильный ответ (в некоторых случаях учитывалась и глубина ответа).


Такие задачи диагностируют обучаемость и могут быть применены на серьезном экзамене по физике для абитуриентов, из которых предполагается растить физиков.


Вариант 1


Из школьной физики мы знаем, что поле внутри плоского конденсатора с параллельными обкладками однородно, напряженность равна отношению напряжения на конденсаторе к зазору между обкладками, поле вне конденсатора отсутствует. Формулы для емкости и энергии конденсатора известны.


Рассмотрим конденсатор, между обкладками которого находится пластина из диэлектрика. Конденсатор заряжается от источника так, что заряды на его обкладках равны Q и, соответственно, - минус Q. Затем пластина извлекается из зазора между обкладками.


Вопрос 1. Как изменяется при этом энергия конденсатора?

Вопрос 2. Откуда берется дополнительная энергия, т.е. как соблюдается в процессе закон сохранения энергии?


Рассмотрим тело, имеющее массу m и начальную скорость V, формула для кинетической энергии известна. Если на тело действует сила F и тело перемещается по прямой на расстояние S, сила производит работу A=FS (угол между силой и траекторией = 0). Можно показать, что энергия при этом возрастает на такую же величину.


Вопрос 3. Покажите это вычислением, хотя бы для V=0. Заметим, что если F=0, то и А=0 и энергия, естественно, не изменяется. Теперь вернемся к нашему конденсатору.


Вопрос 4. Производится ли работа при извлечении диэлектрической пластины из конденсатора?

Вопрос 5. Действует ли на эту пластину сила со стороны электрического поля заряда на обкладках?


Как известно, в однородном электрическом поле на диэлектрическое тело (как и на металлическое) сила не действует. Действительно, индуцированные заряды возникают, но раз поле однородное - то и силы, действующие на них, равны по модулю, но противоположно направлены, и сумма их равна нулю.


Вопрос 6. Если поле конденсатора однородно, откуда берется сила, если она есть?

Вопрос 7. Действует ли на диэлектрик в электрическом поле момент?

Вопрос 8. Происходит ли в процессе вытаскивания пластины из конденсатора перераспределение заряда по пластинам?

Вопрос 9. Как в процессе вытаскивания изменяется напряжение между пластинами? Линейна ли зависимость напряжения между пластинами от расстояния, на которое выдвинута пластина?


Теперь рассмотрим ситуацию, когда наш конденсатор не заряжен, а подсоединен к батарее, уже зарядился от нее и, но батарея не отсоединена. При этом в процессе манипуляции сохраняется не заряд конденсатора, а напряжение на нем. Пользуясь формулой для энергии, иногда утверждают, что раз С уменьшается, то и W уменьшается, и, следовательно, пластина должна выскочить из конденсатора со скоростью такой, чтобы кинетическая энергия равнялась изменению W.


Вопрос 10. Покажите, что это рассуждение неверно, пластина не будет выскакивать, а ее придется вытаскивать, и укажите, куда денется проделанная работа.


Вариант 2


По определению, источник ЭДС - это устройство, поддерживающее на своих двух клеммах постоянную разность потенциалов, равную некоторой величине Е. Это идеализация, теоретическая модель, ибо если, например, соединить эти клеммы проводником с сопротивлением R=0, то получить между ними разность потенциалов Е невозможно, разве что при бесконечном токе и, следовательно, бесконечной мощности источника, чего не бывает.


Вопрос 1. В каких условиях допустимо использовать ''источник ЭДС" как модель реальных источников электроэнергии?


Для приближения модели к реальности и исключения противоречий используется модель "источника с внутренним сопротивлением", представляющая из себя источник ЭДС, соединенный последовательно с сопротивлением R, называемым "внутренним сопротивлением".


Вопрос 2. Каково напряжение на выходе, на клеммах такого источника при сопротивлении нагрузки, равном бесконечности (разрыв)?

Вопрос 3. Каков ток через нагрузку при сопротивлении нагрузки, равном нулю, и каково в этом случае напряжение на нагрузке?

Вопрос 4. От чего зависит внутреннее сопротивление реального источника?


Кроме "источника ЭДС" для описания работы источников электроэнергии используется несколько менее привычное для вас понятие "источника тока". Это устройство, поддерживающее в нагрузке ток, равный I, независимо от сопротивления нагрузки.


Вопрос 5. Какое противоречие возникает в этом случае?

Вопрос 6. Как подключить к источнику тока сопротивление, чтобы противоречие исчезло?

Вопрос 7. Пусть сопротивление R, упомянутое в вопросе 6, подключено. Каково напряжение на клеммах такого источника при сопротивлении нагрузки, равном бесконечности?

Вопрос 8. Каков ток в нагрузке, создаваемый таким источником, при сопротивлении нагрузки, равном нулю?

Вопрос 9. Пусть некий источник электроэнергии изображен "эквивалентной схемой" в виде источника ЭДС Е и сопротивления R. Как изобразить его эквивалентной схемой в виде источника тока I и сопротивления r, то есть как по E, R вычислить I, r?

Вопрос 10. При каких условиях допустимо использовать "источник тока" (без дополнительных сопротивлений) в качестве модели реального источника электроэнергии?

Вопрос 11. 3ависимость напряжения на нагрузке от тока нагрузки называется "нагрузочной характеристикой". Для ее измерения в эксперименте надо изменять, разумеется, сопротивление нагрузки. Постройте теоретически, то есть вычислите нагрузочную характеристику источника ЭДС с последовательным сопротивлением и источника тока с сопротивлением, включенным согласно вашему ответу на вопрос 6.

Вопрос 12. Атомная батарея в ее простейшем варианте - это конденсатор, на одну из пластин которого нанесено радиоактивное вещество, испускающее электроны с энергией Е и с интенсивностью N электронов в секунду. Между обкладками конденсатора вакуум, так что все электроны свободно летают в зазоре. Пусть от источника ЭДС на обкладки конденсатора подано напряжение U. Как это повлияет на количество электронов, долетающих до второй пластины?

Вопрос 13. Постройте нагрузочную характеристику атомной батареи.


Вариант 3


В теории идеального газа постулируется, что молекулы газа не взаимодействуют между собой, а со стенками сосуда взаимодействуют абсолютно упруго. То есть каждая молекула летает сама по себе, вообще "не зная" о наличии в сосуде других молекул, а сталкиваясь со стенками сосуда, отскакивает от них, сохраняя модуль скорости. Такая модель соответствует всем газовым законам, приведенным в школьном курсе.


Вопрос 1. В сосуд впущен два количества одного и того же газа с разными температурами. Какова будет температура газа после смешивания и как быстро она установится? Газ считать идеальным.


Фактическая ситуация в газе отличается от идеальной. Молекулы взаимодействуют, причем не только при столкновениях, но и на некотором расстоянии, а сталкиваясь со стенками, обмениваются с ними энергией. Причем если температура стенки и температура, соответствующая скорости молекулы, не равны, то отскочить молекула может со скоростями, соответствующими...


Вопрос 2. Со скоростями, соответствующими какому диапазону температур, может отскочить в этих условиях молекула?

Вопрос 3, Почему бы вместо "молекула со скоростью, соответствующей температуре такой-то" не сказать просто "молекула с температурой такой-то"?


Между прочим, молекула, упавшая на стенку, отскакивает не сразу - некоторое время она находится на стенке. Время это весьма мало, оно может быть менее микросекунды, но оно не равно нулю.


Вопрос 4. Пусть одна молекула пробыла на поверхности меньше времени, а другая больше. Как вы думаете, какая отскочит со скоростью, близкой к скорости, с которой она прибыла на поверхность, а какая со скоростью, соответствующей температуре стенки?


Далее для простоты будем считать, что молекула, отскакивая от стенки, имеет скорость, соответствующую температуре стенки. Рассмотрим пластину, находящуюся в газе и имеющую разную температуру двух своих поверхностей.


Вопрос 5. Покажите, что в этих условиях на пластину со стороны газа будет действовать сила. Куда она будет направлена?

Вопрос 6. Как эта сила, называемая радиометрическим давлением, зависит от концентрации газа, в котором находится пластинка, имеющая с разных сторон разные температуры?


Когда на улице холодно, человек мерзнет сильнее, если есть ветер. А почему? Ведь температура воздуха - что с ветром, что без него - одна и та же. Дело в том, что при отсутствии ветра вокруг человека образуется более теплая воздушная прослойка ("пристенный слой"), так как воздух нагревается от человека. Теперь вернемся к нашей пластинке, но рассмотрим пластинку, имеющую вдоль своей поверхности переменную температуру.


Вопрос 7. Покажите, что в этом случае на пластину будет действовать сила. Куда она будет направлена?

Вопрос 8. Как эта сила будет зависеть от концентрации газа, в котором находится пластина, имеющая вдоль своей поверхности изменяющуюся температуру?


Согласно третьему закону Ньютона, если на пластину со стороны газа действует сила, то и на газ со стороны пластины действует сила. Эта сила вызывает перемещение газа вдоль пластины. Это явление называется "термоскольжение".


Вопрос 9. Объясните механизм возникновения силы, действующей на газ.


Вариант 4


Рассмотрим несжимаемую и невязкую жидкость, движущуюся по трубе переменного сечения. Пусть на 1 участке, сечение трубы, скорость жидкости и давление в жидкости такие-то. Каково будет давление на участке 2, где из-за изменения сечения изменилась и скорость? Рассмотрим тонкий слой жидкости, лежащий поперек трубы и занимающий все ее сечение. Этот слой перемещается из 1 в 2 ускоряясь, то есть увеличивая кинетическую энергию - значит, над ним производится работа. То есть на него действует сила. А следовательно, давление "в спину" на этот слой больше, чем в "лицо" (так как он ускоряется). Увеличение кинетической энергии равно сумме произведенных над выделенным объемом работ. Отождествим пути с толщиной выделенного слоя жидкости, то есть разобьем путь нашего слоя на участки, равные его толщине, как будто он перемещается маленькими шагами, каждый раз занимая соседнее место в пространстве. Производя очевидные преобразования, получаем уравнение Бернулли: изменение давления в жидкости равно изменению квадрата скорости, умноженному на плотность жидкости и деленному на 2. Причем, чем скорость больше, тем давление меньше.


Вопрос 1. Почему при вычислении работы не учитывалась сила, с которой на жидкость давят стенки?

Вопрос 2. Как повлияет на ответ (качественно) наличие вязкости, то есть трения при перемещении слоев жидкости?

Вопрос 3. Как повлияет на ответ (количественно) расположение трубы, если труба не горизонтальна?

Вопрос 4. Можно ли увеличением скорости достичь ситуации давление<0?

Вопрос 5. Если да, то что произойдет, если в стенке трубы просверлить отверстие?

Вопрос 6. Как вы думаете, если ситуации давление<0 достичь можно, то насколько мало может быть это давление?

Вопрос 7. Жидкость движется по трубе постоянного сечения, но не прямой, а имеющей радиус R. Возникает ли разность давлений у внутренней и внешней стенок трубы? Если да, вычислите ее.

Вопрос 8. Если на вопрос 7 Вы ответили "да", то влияет ли эта разность давлений на скорость движения жидкости по трубе?


Вариант 5


Известно доказательство независимости работы от траектории при перемещении тела из точки 1 в точку n в поле гравитации. Траектория разбивается на маленькие прямолинейные участки, работа складывается из работ на участках, далее получаем, что на каждом участке работа равна F.h, где h - высота подъема на этом участке. Следовательно, общая работа равна FH, где Н - общая высота подъема и не зависит от траектории. Далее сообщается, что такие силы называются потенциальными и что в поле таких сил работа по перемещению тела по замкнутой траектории равна нулю.


Вопрос 1. Почему в поле таких сил работа перемещения по замкнутой траектории равна нулю?

Вопрос 2. Как повлияет на исходное рассуждение, если траектория проведена так, что тело на пути из 1 в n не только поднимается, но и опускается?

Вопрос 3. Исходное рассуждение сделано для однородного гравитационного поля. Почему гравитационное поле Земли в этой комнате однородно и с какой точностью оно однородно?

Вопрос 4. Верно ли исходное утверждение для так называемого "поля центральных сил", то есть, например, поля гравитации вблизи тяготеющей массы?


Исходное рассуждение проведено для силы, не зависящей от скорости движения тела. Действительно, если предположить шутки ради, что гравитация зависит от скорости, то потенциальность тут же нарушается - подняв груз один раз быстро, а другой раз медленно, мы проделаем разную работу.


Вопрос 5. Одинаковая ли производится работа, если поднимать штангу 1 сек и 1 час? Как это согласовать с потенциальностью гравитации?

Вопрос 6. Сила сопротивления движению при перемещении тела в жидкости равна нулю при нулевой скорости. При каком условии рыбы могли бы открыть потенциальность гравитации?

Вопрос 7. Равна ли нулю при нулевой скорости сила сухого трения? Если нет, то чему она равна?

Вопрос 8. При движении в среде с сухим трением, то есть с силой трения, не зависящей от скорости, может ли быть обнаружена потенциальность гравитации?


Вы видите, что если сила сопротивления движению зависит от скорости, потенциальность исчезает, так как работа уже зависит не только от траектории, но и от скорости ее прохождения и ее длины (в жидкости) или только от ее длины (при сухом трении).


Вопрос 9. Может ли сила зависеть от скорости, но на работу, совершаемую при движении по некоторой траектории, не влиять?

Вопрос 10. Если да, приведите пример такой силы.


Вариант 6


Для описания движения материальных точек под действием сил применяется второй закон Ньютона F=ma, где F - сила (или сумма сил), m - масса, а - ускорение. Для описания движения тел такое уравнение недостаточно, хотя бы потому, что разные точки тела могут иметь разные ускорения.


Вопрос 1. Можно ли считать материальной точкой искусственный спутник Земли? Луну? Саму Землю?


Однако у любого тела есть точка, движение которой подчиняется уравнению F=ma, где F - сила (или сумма сил), приложенная к телу, m - масса, а - ускорение этой точки. Эта точка - центр масс (иногда его еще называют центр тяжести, и это не совсем верно). Но описания движения центра масс недостаточно. Тело может, например, вращаться вокруг него.


Вопрос 2. По дороге без скольжения катится колесо. Скорость центра колеса V. Каковы скорости нижней точки колеса, верхней, крайней левой, крайней правой?


Для описания вращения существует свой "словарь". Во-первых, это угловая скорость, ее размерность рад/сек, и равна она отношению угла поворота к времени поворота. Как видите, она определяется почти так же, как обычная скорость.


Вопрос 3. По аналогии с ускорением введите понятие углового ускорения. Какова его размерность, как оно вычисляется через угловую скорость и время?


Вам, скорее всего, известно понятие "момент". Моментом силы F относительно точки x называется произведение расстояния от точки x до точки приложения силы F, умноженное на проекцию силы F на плоскость, перпендикулярную отрезку, соединяющему точку x и точку приложения силы F.


Вопрос 4. Чему равен момент силы относительно точки ее приложения?

Вопрос 5. Чему равен момент силы притяжения, действующей на вас лично, относительно центра Земли?


Для того, чтобы написать аналог второго закона Ньютона F=ma для вращения тел, нам осталось ввести еще одну величину - момент инерции. Он определяется для двумерного тела относительно некоторой его точки. Разобьем тело на маленькие кусочки. Пусть массы кусочков и расстояния кусочков от выбранной точки известны. Тогда момент инерции равен сумме произведений масс участков на квадраты расстояний участков от выбранной точки.


Вопрос 6. Вычислите момент инерции тонкого проволочного кольца массы M и радиуса R относительно его центра.

Вопрос 7. Диск имеет массу М и радиус R, но сделан он из суперпенопласта, имеющего плотность = 0, а вся масса сосредоточена в центре, в виде кусочка суперсвинца с бесконечной плотности. Вычислите момент инерции.


Теперь аналог закона Ньютона для вращения плоского тела в его плоскости, например, для движения книги по столу: момент силы или сумма моментов сил относительно центра масс (центра тяжести) равен произведению момента инерции относительно той же точки на угловое ускорение.


Вопрос 8. Как складывать моменты? Можно ли сложить силы, действующие на тело, и вычислить момент суммы? Рассмотрите, например, случай, когда на тело действуют две одинаковые по модулю и противоположно направленные силы, приложенные по разные стороны от центра масс.


Для замкнутых систем имеет место закон сохранения импульса: сумма mV= const. Имеет место его аналог для вращения.


Вопрос 9. Как его записать?

Вопрос 10. Пример из учебника физики - фигуристка, вращающаяся на острие конька, прижимает к себе руки, при этом угловая скорость вращения увеличивается. Как это связано с законом, который вы написали в вопросе 9?


Теперь применим аналог второго закона Ньютона для вращения при решении реальной задачи? Правда, мы рассмотрим не плоское, двумерное, а трехмерное тело. Поэтому сначала переформулируем его для трехмерных тел. Новые определения угловой скорости и ускорения давать не надо, а момент инерции будем вычислять не относительно точки, а относительно оси вращения, беря расстояния не от точки, а от оси.


Вопрос 11. Чему равен момент инерции тонкостенной трубы массы М и радиуса R относительно ее оси?


Момент сил относительно оси будем вычислять, умножая расстояния от точек приложения сил до оси на проекции сил, устроенные так: сначала сила проецируется в плоскость, перпендикулярную оси и проходящую через точку приложения силы, а в этой плоскости проецируется еще раз - на перпендикуляр к отрезку, соединяющему ось и точку приложения.


Вопрос 12. Чему равен момент относительно оси силы, параллельной оси? А силы, перпендикулярной оси, но направленной по перпендикуляру, опущенному из точки приложения на ось?


Вопрос 13. Самолет-носитель крылатых ракет Боинг-999, преодолев систему ПВО предполагаемого (уже не предполагаемого - заметила редактор) противника, готовится к пуску ракет. Пуск осуществляется из вращающегося барабана, ось которого совпадает с осью самолета (система похожа на револьвер, только летящий быстрее звука и имеющий массу 200 тонн). Радиус барабана 1 м, по его окружности расположены 12 крылатых ракет, массой по 1 тонне. Оси ракет параллельны оси барабана (как патроны в револьвере), а диаметром ракет можно пренебречь. После раскрутки барабана пуск всех ракет осуществляется за 1 оборот и должен произойти за 1 секунду. Время боевой готовности, то есть время раскрутки барабана - 10 секунд. Найти угол отклонения элеронов на крыльях Боинга, необходимый для компенсации момента, если отклонение каждого элерона на 1 градус создает на крейсерской скорости вертикальную тягу, равную 0,01% от веса самолета. Размах крыльев 40 метров (то есть считать среднее расстояние элерона от оси самолета - 15 метров).


Вариант 7


Как вы знаете, молния - это процесс прохождения тока по проводящему каналу в атмосфере между разноименно заряженными облаками или между облаком и землей. При этом электрическая энергия, которая накоплена в конденсаторе, преобразуется в тепловую. Газ нагревается, увеличивает давление и начинает излучать. Рост давления порождает разбегающуюся от канала молнии волну, ее-то мы и слышим. Излучение мы, естественно, частично, видим. Теперь займемся расчетом основных характеристик молнии. При этом мы совершенно не рассматриваем механизм образования проводящего канала в атмосфере, так как этот механизм слишком сложен. Прежде всего оценим полную энергию, выделяющуюся в молнии. Можно было бы это сделать по Джоулю-Ленцу, но даже если бы мы знали ток молнии и ее длительность (их легко оценить), то сопротивление канала оценить было бы труднее.


Вопрос 1. Как оценить энергию, выделяющуюся в молнии, считая известными площадь тучи - 4 квадратных км, расстояние тучи от земли - 1 км, разность потенциалов между тучей и землей - 10 МВ?


Теперь эта энергия преобразуется в тепловую. Пусть диаметр канала молнии - 10 см, длина канала - 3 км (молния бьет косо), плотность воздуха - 1 кг/на м в кубе, удельная теплоемкость - 1 Дж/г.град.


Вопрос 2. Вычислите температуру газа в канале молнии.

Вопрос 3. Какое предположение относительно характера протекающего теплового процесса надо еще сделать, чтобы ответ на вопрос 2 стал возможен?

Вопрос 4. Каково будет давление газа в канале?

Вопрос 5. Предположим, что при этих температурах кислород и азот полностью диссоциируют на атомы. Каково тогда будет давление в канале?


Теперь этой тепловой энергии надо рассеяться. Нагрев окружающего воздуха - процесс медленный, звуковая волна уносит при этих температурах лишь незначительную часть энергии. В основном энергия излучается (как Солнцем). Мощность излучения будем вычислять по формуле N=kST в четвертой степени, где S -площадь в м квадратных, Т - температура в Кельвинах, , k - постоянная Стефана - Больцмана, равная 5,6.10 в степени минус 8 Вт/Км в квадрате.


Вопрос 6. Вычислите из этой формулы и уже имеющихся у вас данных длительность свечения молнии.

Вопрос 7. Теперь займемся громом. Как вообще достигает звук молнии уха человека? Почему возникают "раскаты грома", то есть почему гром так длителен (раскаты могут длиться и несколько секунд, а еще - становиться то тише, то громче)?


Рассмотрим структуру грома несколько подробнее, основываясь на модели, которую вы предложили, отвечая на вопрос 7. Но для рассмотрения структуры грома придется сначала вывести ни много ни мало как так называемую "радиолокационную формулу". Займемся этим. Пусть радиолокатор излучает мощность N. Расстояние до цели - L. Будем считать, что радиолокатор излучает равномерно в полусферу. Тогда в районе цели плотность мощности будет равна отношению мощности к площади сферы с радиусом, равным расстоянию до цели. Пусть площадь самолета (на самом деле эта величина называется "радиолокационное сечение") равна S. Тогда он отражает мощность, равную произведению этой плотности на S. Эта мощность излучается равномерно во всю сферу (предположим для простоты, что это так).


Вопрос 8. Какова плотность мощности, отраженной самолетом, в районе радиолокатора? Какую мощность он примет, если площадь его приемной антенны S антенны?


Вы получили так называемую "радиолокационную формулу". Обратите внимание на степень при L и ее отличие от законов Кулона и гравитации. Теперь вернемся к рассмотрению модели грома. Пусть тучи находятся на высоте Н=1 км над землей, источник звука будем считать точечным и расположенным у нижнего края туч, то есть на высоте Н=1 км над землей. Точка наблюдения находится на земле, на расстоянии L от проекции на землю источника звука.


Вопрос 9. Сколькими путями может достичь звук точки наблюдения?

Вопрос 10. Каковы длины этих путей и времена движения звука по этим путям?

Вопрос 11. Что вы можете сказать об интенсивностях звука, пришедшего по разным путям?


Если вопрос 11 в этой формулировке показался вам слишком сложным, рассмотрите ситуацию, когда площадь участка земли, отражающая звук, примерно равна квадрату расстояния до туч. Сопоставьте полученный ответ с экспериментальным фактом - раскаты грома делаются все тише и тише.


Вопрос 12. Если у вас получился ответ, при котором раскаты не затухают, подумайте, чем вы пренебрегли?


И напоследок - а почему молния ветвится?


Раздел 2. Задачи с углубленным анализом


В этом разделе собраны задачи, под "решением" которых подразумевается более или менее подробный анализ ситуации - или на уровне физики процесса (то есть что участвует, что влияет, в какой степени и т.д.), или на уровне математики (то есть анализ полученных уравнений). Однако при этом - в отличие от задач следующего раздела - сам набор физических законов, которые могут описывать ситуацию, ясен с самого начала.


1. Через блок перекинута веревка с двумя грузами. Найдите их ускорения, проанализировать все допущения о блоке и веревке.


2. Найдите коэффициент деления постоянного напряжения RC-делителем (сопротивления соединены параллельно с емкостями) и С-делителем. Почему решение для RC-делителя не выдерживает предельный переход при R, стремящемся к бесконечности?


3. На прямом круговом конусе с некоторым углом при вершине в горизонтальной плоскости вращается кольцо. Коэффициент трения дан. В каком диапазоне угловых скоростей кольцо не будет перемещаться по вертикали?


4. Какое максимальное напряжение можно получить, имея батарею с ЭДС и несколько одинаковых конденсаторов? А если несколько любых конденсаторов?


5. Баскетболисты применяют следующий метод увеличения высоты прыжка при забросе мяча в корзину. Мяч бросают об пол так, чтобы при отскоке он достиг корзины, а баскетболист прыгает вверх без мяча, а "наверху" ловит мяч и "укладывает" его в корзину. На сколько может быть увеличена высота прыжка этим способом? А если бросать мяч после прыжка? Соударения считать абсолютно упругими, масса мяча - 0,4 кг, баскетболиста - 80 кг.


6. Расческа поднесена к зеркалу и находится параллельно ему; человек видит широкие полосы, период которых зависит от расстояния расчески от зеркала - откуда они берутся? Определите их период и ширину.


7. Известна задача - при каком коэффициенте трения три бревна, касающиеся плоскости и друг друга попарно, раскатываются. А при каком они будут "расскальзываться"?


8. Требуется сконструировать электрокамин с заданными габаритами, стоящий на полу с известным коэффициентом трения и опирающийся всей нижней плоскостью. Где и как можно и нельзя располагать на его поверхности выключатели следующих типов: кнопка с заданным усилием нажатия, тумблер с заданным усилием переключения, переключатель с заданным моментом переключения?


9. Оцените соотношение теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме для конденсированных фаз.


10. Два сосуда разных объемов с разными газами соединяются. При каких условиях процесс будет изотермичен и при каких - конечная температура равна начальной?


11. Выведите силу Архимеда из закона Паскаля.


12. Переохлажденная вода замерзает адиабатически. Найдите установившуюся температуру и количество льда.


13. В плоскости расположен n+1 заряд, n - равномерно по окружности, 1 - в центре. Исследуйте равновесие центрального заряда в случае, когда все заряды имеют один знак, и в случае, когда центральный заряд имеет другой знак.


14. По плоскости катится многогранник с разными гранями. Оцените вероятность остановки на конкретной грани.


15. Экспоненциальная зависимость сопротивления от угла поворота переменного резистора аппроксимируется линейным сопротивлением с отводами и подключенными к ним постоянными резисторами. Оценить точность аппроксимации.


16. Сколькими способами можно всунуть ноги в трусы? В каждое отверстие каждая нога может продеваться только один раз (вариант - один раз с каждой стороны), нога должна войти и выйти (оставлять невысунутую нельзя). Задача решается в топологическом приближении, то есть длина ног предполагается бесконечной, а диаметр и жесткость - нулевыми.


17. Часы имеют вероятность остановки в течение суток P и точность хода T. Определите вероятность дезориентации пользователя при пользовании двумя часами (то есть принятия совпадения показаний двух остановившихся часов за правильные показания двух идущих часов).


18. Определите поле дальней зоны диполя, квадрата с двумя положительными и двумя отрицательными зарядами в вершинах, тетраэдра с двумя положительными и двумя отрицательными зарядами, куба с четырьмя положительными и четырьмя отрицательными зарядами в вершинах.


19. Определите период колебаний коромысла с катящимся по нему и упруго отражающемуся на концах шариком. То же для коромысла в виде цилиндра с жидкостью внутри.


20. На сколько сдвинется покоящийся паровоз при абсолютно неупругом идеальном соударении с мухой и отсутствии трения?


21. Клин лежит на горизонтальной плоскости, и с двух его сторон соскальзывают два тела. Массы, углы, начальные высоты даны, трение отсутствует. Найдите скорости клина и тел после соскальзывания.


22. Докажите законы Паскаля.


23. Маятник из пяти одинаковых касающихся шаров на нитях, все геометрические параметры и масса шаров заданы. После отклонения одного шара маятник переходит в режим одновременного качания за 30 периодов, а потом еще за 30 периодов амплитуда падает вдвое. Какие параметры можно оценить, исходя из этих данных?


24. Электрическая лампочка имеет две спирали. В четырех разных вариантах включения лампа потребляет четыре разные мощности. Можно ли подобрать спирали так, чтобы отношения соседних мощностей были одинаковыми? Если нет - насколько можно приблизиться к такой ситуации? Во втором приближении попробуйте учесть зависимость сопротивления от температуры.


25. Известен следующий анекдот:

Летят две вороны на дозвуковой скорости:

- Стена!

- Вижу.

Шмяк-шмяк.

Летят две вороны на сверхзвуковой скорости:

- Стена!

Шмяк.

- Вижу.

Шмяк.

Летят две вороны на гиперзвуковой скорости:

Шмяк-шмяк.

- Вижу.

- Стена!


Синтезируйте корректный подобный текст в зависимости от всех существенных параметров (скоростей и расстояний).


26. Единственная сила действует в течение некоторого времени на тело. Почему энергия тела после действия получается больше, если сила приложена не в центре масс?


27. Исследуйте изменение уровня воды в сосуде при плавлении плавающего в ней льда в зависимости от исходной температуры воды, исходной температуры льда и результирующей температуры. Вариант - от исходных температур воды и льда, процесс адиабатический.


28. В плоском конденсаторе с шириной пластин L1 находится диэлектрическая вставка шириной L2. В другом направлении размеры пластин и вставки одинаковы. Толщина вставки равна зазору конденсатора, трение отсутствует, скорость вставки в начальный момент равна нулю. Рассмотрите дальнейшее поведение системы при различных комбинациях следующих параметров:

1. Заряд системы постоянен или напряжение между пластинами постоянно,

2. Вставка короче, равна или длиннее пластин.

3. Различные исходные положения вставки относительно пластин.

В тех случаях, когда вы сочтете, что в системе возникнут колебания, укажите, будут ли они гармоническими и почему.


29. Электрон находится посредине между двумя вертикальными металлическими плоскостями, находящимися на некотором расстоянии одна от другой, причем на некоторой высоте расстояние между пластинами изменяется - ниже этого уровня они находятся ближе одна к другой.

1. Какие силы действуют на электрон?

2. Является ли его равновесие на вертикальной траектории устойчивым?

3. Изменяется ли скорость электрона при прохождении сужения, и если да - то увеличивается или уменьшается, и почему?

4. Движется ли электрон до места сближения пластин с ускорением свободного падения?


30. Частица летит посредине между двумя горизонтальными металлическими плоскостями, находящимися на некотором расстоянии одна от другой, причем в некотором месте по пути следования частицы пластины сближаются и далее расстояние между ними остается постоянным.

1. Если эта частица - нейтрон, то через какое время она коснется одной из пластин?

2. Если эта частица - электрон, то какие силы на нее действуют?

3. Изменяется ли скорость электрона при прохождении сужения, и если да - то увеличивается или уменьшается, и почему?

4. Движется ли электрон до сближения пластин с постоянной горизонтальной скоростью?


31. В вертикальный сосуд налиты две жидкости, все параметры известны, жидкости не смешиваются, тяжелая - внизу. Вводят цилиндр с плотностью, промежуточной между плотностями жидкостей. Считая для начала цилиндр тонким, пренебрегая капиллярными явлениями и вязкостью, полагая, что цилиндр может располагаться только вертикально, найдите период малых вертикальных колебаний. При произвольном соотношении плотностей определить положения равновесия цилиндра и их устойчивость. Как изменится картина явлений, если цилиндр не тонкий?


32. Атомная батарея представляет собой конденсатор, на одну из пластин которого нанесен радиоактивный изотоп. Каждую секунду распадается N атомов с вылетом при каждом распаде электрона с энергией E. Все электроны долетают до противоположной пластины. Если к пластинам такого устройства присоединить сопротивление (нагрузку), в цепи будет протекать ток.

1. Определите ток короткого замыкания.

2. При какой разности потенциалов между пластинами электроны перестанут долетать до верхней пластины? Каково напряжение холостого хода или ЭДС устройства?

3. Определите мощность, выделяющуюся на верхней пластине в режиме короткого замыкания и холостого хода.

4. Постройте нагрузочную характеристику атомной батареи.


33. Генератор создает переменное периодическое напряжение с периодом 1 сек, причем в первой половине периода напряжение равно 1 В, а во второй - 2 В. Генератор нагружен на последовательно соединенные сопротивление 1 кОм и конденсатор.

1. Считая, что емкость конденсатора велика, определите заряд конденсатора к концу второй секунды;

2. Какова должна быть емкость, чтобы ее можно было считать "большой" в смысле данной задачи?

3. Каков будет заряд емкости, если емкость, напротив, мала в смысле данной задачи?


34. Батарея напряжением 1 В нагружена на последовательно соединенные сопротивление 1 кОм и конденсатор. Емкость конденсатора изменяется периодически с периодом 1 сек, причем в первой половине периода емкость равна некоторой постоянной величине, а во второй - вдвое большей.

1. Считая, что емкость конденсатора велика, определите заряд конденсатора к концу второй секунды.

2. Какова должна быть емкость, чтобы ее можно было считать "большой" в смысле данной задачи?

3. Каков будет заряд емкости, если емкость, напротив, мала в смысле данной задачи?


35. Тело начинает соскальзывать с плоскости, наклоненной под углом к горизонту. Коэффициент трения изменяется вдоль направления движения тела по плоскости периодически с периодом L (по длине), причем в первой половине периода он равен нулю, а во второй - некоторой, отличной от нуля, величине K.

1. Определите зависимость расстояния, которое тело пройдет до остановки, от массы тела, угла, периода L и коэффициента трения K во второй половине периода.

2. Изменится ли ответ, если в некоторый момент на тело будет сверху положено другое тело без начальной скорости?

3. Каков будет ответ, если коэффициент трения в первой половине периода будет равен K?


36. Тело начинает скользить по горизонтальной плоскости с некоторой начальной скоростью V. Коэффициент трения изменяется вдоль направления движения тела по плоскости периодически с периодом L (по длине), причем в первой половине периода он равен нулю, а во второй - некоторой, отличной от нуля, величине K.

1. Определите зависимость расстояния L, которое тело пройдет до остановки, от массы тела M, начальной скорости V, периода L и коэффициента трения K.

2. Изменится ли ответ, если в некоторый момент на тело будет сверху положено другое тело без начальной скорости?

3. Каков будет ответ, если коэффициент трения в первой половине периода будет равен K?


37. Оцените время потери Землей ее атмосферы при исчезновении гравитации.


38. Летящая пуля пробивает покоящийся шар много большего радиуса на заданном расстоянии от центра. Считая массы, радиус, прицельное расстояние, скорость и силу трения известными, оцените приобретаемые шаром импульс, кинетическую и тепловую энергию, угловую скорость, боковую компоненту скорости.


39. Исследуйте (для начала напишите систему уравнений, связывающих параметры) прямой не центральный удар - абсолютно упругий, абсолютно неупругий, при фиксированном коэффициенте трения.


40. Исследовать (для начала напишите систему уравнений, связывающих параметры) косой удар - абсолютно упругий, абсолютно неупругий, при фиксированном коэффициенте трения.


41. Известна задача на пространственное мышление - придумать пробку (трехмерное тело), которой можно заткнуть три в общем случае разных отверстия (то есть наружный контур проекции пробки проходит в отверстие, и у пробки есть сечение, совпадающее с отверстием). Пример - прямым круговым цилиндром можно заткнуть круглое и прямоугольное отверстия, а прямым эллиптическим цилиндром - эллиптическое и два прямоугольных. Определите условия наличия и отсутствия решения.


42. С высокой башни сброшена сфера, внутри которой находится шар меньшего, нежели полость в сфере, диаметра. Где он будет находиться при приземлении сферы?


43. Какую мощность надо вводить в пылесос, чтобы он взлетел за счет реактивного действия струи воздуха? Тот же вопрос для электрочайника - за счет струи пара? Вектор тяги считать управляемым.


44. Маленький заряженный шарик подвешен на нити, ниже него покоится другой маленький заряженный шарик. Рассмотрите равновесие подвешенного шарика.


45. Постройте нагрузочную характеристику двух последовательно соединенных источников со своими ЭДС и внутренними сопротивлениями; двух параллельно соединенных источников со своими ЭДС и внутренними сопротивлениями; двух параллельно соединенных источников со своими ЭДС и внутренними сопротивлениями, причем последовательно с одним или двумя источниками включены диоды.


46. "Нагрузочная кривая" источника питания - это зависимость напряжения на нагрузке от тока нагрузки. Если источник характеризовать ЭДС и внутренним сопротивлением, то это будет прямая. "Ток короткого замыкания" - это ток при сопротивлении нагрузки, равном нулю ("казэ"), "напряжение холостого хода" - напряжение при сопротивлении нагрузки, равном бесконечности (разрыв). Может ли быть построена нагрузочная прямая при токе, большем "тока короткого замыкания" и при напряжениях, больших "напряжения холостого хода"? Какая это будет кривая? Если прямая, то каков наклон ее участков? Как защитить источник от таких режимов?


47. Найти напряжение между пластинами и энергию "неправильно заряженного конденсатора" - когда сумма зарядов на пластинах не равна нулю.


48. Кусок однородной проволоки разрезают на N одинаковых частей. Какие сопротивления можно составить из этих кусков? Как можно описать полученное множество решений? То же при ограничении - мощности, выделяющиеся в частях, одинаковы.


49. При чтении лекции и пользовании доской систематически наблюдается явление: отшелушившаяся от куска мела порошинка в 1-2 мм соскальзывает по доске на протяжении 10-20 см, не отделяясь от нее. Человеком это воспринимается как нечто странное. Почему это так воспринимается? Почему падение в данном случае происходит в режиме скольжения?


50. Дано N кубиков, на каждой грани каждого написана одна из цифр 0, 1,..., 9. Пусть для начала количества всех цифр одинаковы. Легко видеть, что это возможно, если кубиков 5.

Вопрос N 1: как надо размещать числа, чтобы максимизировать (минимизировать) количество разных чисел, которые можно составить из этих кубиков, раскладывая кубики в рядочек?

Вопрос N 2: сколько разных чисел можно составить из этих кубиков, если способ размещения чисел на гранях не известен.

Вопросы N 3 и N 4 - вопросы N 1 и N 2, если кубиков 10, 15 и т.д.

Вопросы N 5 и 6 - вопросы N 1 и N 2 для произвольного количества кубиков.


51. Даны 6 кубиков, на каждой грани каждого написана одна из 33 букв русского алфавита, 3 позиции свободны.

Вопрос N 1: как надо размещать буквы, чтобы максимизировать (минимизировать) количество разных слов, которые можно составить из этих кубиков?

Вопрос N 2: сколько разных слов можно составить из этих кубиков, если способ размещения букв на гранях не известен?

Вопрос N 3: пусть кубиков N. Какие буквы надо выбрать для размещения и как их надо разместить, чтобы максимизировать (минимизировать) количество разных слов, которые можно составить из этих кубиков?


52. Рассмотрите задачи 50 и 51, если возможность расположения двух кубиков рядом определяется намагниченностью кубиков при разных физически реализуемых вариантах намагниченности.


53. На жестком стержне подвешена материальная точка. Стержень может вращаться в вертикальной плоскости, делая полный оборот, в узле вращения трение отсутствует. В нижней точке покоящемуся телу придают скорость, при которой кинетическая энергия равна приращению потенциальной при подъеме в верхнюю точку. Исследовать движение в окрестности верхней точки. Достигнет ли тело верхней точки?

54. Тело находится на плоскости с известным коэффициентом трения, на него действует сила под углом к горизонту. Найти минимум силы, достаточной для движения.


55. Известно много задач следующего типа: дано несколько чисел, расставить между ними знаки арифметических действий, так чтобы получить заданный результат. Можно представить себе несколько вариантов - когда даются только цифры, когда надо добиться не определенного результата, а минимального или максимального, когда скобки разрешены или запрещены, когда разрешено или запрещено возведение в степень и т.д. Разработать классификацию подобных задач, исследовать путем самонаблюдения интуитивные алгоритмы решения и облечь их в инструкции.


56. Лед при охлаждении сжимается, вода при нагреве расширяется. Возможна ли ситуация, когда достаточно холодный лед утонет в достаточно горячей воде (теплообмен считать достаточно медленным)?


57. Внутри кольцевого барабана стартует из нижней точки тело, скорость направлена по касательной к окружности, трение отсутствует. Найти зависимость высоты подъема тела от скорости в диапазоне от нуля до верхней точки барабана.


58. Найти положения равновестия и их устойчивость в системе закрепленного точечного заряда и свободно вращающимся вокруг своего центра симметрии диполем. То же для двух таких диполей.


Раздел 3. "Настоящие" задачи


В этом разделе собраны задачи, относящиеся к реальным или претендующим на реальность ситуациям. В отличие от задач предыдущего раздела сам набор физических законов, описывающих ситуацию, не всегда ясен с самого начала.


1. На горизонтальной плоскости лежит куб, на его верхний угол действует горизонтальная сила, меньшая силы трения покоя. Рассмотрите равновесие относительно вращения вокруг вертикальной и горизонтальной осей, разрешите парадокс. При каком угле наклона этой силы "парадокс" не возникает?


2. В горах на ледниках образуются ледяные столбы (с камнем наверху) и ледяные стаканы (с камешком на дне). Оцените критический размер камня, максимальную глубину стаканов.


3. При какой скорости ветер поднимает песок?


4. Почему к весне вокруг деревьев и столбов протаивают кольцевые канавки?


5. Есть две одинаковые по конструкции катушки со слегка различающимся количеством витков. Как их включить, чтобы получить одинаковые магнитные поля?


6. Какова может быть максимальная длина столбика воды, покоящегося в наклонном капилляре (не погруженном в жидкость)?


7. Сравните эффективность маяка со вспышкой и с вращающимся лучом.


6. Определите цвета мыльного пузыря, тонких пленок на воде и цвета побежалости (тонких пленок окисла на металле).


9. Дверь закрывается "сама", но не сдвигается сама, если ее остановить в промежуточном положении. Почему?


10. Плоский камень влетает в воду под некоторым углом. Найдите число отскоков. Бонус от редактора: если летом на берегу водоема вам станет скучно - вспомните эту задачу и попытайтесь реализовать полученный ответ на практике.


11. Определите максимальную высоту подъема человека за счет перехода тепловой энергии в механическую.


12. Оцените несимметрию монет и влияние несимметрии на вероятности выпадения сторон.


13. При опускании металлической трубки в сосуд с жидким азотом из нее вырывается струя азота. Почему? Оцените параметры струи.


14. Найдите ток в системе: плоский конденсатор, содержащий известное количество металлического порошка, подключен к батарее. То же, если порошок имеет конечную проводимость.


15. Почему ночью съезжает одеяло в пододеяльнике?


16. Найдите зависимость полного времени бритья от скорости движения электрической бритвы. Рассмотрите разные модели бритв - с колеблющимися ножами, с вращающимся ножом, с торцевыми головками.


17. Почему на выходе из отбойного молотка воздух - с серо-голубым оттенком?


18. Открытки и календари с изображением, зависящим от угла зрения, - как устроены?


19. Объемные открытки и календари - как устроены?


20. Возможно ли изготовление открытки с изображением, имеющим одновременно свойства задач 18 и 19 (автор задачи - Дина А., 6 лет).


21. Определите усилия в термобиметалле при запрещении и разрешении изгиба.


22. Можно ли использовать для получения электроэнергии перепад высот между Средиземным и Мертвым морем? Какова может быть мощность такой электростанции при экологических (каких именно?) ограничениях?


23. Вычислите радиус сферы Роша для систем Земля-Луна, Солнце-Меркурий. Учтите роль гравитационного притяжения частей тела и прочность.


24. Каково должно быть устройство женской сережки для максимальной привлекательности (максимальная частота колебаний, максимальная площадь) при ограничении на вес? Какова длительность вспышки света (блика) от сережки? Как должны отличаться цепочки на запястье и на лодыжку?


25. В фонарь вставлены две батарейки, но фонарь не работает. Выключатель и лампа исправны. Тестер при измерении напряжения батарей вне фонаря дает норму, а во "включенном" фонаре - у одной норма, а у другой - норма, но обратной полярности. Возможно ли это? Если да, то при каких условиях?


26. В процессе нагрева электрочайника нагревается и воздух в комнате. Известно, что само кипение происходит при постоянной температуре. Нагревается ли воздух в процессе кипения воды в электрочайнике?


27. Ширина дверного проема L. Размер двух одинаковых дверей А, 2А>L. Высота двери - Н, толщина - В, модуль Юнга материала - Е. Какое нужно усилие, чтобы закрыть дверь? При каком давлении ветра она открывается? Если 2А<L, какую вставку надо вложить? Сформулируйте критерий эффективности вставки. Проанализируйте роль трения.


28. Деревянная декоративная планка привинчена несколькими шурупами к пластмассовым пробкам, вбитым в стену. Замечено, что один из шурупов вывинчивается примерно на 1 см за неделю, выходит из пробки и перестает вывинчиваться. Явление повторялось многократно. Объясните эффект (наблюдение В.Д.Ш.).


29. Объясните работу заколки, имеющей два устойчивых положения деформируемого элемента - П-образной металлической пластины, у которой "ножки" буквы "П" сближаются, накладываются на конце и соединяются там заклепкой.


30. Оцените величину эффекта Гаусса - увеличения сопротивления в магнитном поле. Из чего надо делать магниторезистор?


31. В стакан наливается кипяток, сверху ставится консервная банка, и если через некоторое время поднять банку, то стакан поднимется вместе с ней. Почему и при каких условиях это происходит?


32. Исследуйте поведение космического аппарата в солнечном ветре при концентрации протонов и электронов 7.10 в шестой степени частиц в м кубическом и скорости протонов и электронов 400000 м/с. Найдите зависимость давления от потенциала аппарата, сравните его с фотонным давлением на орбите Земли (солнечная постоянная 1,5 кВт/м квадратный).


33. Почему перед перегоранием лампочка жужжит?


34. Найдите максимальную высоту прыжка с шестом.


35. Оцените огнестойкость сейфа, в том числе с водяной прослойкой. Оцените огнестойкость спускаемого аппарата "Венера". Оцените поток тепла через вакуумный стеклопакет, через оболочку термоса, через оболочку большого сосуда Дьюара.


36. Работоспособность лазерного зеркала для мощного лазера определяется в основном сохранением его размеров при воздействии излучения. Рассмотрите работу лазерного зеркала, найдите причины изменения размеров, укажите алгоритм выбора оптимального материала. Рассмотрите композиционные материалы.


37. Найдите оптимальную форму весла с уключиной. Обычно это палка с двумя расширениями - лопасть и участок около уключины. Почему?


38. Почему при застывании парафина в стакане его поверхность получается вогнутой, а при застывании воды - выпуклой с трещинами?


39. Если положить на два горизонтальных параллельных пальца линейку и сдвигать пальцы, они сойдутся посредине. А что произойдет, если раздвигать?


40. Исследуйте фигуры, видимые при колебаниях пинцета или камертона перед экраном телевизора или монитора.


41. При выливании воды из банки струя сплющена, но ее плоскость в пространстве не постоянна - на выходе из банки она совпадает с плоскостью края отверстия, далее поворачивается на 90 градусов, еще на 90 и т.д. Почему? (автор задачи - Дина А., 8 лет)


42. Объясните возникновение муаровых фигур при поднесении сетки близко к листу бумаги.


43. В половине комнаты гравитационное поле есть, в половине нет. По полу скользит кирпич и пересекает границу. Поведение?


44. Как лучше охлаждать чай - держа в нем ложечку или периодически ее вынимая? (автор задачи - А.Ф.Д.)


45. Оцените усилия, необходимые для вытаскивания из доски гвоздя со cпиральной нарезкой.


46. Новичкам-подводникам демонстрируют, что такое глубина, так: между бортами подлодки натягивают нитку, которая провисает после погружения. Оцените толщину корпуса подлодки, если при погружении на 100 м нитка провисает на 3 см.


47. Почему возникает звук при поцелуе?


48. В реку брошена палка, у которой центр тяжести смещен от середины. Как она будет себя вести?


49. Мыло, уроненное в ванну, иногда вылетает из нее. Оцените коэффициент трения. Оцените механизмы вылета - наклон стенок и колебания в куске.


50. Оцените силу удара при наступании на грабли.


51. Почему кружок колбасы выгибается при жарке?


52. Оцените давление при лазерной абляции.


53. Оцените давление при столкновении птицы с самолетом и замороженной птичьей тушки - со скоростным поездом.


54. Оцените проводимость поликристалла, сложенного из анизотропных монокристаллов.


55. Рассмотрите возможную технологию круглосуточного наступления конницы (согласно некоторым данным, так наступали войска Чингиз-хана). Считайте, что лошадь может скакать со спящим всадником, что для управления табуном достаточно некоторого (относительно незначительного) количества бодрствующих всадников, что лошадь без всадника может поддерживать большую скорость, чем с всадником или ту же, но в течение большего времени.


56. Оцените радиус окружности, аппроксимирующей форму диска (Луны или Солнца), наблюдаемого низко над горизонтом (это объяснение известного эффекта).


57. При каком характере движения вагона и каких свойствах трения тело, лежащее на полу, при начале движения вагона начнет двигаться вперед по ходу в системе вагона?


58. Оцените время жизни двойного астероида по механизму столкновений.


59. Оцените максимальное количество еды на тарелке как функцию диаметра тарелки и параметров еды - плотности, прочности и др., для однокомпонентной и многокомпонентной еды.


60. Определите угол естественного откоса.


61. Какая доля граждан в толпе может поджать ноги и не упасть? Размеры людей обычные, коэффициент трения дан.


62. Оцените реальность механизма электризации капель при трении, в предположении, что удельное сопротивление дождевой воды таково же, как у дистиллированной воды - 200000 Ом.м.


63. Проанализируйте механизм трения качения, вычислите коэффициент трения качения покоя и движения.


64. Каков механизм попадания воздуха в песчаные картины?


65. Оцените зависимость время высыхания открытого зонта от скорости его вращения.


66. Почему режет нож?


67. Два шарика, находящиеся на расстоянии 25 м один от другого и в 250 м от поверхности земли, падают на землю. Как изменится расстояние между ними при падении? То же, если шарики расположены на одной вертикали (то есть в 250 м и 275 м от поверхности земли). Сопротивлением воздуха пренебречь. (Э.Ф.Тейлор, Дж.А.Уилер "Физика пространства-времени", М., Мир, 1969).


68. Пусть дан рельеф на участке между МИЭМом и метро "Китай-город". Теоретически определите значение коэффициента трения, при котором возможно скольжение на попе со стартом у МИЭМа и финишем у входа в метро, определите скорость на финише. Рассмотрите обратную задачу - при заданных коэффициенте трения, скорости на финише и ограничениях на ускорение и скорость определить рельеф. Рассмотрите прямую и обратную задачу на подмножестве кусочно-ломаных траекторий из двух участков.


69. Для испытаний мощного генератора электрического напряжения нужна "эквивалентная нагрузка" - нечто, что имело бы сопротивление R и при приложении к нему напряжения U на время t не вышло бы из строя (не расплавилось, если оно твердое, не испарилось, если жидкое, не разорвалось и т.д.). Время t достаточно мало, и процессы считать адиабатическими.

1. Нагрузку делают из проволоки сечением S, материал имеет сопротивление ?. Какой длины L кусок надо взять?

2. Насколько он нагреется при приложении напряжения U на время t, если удельная теплоемкость - C (остальные величины введите сами).

3. Если эта температура выше предельно допустимой для данного материала в 10 раз, во сколько раз надо увеличить S? Как при этом изменится L?

4. Предположим, что время t не слишком мало, и мы хотим нарушить адиабатичность процесса, охлаждая эквивалентную нагрузку быстропротекающей водой. Из проволоки ли надо делать в этом случае нагрузку?


70. Межконтинентальная баллистическая ракета имеет два двигателя. Основной (так называемый "маршевый") поднимает ее на высоту 50 км и разгоняет до скорости 10 км/с. Далее ракета пролетает по инерции 10.000 км за 17 мин (так называемое "подлетное время"). Точность наведения на цель составляет не более 200 м - из-за влияния нестабильности тяги, влияния атмосферы, колебаний температуры горючего и т.д. Поэтому на последнем 100-км участке траектории включается так называемый "двигатель подруливания", обеспечивающий более точное поражение цели.

1. Считая, что масса ракеты постоянна и равна средней - 60 т, определите тягу маршевого двигателя.

2. Укажите соотношение двух компонентов энергии в конце подъема.

3. Найдите тягу двигателя подруливания.

4. Какую максимальную скорость истечения продуктов сгорания может иметь двигатель, сжигающий бензин с теплотворной способностью 40000 кДж/кг?


71. Шар брошен вертикально вверх. Время подъема или падения будет больше?


72. Батареи с одинаковыми ЭДС и внутренними сопротивлениями соединены следующим образом.

1. Две, причем + с +, - с - . Что покажет вольтметр?

2. Две, причем + с -, - с +. Что покажет вольтметр?

3. Три, причем + с -, + с -, + с -. Что покажет вольтметр?

4. Три, причем + с +, - с -, + с -. Что покажет вольтметр (оба варианта)?


73. Маятник колеблется в подвесе с трением. В каком диапазоне углов он может остановиться?


74. Как устроено зеркало и дает ли оно точечное изображение точечного источника? Может ли влиять на ситуацию немонохроматичность источника? Почему обычно мы видим в зеркале одно изображение, и от чего зависит, сколько изображений видит человек?


75. "На таинственном корабле, на носовой башне, появился луч. Он был тонок, как вязальная игла, ослепительно белый, и шел из купола башни, не расширяясь". Применив гиперболоид конструкции инженера Гарина, его любимая, Зоя Монроз прорезала лучом в течение 1 сек надстройку пакетбота насквозь. Длина разреза - 5 м, двойная толщина обшивки - 4 мм, материал - сталь, диаметр луча - 2 мм, теплоемкость стали 0,5 Дж/г.град, температура плавления 1400 градусов С, теплота плавления 200 Дж/г, плотность 8 г/см кубический.

1. Какую мощность имел гиперболоид "в луче", если излучение в оптическом диапазоне поглощается ржавой сталью полностью (теплопроводностью пренебречь)?

2. Сколько горючего сжигал гиперболоид в секунду при теплотворной способности 40 кДж/г и КПД - 50%?

3. Если корпус гиперболоида охлаждался водой с исходной температурой 10 градусов С и она нагревалась до 90 градусов С - то сколько литров в секунду должно прокачиваться через систему?

4. Почему жидкость в системе охлаждения нельзя нагревать до кипения?


76. Вольт-амперные характеристики двух диодов (германиевого и кремниевого) аппроксимированы так: для Ge I от U линейно до 1 А при 0,5 В, и далее ток нарастает бесконечно быстро с ростом U; для Si I от U линейно до 1 А при 0,7 В, и далее ток нарастает бесконечно быстро с ростом U.

1. Какая средняя мощность будет выделяться в диоде, выпрямляющем переменный синусоидальный ток с амплитудой 10 А?

2. Какой диод надо применить для получения большего КПД?

3. Диод надо установить на радиаторе, и его температура будет линейно зависеть от выделяющейся мощности. Площадь радиатора такова, что при 1-2 Вт температура диода составит 80-140 градусов С. Предельная рабочая температура Ge-диодов - 120 градусов С, Si-диодов - 180 градусов С. Какой диод надо применить?


77. Полярные шапки Марса состоят из кристаллов льда (с незначительной примесью CO два) со средней плотностью 0,1 г/см кубический. Плотность излучения Солнца на орбите Земли - 1,5 кВт/м квадратный. Радиус орбиты Марса - 230 миллионов км, Земли - 150 миллионов км. Исходная температура льда - минус 50 градусов С, теплоемкость - 4 Дж/г.град, теплота плавления - 300 Дж/г, теплота испарения - 2300 Дж/г. Считайте, что лед испаряется из твердой фазы, минуя плавление и не нагреваясь.

1. На какую толщину уменьшится полярная шапка Марса за марсианские сутки (25 часов)?. Считайте, что рассматривается период "полярного дня", когда освещенность постоянна.

2. Как изменится оценка, если учесть, что для видимого излучения коэффициент поглощения льдом - 0,2?

3. Как изменится оценка, если учесть, что средний угол падения лучей на поверхность - 30° (между лучом и поверхностью)?


78. Конденсаторный делитель напряжения собран из пяти конденсаторов емкостью C, и для равномерного деления по ним внешнего напряжения конденсаторы зашунтированы сопротивлениями R каждый. Предельное напряжение каждого конденсатора - Uc, рабочее напряжение на делителе - U (относительно земли).

1. Каково напряжение на конденсаторах, если все сопротивления утечки конденсаторов Rут >> R?

2. Каково напряжение на конденсаторах, если один из конденсаторов пробился?

3. Каково максимальное из напряжений на конденсаторах, если оборвался контакт одного из сопротивлений R?

4. Каково максимальное из напряжений на конденсаторах, если оборвались контакты двух из сопротивлений R, при условии, что все сопротивления утечек равны?


79. Радиолокатор излучает отдельные короткие импульсы. Сигнал отражается от самолета, летящего а) к локатору, б) перпендикулярно вектору, соединяющему локатор и самолет, возвращается к локатору и принимается его приемником.

1. Сколько нужно импульсов, чтобы определить расстояние до самолета в случае а), и как его определить?

2. Сколько нужно импульсов, чтобы определить расстояние до самолета в случае б), и как его определить?

3. Сколько нужно импульсов, чтобы определить скорость самолета в случае а), и как ее определить?

4. Сколько нужно импульсов, чтобы определить скорость самолета в случае б), и как ее определить?


80. Солнечная батарея на спутнике освещается Солнцем в течение 1/2 оборота вокруг Земли (время оборота T) и генерирует ЭДС E, имея внутреннее сопротивление R. От нее заряжается аккумулятор со своей ЭДС EA<<E и предельной емкостью Q. От аккумулятора в течение 1/4 оборота работает система слежения за запусками МБР, а при обнаружении таких запусков - включается передатчик, сообщающий о ракетной атаке. Мощность сигнала передатчика P, КПД - 50%.

1. Какой ток протекает при заряде?

2. Какое количество электричества (заряд) запасается в аккумуляторе?

3. Какой максимальный ток и какую максимальную мощность может потреблять система слежения?

4. На какое время работы передатчика хватит емкости аккумулятора, если последний предварительно заряжен до максимальной емкости?


81. При протекании импульса большого тока по металлической трубе она может сжаться в стержень. При протекании импульса большого тока по металлическому кольцу оно может быть разорвано, но не сжато.

1. Каков механизм этих двух процессов?

2. Какие из нижеследующих параметров влияют на ток, при котором возникает это явление в вышеприведенных случаях? Удельное сопротивление материала, удельный вес материала, удельная плотность материала, температура плавления, прочность, модуль Юнга, коэффициент излучения, удельная теплоемкость, длительность импульса.

3. Для тех параметров из п.2, от которых зависит, - укажите: при увеличении параметра потребный ток увеличивается или уменьшается?

4. При протекании тока по сплошному металлическому стержню - равномерно ли распределяется ток по сечению?


82. Человек стоит в воде по колено. Есть ли тень на дне и на воде? Есть ли отражение? Отражение тени? Тень отражения?


83. Найдите максимальную скорость покидания солнечной системы "солнечным парусом" в зависимости от положения точки старта и параметров паруса.


84. В стране есть две партии, у каждой партии есть два кандидата, и выборы происходят в два тура - в первом выбираются кандидаты внутри партий, во втором делается выбор между партиями (единственными кандидатами от них). В первом ("внутрипартийном") туре гражданин может голосовать за кандидатов любой партии, но только одной. Никаких ограничений на его голосование во втором туре это не накладывает. Поэтому существует три стратегии поведения в первом туре

1. Голосовать за лучшего кандидата от своей партии

2. Голосовать за наименее "проходного" из чужой, стремясь к тому, чтобы в первом туре победил он и это ослабило бы позиции чужой партии во втором туре.

3. Голосовать за лучшего из чужой, стремясь к тому, чтобы если кандидат от своей партии проиграет, был выбран лучший кандидат от чужой.

Сравните эффективность стратегий.


85. Человек в среднем теплее окружающей среды, при этом внутренности человека теплее наружных слоев тела и кожи - поскольку тепло распространяется от горячего к холодному. Перенос тепла в человеке в значительной мере осуществляется кровью. Терморецепторы у человека расположены в коже. Исходя из этой простейшей модели, ответьте на следующие вопросы.

1. Почему, когда человек выходит на мороз, он мгновенно ощущает холод, хотя тело не может заметно остыть за долю секунды.

2. При попадании внутрь организма спирт вызывает расширение сосудов. Почему, если человек уже сильно замерз, это может привести к смерти?

3. Как следует отогревать сильно замерзшего человека - медленно (даже не внося сразу в теплое помещение, а сначала в прохладное, потом в более теплое и т.д.), средне (просто внеся в теплое помещение) или быстро (погрузив в горячую воду)? Какой из этих вариантов наиболее опасен?

4. Будем называть удельным теплосодержанием отношение тепловой энергии к массе (эту величину можно было бы еще назвать средней температурой). Как оно изменяется, когда человек писает? (В некоторых книгах по биологии этот вопрос обсуждается серьезно, приводятся варианты ответа и аргументы за и против; с точки зрения физики вопрос тривиален).

5. Почему человек "согревается", когда пьет горячий чай? Хотя его температура существенно выше температуры человека, влияние на температуру человека мало из-за малой массы чая (оцените это влияние сами). Тем не менее, субъективный эффект налицо. Примечание - человек, когда пьет горячий чай, часто обхватывает кружку руками, хотя на суммарный теплообмен это влияет очень слабо (переданное таким образом тепло вычитается из теплосодержания чая).


86. Предположим, что нам нужно изменить значение некого параметра некой системы с одного на другое. Например, перенацелить ракету, переместить резец токарного станка, изменить температуру в печи, скорость железнодорожного состава и т.д. Процесс изменения параметра может происходить монотонно, а может - в колебательном режиме: то есть сначала параметр изменяется слишком сильно, останавливается, возвращается, опять перескакивает через нужную точку, возвращается... и, сделав несколько колебаний, успокаивается. Для того, чтобы изменение началось, я должен вложить некоторую энергию. При изменении механического параметра это будет кинетическая энергия перемещаемой массы. Долю энергии, превращающуюся в тепло при изменении параметра от одного значения до другого, будем называть коэффициентом затухания. Введите определение времени перестройки и покажите, что максимально быстрая перестройка осуществляется при средних значениях коэффициента затухания. Оцените оптимальное значение коэффициента затухания для механических гармонических колебаний.


Примечание. Задача возникла в результате наблюдения поведения двух юных особ - М.А. и Д.А. в процессе сосания молока. У более спокойной М.А. затухание (демпфирование) было больше, и она наводилась на цель в апериодическом режиме, т.е. обнаружив в поле зрения грудь, плавно поворачивала голову и начинала сосать. У ее младшей сестры, Д.А., демпфирование в механо-психологическом канале было меньше, рот проскакивал мимо соска и приходилось возвращаться, т.е. реализовался колебательный режим. Автор благодарен М.А. и Д.А. за предоставление возможности наблюдения.


87. Как надо расположить три гвоздя, вбитые в стену, чтобы накинутая на них веревочная петля с грузом создавала на них одинаковые усилия? Тот же вопрос для другого количества гвоздей.


88. Предлагается метод разогрева замороженных сосисок пропусканием тока. Поскольку сопротивление льда больше сопротивления воды (при данном содержании солей) и ожидается скачок сопротивления при плавлении, необходимо подвести энергию к сосиске от источника с некоторым сопротивлением. Определите величину этого сопротивления.


89. Пусть у человека имеется несколько объектов общения (друзей), в течение суток он общается с каждым время t(1), общение разделено на сеансы длительностью t(2) и состоит из обмена репликами длительностью t(3). Назовем "классическим" общение с t(1)= t(2) и "sms-общением" общение с t(2)= t(3). Пусть подготовка к общению требует объема памяти, пропорционального длительности общения, а ответ на реплику требует скорости работы процессора, монотонно увеличивающейся с количеством реплик от начала сеанса. Тормозом будем называть человека с низкой скоростью работы процессора, а идиотом - человека с малым объемом памяти. Покажите, что переход к "sms-общению" превращает человека в тормоза и идиота (реплика редактора - или позволяет превратиться).


90. Кот открывает дверь, встав на задние лапы и упираясь передними в дверь. Считая кота жестким однородным стержнем, определите оптимальный угол наклона.


91. В плоскопараллельную (или клиновидную) прямоугольную пластину из прозрачного материала с торца вводится излучение светодиода. Оптимизируйте индикатрису излучения диода с точки зрения равномерности плотности излучения на плоскости пластины.


92. Небольшой металлический шарик на длинной нити колеблется между двумя вертикальными проводящими пластинами, подключенными к источнику ЭДС, касаясь их. Определите срок службы такого "вечного двигателя".


93. В вертикальной открытой сверху и закрытой снизу пробирке находятся воздух - в нижней части и ртуть - в верхней части. При нагревании воздух расширяется, ртуть поднимается выше и часть ее выливается. Обычно спрашивается, какой нагрев необходим, чтобы ртуть вылилась вся. Определите условия, при которых на протяжении всего процесса ситуация остается устойчивой.


94. У некоторых кружек в процессе эксплуатации возникают трещины в эмали - покрытии внутри кружки. Причем возможны две ситуации: либо трещины на дне и стенках расположены хаотически, либо на дне они расположены радиально, а на стенках - горизонтальными кольцами. Почему?


95. С какой скоростью вылетят из гаек болты и из дерева - гвозди, если исчезнет трение?


96. На сайте выложено M текстов. Их просмотрело N читателей. Читатель ставит оценку тексту с вероятностью p << 1, если до него этот текст никто не оценил и с вероятностью q << 1, если его кто-то уже оценил. Что можно сказать о количестве текстов, оцененных 1, 2, 3, 4 и т.д. читателями? Из эксперимента известно, что максимальное количество текстов оценено 3 читателями. Не объясняется ли это тем, что q>>p?


97. Проанализируйте поведение столба жидкости (разрыв через кипение) в закрытой сверху трубке при отсутствии выше жидкости в трубке воздуха и при его наличии. Капиллярными силами и нарушением плоскостности границы пренебречь, трубу считать бесконечной или ограниченной длины.


98. Проанализируйте поведение столба жидкости в закрытой сверху трубке - выливание путем нарушения плоскостности границы.


99. Определите колебания сопротивления при перемещении движка по проволочному реостату.


100. Рассмотрите поведение системы из водопровода с ограниченной производительностью по горячей и по холодной воде, с разводкой на двух потребителей. Потребители предъявляют требования по суммарному расходу и соотношению потоков горячей и холодной воды (то есть по температуре струи). Рассмотрите поведение системы при изменении режима потребления одним из потребителей. (Можно воспользоваться аналогией с электричеством).


101. Мокрый конический стакан плотно вставляется в такой же. Какая сила нужна для их разделения?


102. Вычислите эффективный коэффициент теплообмена излучением для двух бесконечных плоских поверхностей. Рассмотрите случай, когда поверхности разделены тонким экраном с различными коэффициентами излучения поверхностей.


103. На табло в салоне самолета отображается, кроме всего прочего, направление и скорость ветра и скорость самолета. Если направление ветра неизменно, сколько пар значений скоростей надо, чтобы определить направление полета самолета? То же, если направление ветра изменяется.


104. Дано N монет, из них M - одного веса, остальные другого. Постройте алгоритм разделения, минимизирующий количество взвешиваний, определите зависимость количества взвешиваний от M и N. То же в случае, если M < N/2 и известно, в какую сторону отличается вес тех, которые в меньшем количестве (два классических варианта этой задачи - M = 1).


105. При продаже цветов применяется следующий способ их украшения - между пальцем и лезвием ножниц протягивается ленточка, которая после протягивания завивается спиралькой. Почему это происходит?

После двух таких протягиваний с разных сторон ленточка получается примерно прямой, но ее исходная длина не только не возрастает (а должна бы на 0,6 % из геометрических соображений), а даже чуть уменьшается (на 0,3 %). Почему?


106. Сумка на боку должна быть прижата к боку владельца всей боковой поверхностью. Считая сумку жестким параллелепипедом, определите оптимальные точки закрепления лямки (двухмерное приближение).


107. Обобщенная задача Дидоны: (1) линией фиксированной длины ограничить максимальную площадь на суше на границе с берегом заданной формы, (2) линией фиксированной длины ограничить максимальную площадь на плоскости с исключением фиксированных участков.

Примечание - если в ситуации (2) исключенные участки расположены в ограниченной части плоскости, то ответ очевиден - окружность вне области, содержащей исключенные участки. Поэтому надо рассматривать ситуации, когда такой ограниченной области нет, то есть на плоскости имеется бесконечная (периодическая или непериодическая) система исключенных участков.


108. Два стержня разных сечений из материалов с разными коэффициентами термического расширения и модулями Юнга соединены за концы (параллельно или один за другим) и нагреты. Определите длину сборки. Возможной потерей устойчивости при параллельном соединении пренебречь. То же для трех стержней.


109. Два стержня разных сечений из материалов с разными коэффициентами термического расширения и модулями Юнга соединены за концы (параллельно) и нагреты. Определите радиус изгиба после потери устойчивости.


110. Определите оптимальный алгоритм перемещения из вагона метро на перрон и с перрона в вагон двух фиксированных количеств людей. Скорость перемещения ограничена сверху, исходные расположения произвольные, открытие дверей мгновенное, люди несжимаемы. Допустимо рассмотрение как дискретной, так и непрерывной модели.


111. Какие факторы влияют на время закипания воды в чайнике с открытой и закрытой крышкой? Может ли во втором случае время закипания быть меньше, чем в первом?


112. Студенты и школьники забывают в 416 комнате МИЭМа N ручек в день, из которых доля M - испорченные. В комнате работает K преподавателей, каждый из которых обращается к ручкам R раз в день и при обнаружении испорченной - выкидывает ее.

Определите динамически равновесное количество испорченных ручек в комнате, если преподаватель, выкинув испорченную, обращается за следующей, и если не обращается. Какие дополнительные параметры нужны для определения динамически равновесного количества исправных ручек в комнате? Введите параметры и определите это количество.


113. Имеется N женщин. Каждая женщина считает нужным рассказать каждой женщине о разговоре с каждой женщиной. Примем оптимистическую гипотезу о том, что стартовый разговор один, что продолжительности всех разговоров T одинаковы и эта продолжительность << 24 часа/N. Определите, как со временем нарастает количество разговоров, и момент достижения насыщения по времени. Рассмотрите ситуацию с N женщинами и M мужчинами в предположении, что мужчины и женщины придерживаются разных стратегий - каждая женщина считает нужным рассказать каждой женщине о разговоре с каждой женщиной и каждым мужчиной, а каждый мужчина считает нужным рассказать каждой женщине о разговоре с каждой женщиной. Рассмотрите ситуации комбинирования иных стратегий.


114. Рассчитайте механические напряжения в однородном вращающемся диске. Рассчитайте механические напряжения в однородном вращающемся обруче. Рассчитайте механические напряжения в однородном стержне, вращающемся в плоскости вокруг своего конца. Рассчитайте механические напряжения в стержне переменного сечения, оптимизируйте зависимость сечения от расстояния от оси вращения.


115. С некоторой высоты на жесткую поверхность падает тонкостенный резиновый баллон известного объема, наполненный водой. Определите радиус разлета жидкости.


116. Почему при резке пачки бумаги ножницами листы съезжают? Оцените сдвиг и возможность предотвращения оного.


117. Список в N файлов пополняется случайным образом равномерно по всей длине, а просматривается и подвергается прочтению, начиная с начала. Прочитанные файлы удаляются. Полагая, что в целом процесс сбалансирован, то есть средняя скорость пополнения равна средней скорости удаления, определите зависимость времени до прочтения от положения файла в списке в начальный момент.


118. Определите максимум угла отклонения призмы по углу при вершине и углу падения. Оцените возможность реализации этого результата.


119. В вакууме находится плоский конденсатор, посредине между пластинами находится сетка. Разности потенциалов между сеткой и пластинами конденсатора известны. Электрон стартует с одной из пластин с некоторой начальной скоростью. Рассмотрите движение электрона в зависимости от параметров системы, получите условия возникновения колебаний, определите их период. Возможностью захвата электрона сеткой пренебрегать.


120. Кот открывает дверь с разбега. Ему следует биться о дверь лбом (твердым) или телом (мягким)? То есть надо исследовать зависимость смещения двери от жесткости налетающей на дверь массы.


121. Возникает ли боковая сила при движении шара в неоднородном по плотности потоке?


122. Лужа замерзла с поверхности, подо льдом - вода, в воде, подо льдом, пузырь воздуха. Можно ли сказать что-либо о температуре воды в луже? Можно ли сказать что-либо о скорости падения температуры воздуха?


123. Сосуд с водой имеет известные диаметр, длину, диаметр горлышка, длину горлышка, прочность. Разорвется ли он при замерзании воды? Частный случай - отсутствие горлышка (диаметр горлышка равен диаметру сосуда, длина горлышка равна нулю).


124. Сумка на колесиках подкатывается к ступеньке. Определите область параметров, при которых она вкатится на ступеньку.


125. Даны два источника воды с известными расходами и температурой, известная емкость и источник энергии известной мощности. Определите технологию налива и нагрева, минимизирующую время достижения кипения, и само это время.


126. Определите сочетание параметров, при которых туалетная бумага отрывается от рулона. Даны: прочность, модуль Юнга, сечение и длина свисающей бумаги, диаметр и вес рулона.


127. Оцените эффект охлаждения пальцев холодной водой перед переноской кастрюли с горячей водой (автор задачи - А.С.)


128. Тело из прочного и жесткого материала с известными массой, объемом и формой тонет в воде (например, из-за взрыва экспериментальной торпеды) и опускается на плоское дно с известными прочностью и модулем Юнга. Определите выталкивающую силу (задача посвящена Президенту РФ, который на вопрос о том, что произошло с подлодкой "Курск", ответил бессмертной фразой: "Она утонула").


129. При продаже цветов применяется следующий способ их украшения - между пальцем и лезвием ножниц протягивается ленточка, которая после протягивания завивается спиралькой. После двух таких протягиваний с разных сторон ленточка получается примерно прямой, но ее исходная длина не только не возрастает (а должна бы на 0,6 % из геометрических соображений), а даже чуть уменьшается (на 0,3 %). Почему?


130. В светильник вкручено два лампочки, каждая имеет две спирали - 50 и 100 Вт. Сколько вариантов освещения можно создать? То же, если мощности 50 и 150 Вт. Осознать разницу между этими задачами, сформулировать аналогичные задачи для нескольких лампочек с несколькими спиралями, решить их.


131. На той стадии облысения, на которой я нахожусь сейчас, в 2009/2010 учебном году, наблюдается такой эффект: когда голова мокрая, волосы темные и редкие - сквозь них просвечивает череп, а когда сухая - светлые и череп не просвечивает. Почему?


132. Оценит эффективность гальванического элемента с расплавляемым электролитом.


133. Оценить зависимость усилия, необходимого для того, чтобы вырвать болт из гайки, от того, на сколько витков он вкручен.


134. Какова будет траектория Земли, если гравитацию отключить? А если заменить на отталкивание?


135. Почему не передаются колебания по ненатянутой нити?


136. Рассмотреть равновесие в пространстве дипольно намагниченных шаров. То же для шаров с расположенными на противоположных полюсах зарядами.


137. Два термометра, установленные снаружи на двух окнах, выходящих на разные стороны дома, показывают разные температуры. Определить возможные причины и наблюдения, которые могли бы определить основную причину.


138. Исследовать устойчивость капли жидкости, висящей на плоской поверхности.


139. Проводящий стержень стоит вертикально. Оценить распределение по высоте плотности вещества, заряда ионов, заряда электронов проводимости, электрического поля.


140. Рассмотреть влияние закручивания нити подвеса на маятник Фуко.


141. К проводящей проволоке (все размеры и параметры материала даны) прикладывается напряжение некоторое напряжение на некоторое время. Напряжение достаточно велико, а время достаточно мало, чтобы твердое тело превратилось в газ в том же объеме ("взрывающаяся проволока"). Определить напряжение и время и дальнейшую судьбу объекта.


142. Оценить параметры тумана (размер капель и концентрацию) чтобы из 517 аудитории МИЭМа не были видны здания на Кутузовском проспекте, где живет моя подруга, оценить параметры лазера, необходимого для обеспечения видимости (испарения капель на пути луча).


143. Оценить нагрев воды при волнении и испарение жидкого азота при переноске дюара. Рассмотреть механическую аналогию - нагрев при колебаниях тележки с лежащем на ней грузом, рассмотреть синусоидальные колебания, колебания с постоянным по модулю знакопеременным ускорением, с постоянной по модулю знакопеременной скоростью.


144. Катушка клейкой ленты (скотча) совершенно прозрачна на вид (прозрачность явно не меньше 80%), хотя состоит примерно из 300 слоев скотча, каждый - 30 мкм толщиной. Можно ли, исходя из этих данных, оценить оптические свойства (прозрачность и коэффициент преломления) материала собственно пленки и клейкого слоя, и при каких дополнительных предположениях?


145. Рассмотрим резонансный частотомер для контроля частоты напряжения в сети, состоящий из консолей, резонансные частоты которых составляют 48-48,5- 49-49,5-50-50,5-51-51,5-52 Гц, возбуждаемых электромагнитом. Возможна ли ситуация, при которой колеблются все консоли?


146. Чистый и сухой полиэтиленовый пакет "прилипает" снизу к металлической поверхности и висит неделю. Оценить плотность заряда и сопротивление.


147. Какую стеклянную колбу легче разбить - пустую, с водой или с песком? А раздавить?


148. Почему для наблюдения радуги надо встать спиной к Солнцу? Существуют ли радуги, "обращенные" к Солнцу?


149. Почему и при каких условиях сквозь тонированные стекла не видно, что происходит внутри автомобиля? Почему в метро из вагона не видно, что происходит в тоннеле, хотя стекло даже не тонированное? Почему отоларинголог, когда проверяет, слышит ли пациент одним ухом, не закрывает второе, а елозит пальцем по ушной раковине?


Раздел 4. Задачи, в которых надо дать критику учебника


В качестве примеров таких задач приведем задачи МИЭМовской физической олимпиады 1993 года. Девиз олимпиады был: "Читаем учебник внимательно"


Вариант 1


1) В одном из учебников по физики для 7-го класса имеется положение: "Чем быстрее движутся молекулы тела, тем выше его температура". Прокомментируйте это положение. Следует ли из этого, что при выстреле пуля нагревается? На какую высоту взлетит человек, если его охладить на 1 градус и превратить эту энергию в механическую.


2) В одном из учебников по физики для 7-го класса имеется положение: "Притяжение между молекулами жидкости не настолько велико, чтобы жидкости сохраняли свою форму". Прокомментируйте это положение. Обратите внимание на то, что твердый цинк испаряется быстрее, чем жидкий галлий (при одинаковых температурах), а прочность на разрыв жидкой воды больше, чем твердого натрия.


3) В одном из учебников по физики для 7-го класса имеется положение: "В газах каждая молекула движется некоторое время по прямой линии, затем сталкивается с другой молекулой газа и меняет направление своего движения". Прокомментируйте это положение. Укажите на неточности.


4) В одном из учебников по физики для 7-го класса имеется положение: "Равномерным движением называют такое движение, при котором тело за любые одинаковые промежутки времени проходит одинаковые пути". Прокомментируйте это положение. Пусть промежуток времени характеризуется началом и длительностью. Что означает "любые одинаковые" - "какие-то, но одинаковой длительности, начинающиеся в любые моменты" или "любые, но одинаковой длительности и начинающиеся в любые моменты"? Покажите, что в одном из случаев определение оказывается неверным (постройте пример в виде формулы функции "координата от времени").


5) В одном из учебников по физики для 7-го класса имеется положение: "Скорость света и радиоволн 300000 км/сек". Прокомментируйте это положение. Когда и почему это не так, может ли скорость света и радиоволн быть больше или меньше этой величины, могут ли они быть не равны друг другу, может ли скорость электрона быть больше скорости света и больше скорости радиоволны?


Вариант 2


1) В одном из учебников по физики для 7-го класса имеется положение:"Нужно небольшое усилие, чтобы отделить одну часть жидкости от другой. Опуская руку в воду, мы легко раздвигаем части воды, разбрызгиваем её". Прокомментируйте это положение. Как вы полагаете, какова прочность воды на растяжение? А на сжатие? А на сдвиг? Как их измерить? Почему льётся вода?


2) В одном из учебников по физики для 7-го класса имеется положение: "Газы заполняют нацело весь предоставленный им объём". Прокомментируйте это положение. Так ли это и когда именно это так? Газ SF шесть (шестифтористая сера, "элегаз") например можно переливать из стакана в стакан. Боевые отравляющие вещества, например, "стелются" по местности (иначе они не были бы эффективны). А какова была бы картина применения такого газа на Луне?


3) В одном из учебников по физики для 7-го класса имеется положение: "Конькобежец тратит на прохождение одинаковых кругов различное время. Это - пример неравномерного движения". Прокомментируйте это положение. Обязательно ли слово "различное"? Чему равно ускорение конькобежца, куда оно направлено?


4) В одном из учебников по физики для 7-го класса имеется положение: "Скорость искусственных спутников Земли - 8 км/сек". Прокомментируйте это положение. О каких спутниках речь? Что вы скажете о "геостационарных спутниках", постоянно находящихся над одной точкой земной поверхности?


5) В одном из учебников по физики для 7-го класса указано, что эталон килограмма хранится в Севре и сделана эта гирька - видимо, для большего почета - из сплава платины и иридия. В физике есть два понятия для "массы": масса инертная - та, что входит в закон Ньютона, и масса гравитационная (или тяжелая) - та, что входит в закон гравитации. Осознайте, что это - физически разные вещи: например, цивилизация, живущая в Космосе, вдали от планет и звезд (если бы такая цивилизация могла существовать), не знала бы понятия гравитационной массы, а только инертную. В какой ситуации цивилизация не знала бы понятия инертной массы? Эталоном какой массы является гиря, хранящаяся в Севре (10 км к юго-западу от Парижа, за рекой - заводы Рено)? Что в терминах этих двух масс означает постоянство ускорения свободного падения? Как возможно точнее его проверить?


Раздел 5. Генератор задач


Одной из основных проблем в преподавании математики, физики, информатики и химии является контроль умения решать задачи. (При преподавании других предметов решать задачи тоже полезно, но там эта идея пока не стала "приличной"). Придумывание и решение большого количества вариантов увеличивает нагрузку на педагога, а использование малого количества вариантов превращает ситуацию в контроль важного, но другого навыка - умения списывать. Идеальная система построения задач должна позволять при малых затратах труда строить задачи, имеющие разные решения, и находить эти решения. Известно несколько попыток создания "генератора задач". Большинство из них используют принцип варьирования параметров в известной схеме, например, в формуле. Этот принцип был реализован в работах Любченко В.В. "Поддержка процесса обучения с помощью системы поддержки принятия решений Combine!" (математика); М.Н.Кирсанова "Генератор задач по теоретической механике и математике"; В.В.Кручинина, Л.И.Магазинникова и Ю.В.Морозовой "Компьютерные самостоятельные работы по теории вероятностей"; А.А.Притчина и А.А.Никитина "Программа-задачник по количественным соотношениям в неорганической химии"; Л.Солдатовой и М.Сога "Автоматическая генерация задач для задач управления". По этому же принципу может быть построена шахматная программа (Pinnacle Chess) и генератор ЕГЭподобных задач по многим предметам программа Computer-Mentor.


На идеологии следующего уровня - операциях с формулами - основаны работы М.А.Левинской "Построение интеллектуальных обучающих систем по математике с использованием интеллектуальных обучающих систем с использованием языка TREE-REFAL" (варьирование формул в некотором "пространстве формул"); А.Ю.Ионова, И.А.Копылова и Д.О.Жукова "Генератор задач по физике" (соединение формул в цепочки по одинаковым переменным).


Опишем два других пути создания таких систем на примере физики. Первый - метод логической цепи. Берется некоторое количество относительно простых задач, и они соединяются переходами типа: "если на задачу N получен ответ более A, переходи к решению задачи M с исходными данными m1, m2..., иначе к решению задачи Q с исходными данными q1, q2...". При правильном подборе задач и исходных данных можно из нескольких задач создать такую структуру, что несчастному школьнику и в голову не придет искать, у кого бы сдуть. Собственно, это и является оптимальным решением. Бесперспективность списывания на контрольной должна быть ясна подопытным сразу. Этот путь построения (назовем его методом логической сети) является универсальным, он пригоден для любого предмета и материала, на котором может быть сформулирована "задача", имеющая "ответ", который может сравниваться с эталоном. При этом всем экзаменующимся сообщается весь текст задач и правила переходов от одной к другой, индивидуальны только начальные условия. Ответом на всю "гиперзадачу" является цепочка ответов, ибо возможно правильное прохождение цепочки и получение правильного конечного ответа при неправильном решении всех задач (кроме последней). Возможно построение переходов, при котором для правильного прохождения необходимо правильное решение всех задач. Для этого надо сравнивать ответ не с порогом, а со значением, но это часто будет недопустимой подсказкой.


Самое главное преимущество, которое дарит этот способ построения контрольной: преподавателю предварительно не нужно эти задачи решать самому. Решение задачи может быть записано в виде формул, ответ же вычислит программа, и, более того, при заданном списке задач программа может сама искать варианты начальных условий и переходов, обеспечивающих сложный путь несчастного экзаменующегося. Однако, судя по нашей практике, такие системы задач выглядят несколько искусственно, вызывают вызывают у экзаменуемых воспоминания о "Молоте ведьм" и соответствующие инвективы в адрес педагогов.


Вторую технологию можно назвать "метод моделирования". Как часто бывает, уже после того, как мы придумали ее, мы вспомнили про компьютерную игру "The Incredible Machine". Итак, рассматривается физическая ситуация, развитие которой идет по-разному при разных начальных условиях, причем так, что одни и те же элементарные процессы, знание которых нужно проверить, происходят в разной последовательности и при разных начальных условиях. При этом решение такой задачи может быть опять же реализовано программой, а не учителем.


Вот два простых примера таких задач. Первый: поверхность имеет плоские и наклонные участки с различными коэффициентами трения. Тела, имеющие в начальный момент различные координаты и скорости, движутся по разным траекториям. При этом они, в зависимости от начальных условий, могут преодолевать некий подъем или не преодолевать его, сталкиваться с другим телом или не сталкиваться с ним, отражаться от барьеров - упруго или нет.


Второй пример: движение тела или двух тел по желобу, расположенному в вертикальной плоскости и имеющему наклонные и горизонтальные участки. Мы реализовали именно этот, более простой пример, причем в простейшем варианте, при котором происходит движение одного тела по желобу из пяти участков (горизонтальный, наклонный, горизонтальный, наклонный, горизонтальный), причем трение имело место только на горизонтальных участках.


При реализации этой идеи важно, чтобы физиком задача была поставлена корректно. (С точки зрения информатики, это типичная задача на пространство состояний. Для простоты можно описывать состояния только в моменты смены участков. Дуги графа - правила переходов, то есть условия перехода в новую фазу или на новый участок и законы вычисления параметров нового состояния на основе предыдущих данных. При такой формулировке информатик быстро решит задачу с использованием циклов и ветвлений. Хотя решение может получиться не слишком изящным и коротким.)


Для названной выше задачи на каждом участке существует несколько возможностей. Например, на ровном участке - это остановка при движении вправо, остановка при движении влево, переход влево на наклонный участок, переход вправо на наклонный участок. Каждая возможность описывается своим набором уравнений. Учителя-информатика интересует не уравнение движения на участке, а его решение. С использованием функций "модуль" и "знак" можно свести дерево решений (оно же граф состояний) всего к четырем переходам (по два на каждый вид участка): переход с горизонтального участка на наклонный, остановка на горизонтальном участке, переход с наклона на верхний уровень, переход с наклона на нижний уровень. Причем независимо от того, о каком наклоне идет речь и в какую сторону движется объект. Соответственно, сформулировано всего два условия выбора перехода.


Далеко не каждый информатик будет заниматься упрощением идеи физика (да и знаний ему может не хватить, если задача будет сложнее). Поэтому физику лучше сразу продумать рациональное решение задачи. В результате получается простенькая программа, моделирующая поведение системы, то есть по входным данным начального состояния она выдает последовательность переходов и остановку (если таковая произойдет). Дальнейшая модернизация программы - автоматическая генерация и отбор вариантов - нами не проводилась, но она не представляет трудности. При использовании этой методики задач попыток списывания не наблюдалось.


Задачу легко усложнить, сделав разными высоты всех участков, введя разные коэффициенты трения на разных участках или добавив трение на наклонных участках. Программа претерпит минимальные изменения, а варианты задания усложнятся существенно. Такие задачи моделирования хорошо давать в качестве зачетных (почти исследовательских) работ по информатике и физике самим школьникам. Они исследуют физическую задачу, проектируют и создают алгоритм и программу (язык реализации алгоритма не имеет значения), и помогают учителям в подготовке и проверке контрольных (или домашних) работ.


В заключение несколько слов о других преимуществах предложенных методов. Блуждание по "дереву задач" само по себе является полезным упражнением, потому что именно так зачастую оказывается построено решение реальных математических, физических и химических задач в науке. Часто дискутируется вопрос об интеграции разных предметов. Теоретически некоторое разумное зерно в интеграции есть, но практически под этим лозунгом часто происходит разрушение преподавания. И не в последнюю очередь потому, что интеграцией занимаются люди, не являющиеся специалистами ни в одной из интегрируемых областей. Возможно, что начинать интеграцию следует с наведения мостов между специалистами, чему может послужить деятельность, подобная описанной.