# К вопросу о длине очереди

Леонид Александрович Ашкинази

К вопросу о длине очереди


1974 году, в N 7 "Химии и жизни", была опубликована замечательная статья И.А.Леенсона и А.П.Осипова "Очередь: кинетические и практические аспекты" (ее легко найти в Интернете). Вот выдержки из их пионерской работы.


"Вопрос о времени, которое научные сотрудники проводят в очереди за обедом, представляет значительный интерес. Недавно в литературе появились сообщения на данную тему. Как отмечает автор одной из работ, с практической точки зрения наиболее важно определить время пребывания в очереди ее n-го члена. Однако трудность учета случайных факторов не позволила автору дать точное математическое решение поставленной задачи и должным образом согласовать теорию с экспериментальными данными. В настоящей работе предпринята попытка дать более подробное математическое описание проблемы с учетом ряда таких факторов. Результаты нашей работы позволяют, в частности, объяснить феноменальное явление, когда человек в очереди движется не вперед, к кассе, а назад".


Далее авторы пишут дифференциальное уравнение, интегрируют его, усматривают аналогию с кинетическими выражениями для цепных разветвленных реакций и делают вывод: существуют условия, при которых рост очереди идет со взрывной скоростью. Варьируя значения констант, авторы находят условия, когда "мы будем, также с возрастающей скоростью, удаляться от кассы, так как кассирша работает медленнее, чем растет очередь благодаря знакомым. В результате такого процесса мы скоро окажемся за пределами столовой и здания, в котором находится столовая; рассмотрение нашего поведения в подобных случаях в задачу авторов не входит. В редко встречающемся случае мы будем стоять на месте, довольствуясь лишь тем, что для стоящих сзади справедливо предыдущее условие и они один за другим исчезают из поля зрения, так как оказываются на улице".


Наконец, авторы обращаются к эксперименту и пишут, что "проверка предложенной теории была проведена нами в одной из столовых МГУ и получены значения констант... Если в очереди, например, 15 человек, то вы дойдете до кассы за 14 минут. Но уже при другом значении коэффициентов мы встречаемся с явлением, когда вы никогда не пообедаете. Налицо критическое явление, как в разветвленной цепной реакции. Практическая ценность разработанной нами теории очевидна. Если вы постоянно обедаете в одной и той же столовой, то следует определить для нее значения констант, наблюдая за очередью с секундомером в руках. Затем, приходя обедать, прежде всего посчитайте число людей в очереди. При определенном соотношении параметров вставать в хвост бессмысленно. В этом случае надо либо искать знакомого, для которого выполняется определенное соотношение, либо пойти в другую столовую с более благоприятным соотношением констант".


И так, авторы ввели три параметра: константу, учитывающую скорость работы кассирши, константу знакомств (причем учли, что вероятность найти знакомого пропорциональна длине очереди) и константу, которая учитывает тех, кто вначале ест и потом платит без очереди, а также знакомых кассирши. Написав соответствующие уравнения, авторы построили корректную математическую модель очереди, которая позволила объяснить ряд эффектов, наблюдавшихся в эксперименте, но не имевших объяснения, например увеличения расстояния от "метки" до начала очереди с течением времени. Модель, построенная авторами, дала возможность правильно интерпретировать данные наблюдений и на этой основе оптимизировать стратегию. Насколько нам известно, эти результаты позже были внедрены в практику. Однако авторы прошли в миллиметре от еще одного интересного результата. В их оправдание заметим, что в исследовательской практике это происходит сплошь и рядом.


В работе И.А.Леенсона и А.П.Осипова специально выделен случай, когда расстояние от "метки" до начала очереди с течением времени не изменяется, хотя и оговорено, что это случай редкий. Казалось бы, выделение этой ситуации носит чисто формальный характер, более того, с точки зрения прикладной математики оно не оправданно -- мощность множества таких ситуаций равна нулю, и на практике они вообще не должны наблюдаться! Психологически же выделение этого случая понятно: на практике, как интуитивно ощущали авторы, такие случаи наблюдаются. Точнее можно сформулировать так: при органолептической точности наблюдений такие случаи наблюдаются достаточно часто и в течение достаточного времени, чтобы оправдать их выделение.


Поставленные нами специальные наблюдения, которые длились 40 лет, показали, что в окрестности указанной ситуации действительно наблюдается статистически достоверная и весьма сильная концентрация наблюдений, слабо зависящая от остальных параметров эксперимента (если, конечно, область равновесия вообще накрывается в исследуемой ситуации, условия чего исчерпывающе сформулированы в работе И.А.Леенсона и А.П.Осипова. Это позволяет сформулировать гипотезу о наличии в системе связи, которую мы предлагаем назвать "отрицательной обратной связью", -- скорость работы кассира зависит от длины очереди. Причем с ростом длины скорость работы падает. Очевидно, что при достаточном значении коэффициента обратной связи эффект будет реализован.


Попутно наличие отрицательной обратной связи объясняет еще один эффект, вскользь упомянутый вышеназванными авторами, -- отсутствие случаев роста длины очереди до бесконечности и, добавим мы, крайне редко наблюдаемое уменьшение ее длины до нуля. Не исключено, что по аналогии с понятием отрицательной обратной связи может быть введено понятие положительной обратной связи, в социальной сфере этот эффект наблюдается так явно, что даже отрефлектирован: "аппетит приходит во время еды". Представляется также возможным распространение понятий отрицательной и положительной обратных связей на другие области человеческой деятельности, в частности на физику, радиотехнику и социальные науки.


В заключение отметим, что сам факт сверхстатистической концентрации наблюдений в окрестности указанного значения был отмечен нами примерно в те же годы, когда вышла публикация И.А.Леенсона и А.П.Осипова, и тогда же была высказана гипотеза о наличии связи скорости работы кассира и длины очереди. Но дальнейшее продвижение оказалось возможно лишь после ознакомления с работой указанных авторов, что еще раз указывает на пользу межнаучной коммуникации.