# Лекции по математике. Вероятность, информация, статистика, том 4

Валерий Босс

Аннотация


Значительное внимание уделяется мотивации результатов. Помимо классических разделов теории вероятностей освещается ряд новых направлений: нелинейный закон больших чисел, асимптотическое агрегирование. Изложение сопровождается большим количеством примеров и парадоксов, способствующих рельефному восприятию материала. Затрагиваются многие прикладные области: управление запасами, биржевые игры, массовое обслуживание, страховое дело, стохастическая аппроксимация, обработка статистики. Несмотря на краткость, достаточно полно излагается теория информации с ответвлениями "энтропийно термодинамического" характера.


ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

1 Основы в задачах и парадоксах

1.1. Что такое вероятность

1.2. Подводные рифы статистики

1.3. Комбинаторика

1.4. Условная вероятность

1.5. Случайные величины

1.6. Континуальные пространства

1.7. Независимость

1.8. Дисперсия и ковариация

1.9. Неравенства

1.10. Случайные векторы

1.11. Вероятностные алгоритмы

1.12. Об истоках

1.13. Задачи и дополнения

2 Функции распределения

2.1. Основные стандарты

2.2. Дельта-функция

2.3. Функции случайных величин

2.4. Условные плотности

2.5. Характеристические функции

2.6. Производящие функции

2.7. Нормальный закон распределения

2.8. Пуассоновские потоки

2.9. Статистики размещений

2.10. Распределение простых чисел

2.11. Задачи и дополнения

3 Законы больших чисел

3.1. Простейшие варианты

3.2. Усиленный закон больших чисел

3.3. Нелинейный закон больших чисел

3.4. Оценки дисперсии

3.5. Доказательство леммы 3.4.1

3.6. Задачи и дополнения

4 Сходимость

4.1. Разновидности

4.2. Сходимость по распределению

4.3. Комментарии

4.4. Закон "нуля или единицы"

4.5. Случайное блуждание

4.6. Сходимость рядов

4.7. Предельные распределения

4.8. Задачи и дополнения

5 Марковские процессы

5.1. Цепи Маркова

5.2. Стохастические матрицы

5.3. Процессы с непрерывным временем

5.4. О приложениях

6 Случайные функции

6.1. Определения и характеристики

6.2. Эргодичность

6.3. Спектральная плотность

6.4. Белый шум

6.5. Броуновское движение

6.6. Дифференцирование и интегрирование

6.7. Системы регулирования

6.8. Задачи и дополнения

7 Прикладные области

7.1. Управление запасами

7.2. Страховое дело

7.3. Закон арксинуса

7.4. Задача о разорении

7.5. Игра на бирже и смешанные стратегии

7.6. Процессы восстановления

7.7. Стохастическое агрегирование

7.8. Агрегирование и СМО

7.9. Принцип максимума энтропии

7.10. Ветвящиеся процессы

7.11. Стохастическая аппроксимация

8 Теория информации

8.1. Энтропия

8.2. Простейшие свойства

8.3. Информационная точка зрения

8.4. Частотная интерпретация

8.5. Кодирование при отсутствии помех

8.6. Проблема нетривиальных кодов

8.7. Канал с шумом

8.8. Укрупнение состояний

8.9. Энтропия непрерывных распределений

8.10. Передача непрерывных сигналов

8.11. Оптимизация и термодинамика

8.12. Задачи и дополнения

9 Статистика

9.1. Оценки и характеристики

9.2. Теория и практика

9.3. Большие отклонения

9.4. От "хи-квадрат" до Стьюдента

9.5. Максимальное правдоподобие

9.6. Парадоксы


Предисловие


Без пассивной части словарного запаса -- активная не работает.


Жизнь уходит на заделывание мелких трещин. Типографская краска - на уточнения. В теории вероятностей (ТВ) это особенно заметно из-за контраста простых выводов и сложных объяснений. Сложность, в свою очередь, проистекает из-за максималистских устремлений, согревающих профессионалов и убийственных для остальной части населения.

Учитывая, что профессионалы теорию вероятностей и так хорошо знают, нижеследующий текст ориентируется на умеренные аппетиты к строгости и детализации. Разумеется, обоснование того, что более-менее "и так ясно", имеет свою цену. Но в ТВ на первом этапе гораздо важнее разобраться в том, что не ясно на самом элементарном уровне. Интуиция и здравый смысл настолько путаются в статистике и оценках вероятности, что многие тонкости вполне естественно отодвинуть на второй план.