# Лекции по математике. Функциональный анализ, том 5

Валерий Босс

Аннотация


Охват материала соответствует курсам функционального анализа, изучаемым в университетах. Помимо функциональных пространств и линейных отображений рассматриваются также: теория меры, интеграл Лебега, элементы нелинейного анализа, положительные операторы.

Изложение отличается краткостью и прозрачностью. Объяснения даются "человеческим языком". Значительное внимание уделяется мотивации результатов, взаимосвязям, общей картине.

Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников.


ОГЛАВЛЕНИЕ


Предисловие

1. Множества, пространства, отображения

1.1. Операции и соответствия

1.2. Аксиома выбора

1.3. Неравенства

1.4. Метрические пространства

1.5. Линейные пространства

1.6. Непрерывные преобразования

1.7. Выпуклость

1.8. Предварительные "неприятности"

2. Метрические и нормированные пространства

2.1. Метрическая идеология

2.2. Открытые и замкнутые множества

2.3. Сходимость

2.4. Пополнение

2.5. Категории Бэра

2.6. Банаховы и гильбертовы пространства

2.7. Фактор-пространство

2.8. Аномальные эффекты

3. Теория меры

3.1. Мера Лебега

3.2. О подоплеке

3.3. Измеримые функции

3.4. Интеграл Лебега

3.5.Пространства L1 и Loo

3.6. Ассортимент сходимостей

3.7. Предельный переход под интегралом

3.8. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега

3.9. Конструкция Стилтьеса

3.10. Произведение мер, теорема Фубини

3.11. Задачи и дополнения

4. Компактность

4.1. Компактные множества

4.2. Критерии компактности в C и Lp

4.3. Инструменты и свойства

5. Топологический ракурс

5.1. Топологические пространства

5.2. Линейные пространства

5.3. Слабая топология

5.4. Задачи и дополнения

6. Линейные операторы в нормированных пространствах

6.1. Основные понятия

6.2. Теорема Хана--Банаха

6.3. Сопряженное пространство

6.4. Слабая сходимость

6.5. Слабая компактность

6.6. Идеальная выпуклость

6.7. Принцип равномерной ограниченности

6.8. Принцип открытости отображения

6.9. Замкнутые операторы

6.10. Обратные операторы

6.11. Вполне непрерывные операторы

6.12. Проекторы

6.13. Дополнение

7. Операторы в гильбертовых пространствах

7.1. Преамбула

7.2. Ортонормированный базис

7.3. Ортогональные ряды

7.4. Сопряженные операторы

7.5. Задачи и дополнения

8. Обобщенные функции

8.1. Основные понятия

8.2. Дифференцирование

8.3. Свертка обобщенных функций

8.4. Дифференциальные уравнения

8.5. Расходящиеся ряды

9. Уравнения

9.1. Линейные уравнения

9.2. Выбор пространства

9.3. "Фредгольмовы" уравнения

9.4. Последовательные итерации

9.5. Проекционные методы

9.6. Регуляризация

9.7. Дополнение

10. Спектральная теория

10.1. Ориентировка

10.2. Общая постановка

10.3. Спектральный радиус

10.4. Компактные операторы

10.5. Самосопряженные операторы

10.6. Операторные функции

11. Элементы нелинейного анализа

11.1. Нелинейные операторы

11.2. Производные и дифференциалы

11.3. Градиент функционала

11.4. Принцип сжимающих отображений

11.5. Теорема о неявной функции

11.6. Принцип Шаудера

11.7. Собственные векторы

12. Положительные операторы

12.1. Конусы в банаховых пространствах

12.2. Положительные операторы

12.3. Оценки спектрального радиуса

12.4. Позитивный спектр

12.5. Неподвижные точки

12.6. Принцип Биркгофа--Тарского

12.7. Задачи и дополнения

13. Сводка определений и результатов

13.1. Метрические и нормированные пространства

13.2. Интеграл и мера Лебега

13.3. Компактность и топология

13.4. Линейные операторы и функционалы

13.5. Обобщенные функции

13.6. Линейные уравнения

13.7. Спектральные свойства

13.8. Элементы нелинейного анализа

13.9. Положительные операторы

13.10. Пространства


ПРЕДИСЛОВИЕ


Множество необходимых уточнений всегда неисчерпаемо.


Функциональный анализ -- дисциплина особая. Вникать приходится с завязанными глазами. Потому что сюжет развивается в области, где не работает интуиция. Интуиция не работает, конечно, и в линейной алгебре, но там ее заменяет иллюзия. Прикидка на плоскости обычно дает верные заключения о пространстве n измерений, что и формирует полезное заблуждение, ибо вода камень точит. Та же процедура при бесконечном числе измерений часто ведет к ошибочным умозаключениям. В результате вместо приятной иллюзии образуется неприятная фобия, и знание начинает усваиваться вслепую.

Поэтому здесь, как нигде, необходима концентрация внимания на путеводных нитях. На мотивах и трудностях, на роли получаемых результатов. На понимании, наконец, которое в диапазон "теорема -- доказательство" не помещается.