# Лекции по математике. Оптимизация, т.7

Валерий Босс

Содержание


1  Критические точки и градиентные поля

1.1. Безусловный экстремум

1.2. Достаточные условия

1.3. Градиентные поля

1.4. Минуя бифуркации

1.5. Глобальный оптимум

1.6. Деформации градиентных систем

1.7. Топология градиентного поля

1.8. Комментарии и дополнения


2  Условная минимизация

2.1. Условный экстремум

2.2. Общий случай

2.3. Нелинейное программирование

2.4. Вопросы существования

2.5. Достаточные условия

2.6. Интерпретация множителей Лагранжа

2.7. "Двойственные" задачи

2.8. Принцип Ле Шателье--Самуэльсона

2.9. Штрафные функции

2.10. Механика и обобщенные координаты

2.11. Примеры


3  Выпуклый анализ

3.1. Векторы и матрицы

3.2. Выпуклые множества и конусы

3.3. Выпуклые функции

3.4. Субградиент и субдифференциал

3.5. Сопряженные функции

3.6. Теорема Хелли


4  Выпуклое программирование

4.1. Теорема Куна - Таккера

4.2. Двойственность

4.3. Теорема о минимаксе

4.4. Разрешимость неравенств

4.5. Линейное программирование

4.6. Геометрическая интерпретация

4.7. Двойственность линейных задач

4.8. Экономическая интерпретация

4.9. Транспортная задача

4.10. Максимальный поток в сети

4.11. Симплекс-метод и алгоритм Хачияна

4.12. Квадратичное программирование


5 Теория игр

5.1. Смешанные стратегии

5.2. Равновесие по Нэшу

5.3. Метаигровой синтез

5.4. Оптимум Парето


6 Бифуркации и катастрофы

6.1. Скачкообразные изменения

6.2. Хвосты и струи

6.3. Лемма Морса

6.4. Эквивалентность особенностей

6.5. Грубость и трансверсальность

6.6. Структурно устойчивые семейства

6.7. Спекуляции и приложения

6.8. Дополнение


7 Вариационное исчисление

7.1. Классические задачи

7.2. Уравнение Эйлера

7.3. Преимущества наивной теории

7.4. Условия второго порядка

7.5. Достаточные условия

7.6. Свободные концы и трансверсальность

7.7. Изопериметрические задачи

7.8. Условный экстремум

7.9. Гамильтонов формализм

7.10. Взаимная сводимость задач

7.11. Проблема существования


8 Задачи оптимального управления

8.1. Принятые стандарты


8.2. Принцип максимума


8.3. Линейные системы

8.4. Системы с дискретным временем

8.5. Динамическое программирование

8.6. Многошаговые процессы

8.7. Критические пути и сетевые графики


9 Негладкая оптимизация

9.1. Гуманитарные аспекты

9.2. Субдифференциал Кларка

9.3. Барьер дифференцируемости


10 Численные методы

10.1. Градиентные алгоритмы

10.2. Себестоимость комфорта

10.3. Метод Ньютона--Канторовича

10.4. Метод сопряженных градиентов

10.5. Почему трудно сделать хороший автомобиль


11 Задачи большой размерности

11.1. Оптимизация и агрегирование

11.2. Согласование задач

11.3. Термодинамические потенциалы

11.4. Реакция на внешние воздействия

11.5. Оптимизация и неопределенность


12 Сводка определений и результатов

12.1. Критические точки и градиентные поля

12.2. Условная минимизация

12.3. Выпуклый анализ

12.4. Выпуклое программирование

12.5. Теория игр

12.6. Бифуркации и катастрофы

12.7. Вариационное исчисление

12.8. Задачи оптимального управления

12.9. Негладкая оптимизация

12.10. Градиентные методы

12.11. Задачи большой размерности


Предисловие


Жизнь под предлогом оптимизации компенсирует непонимание сути.


Поле непрерывных экстремальных задач на данный момент хорошо перепахано. "Самородки" с поверхности более-менее подобраны, но притягательный потенциал области все же сохраняется, поскольку оптимизация часто оказывается единственным способом придать задаче осмысленный вид.

Что касается литературы, ситуация ухудшается обычным образом. Чем более высоких стандартов достигает теория, тем непонятнее становятся книги. А для написания простых учебников недостает энтузиазма и вдохновения, присущих этапу рождения идеологии и снятия пенок. Данный курс имеет целью восполнить дефицит по части простого и ясного изложения предмета.