# Лекции по математике. Теория групп, том 8

Валерий Босс

Содержание


1 Преобразования и симметрия

1.1. Факторы "второго дна"

1.2. Группы преобразований

1.3. Инвариантность дифференциальных уравнений

1.4. Методы подобия и размерности

1.5. Связь с групповым анализом

1.6. Симметрия Мироздания

1.7. Парадоксы симметрии

1.8. Проективная геометрия


2 Основные понятия

2.1. Определения, примеры и авансы

2.2. Группа подстановок

2.3. Смежные классы

2.4. Нормальные делители и фактор-группы

2.5. Классы сопряженных элементов

2.6. Автоморфизмы и гомоморфизмы

2.7. О роли инвариантов

2.8. Дополнения


3 Различные инструменты

3.1. Действие группы на множестве

3.2. Стабилизаторы

3.3. Орбиты

3.4. Конечные p-группы

3.5. Теоремы Силова

3.6. Задачи


4 Абелевы группы

4.1. Коммутативный вариант

4.2. Конечнопорожденные группы

4.3. Прямое произведение и прямая сумма

4.4. Циклическая природа абелевых групп

4.5. Группы гомологий

4.6. Классификация многообразий

4.7. Первая гомотопическая группа


5 Теория представлений

5.1. Матричные представления

5.2. Инвариантные подпространства

5.3. Ортогональные представления

5.4. Инвариантные операторы

5.5. Характеры


6 Разрешимые группы

6.1. Нормальные ряды

6.2. Коммутанты и разрешимость

6.3. Простые группы

6.4. Пример


7 Определяющие соотношения

7.1. Порождающие множества

7.2. Свободные группы

7.3. Тождества в группах

7.4. Определяющие соотношения

7.5. Проблема Бернсайда


8 Алгебраические структуры

8.1. Куда ведет абстрагирование

8.2. Кольца, тела, поля

8.3. Идеалы

8.4. Евклидовы кольца

8.5. Поля вычетов

8.6. Алгебры

8.7. Булевы структуры


9 Многочлены

9.1. Напоминания

9.2. Алгоритм Евклида и делимость

9.3. Приводимость многочленов

9.4. Существование корней

9.5. Производная многочлена

9.6. Дробно-рациональные функции

9.7. Симметрические многочлены

9.8. Групповая инвариантность

9.9. Как реагировать на ассоциации


10 Алгебраические числа

10.1. Расширения полей

10.2. Алгебраические расширения

10.3. Нормальные расширения

10.4. Теорема о примитивном элементе

10.5. Круговые поля


11 Теория Галуа

11.1. Предварительные замечания

11.2. Группа Галуа

11.3. Общая картина

11.4. Соответствие Галуа

11.5. Простое радикальное расширение

11.6. Циклические расширения

11.7. Главный результат

11.8. Неразрешимые уравнения

11.9. Построения циркулем и линейкой

11.10. Дополнение


12 Группы Ли

12.1. Параметрические группы

12.2. Инварианты и первые интегралы

12.3. Инвариантные функции и множества

12.4. О разделении переменных

12.5. Многопараметрический сценарий

12.6. Локальные группы

12.7. Алгебры Ли

12.8. Дифференциальные уравнения

12.9. Инфинитезимальные продолжения

12.10. Поиск допускаемых групп

12.11. ЧП-уравнения

12.12. Комментарии


Предисловие


Истина нуждается в недосказанности.


Если из арифметики убрать числовую конкретику, остается виртуальная основа, которая была бы не так интересна, если бы при манипуляциях иной природы не возникала та же самая абстракция. Различные физические и геометрические преобразования, теория кодирования, комбинаторные трюки -- все это без маскирующих одежд перекликается друг с другом неожиданной идентичностью. И как глаголы без существительных, так и "операции вообще" -- без предметного заземления -- оказываются ядром соприкосновения различных интерпретаций. Задачи, раздетые догола, вдруг сливаются воедино, и начинает казаться, что еще усилие -- и станет ясно, что в мире есть всего одна задача.

Название тома до некоторой степени условно. Речь идет об общей алгебре, но с акцентом на теории групп. Как ни странно, рассматриваемая область -- несмотря на красоту и практическую значимость -- остается за рамками общего образования. С этим надо что-то делать. Помня о том, что "научить" и "дать представление" -- разные задачи. Обе важны для освоения предмета, но вторая -- важнее, потому что формальное знание без укрупненного понимания -- даже опасно. Более того, выучить математику по книгам вообще невозможно. Получить представление -- другое дело. Остальное время целесообразно потратить на решение задач и продолжение рода.