# Лекции по математике. Т Ф К П, том 9

Валерий Босс

Содержание:


1 Предварительные сведения

1.1. Комплексные числа

1.2. Причины эффективности

1.3. Алгебраические истоки

1.4. Сфера Римана

1.5. Топологические понятия


2 Аналитические функции

2.1. Дифференцируемость

2.2. Примеры

2.3. Простейшие свойства

2.4. Физические интерпретации

2.5. Интегрирование и теорема Коши

2.6. Важные примеры

2.7. Интеграл Коши

2.8. Бесконечная дифференцируемость

2.9. Теорема Лиувилля

2.10. Существование обратной функции

2.11. Принцип компактности


3 Комплексные ряды

3.1. Числовые ряды

3.2. Функциональные ряды

3.3. Степенные ряды

3.4. Ряд Тэйлора

3.5. Аналитическое продолжение

3.6. Ряды Лорана

3.7. Особые точки

3.8. Бесконечно удаленная точка

3.9. Целые и мероморфные функции

3.10. Дополнения и задачи


4 Конкретные функции

4.1. Продолжение с действительной оси

4.2. Многозначные эталоны

4.3. Гамма-функция

4.4. Дзета-функция


5 Аналитическое продолжение и многозначность

5.1. Аналитический феномен

5.2. Теорема о монодромии

5.3. Корень квадратный

5.4. Точки ветвления и регулярные ветви

5.5. Римановы поверхности

5.6. Связь с теорией Галуа


6 Теория вычетов

6.1. Основная теорема

6.2. Вычет в бесконечности

6.3. Примеры

6.4. Логарифмические вычеты

6.5. Принцип аргумента


7 Конформные отображения

7.1. Мотивация

7.2. Общие свойства

7.3. Дробно-линейные преобразования

7.4. Функция Жуковского

7.5. Другие преобразования

7.6. Комплексная динамика


8 Операционное исчисление

8.1. Механизм производящих функций

8.2. Преобразование Лапласа

8.3. Обращение

8.4. Дельта-функция

8.5. Дифференциальные уравнения

8.6. Автоматическое регулирование


9 Гармонические функции

9.1. Контрпример

9.2. Свойства

9.3. Инвариантность и единственность

9.4. Задача Дирихле

9.5. Вариационный подход


10 Дзета-функция и гипотеза Римана

10.1. История вопроса

10.2. Ряды Дирихле

10.3. Теоретико-числовая подоплека

10.4. Идеология погружения

10.5. Теорема об универсальности дзета-функции


11 Функции нескольких переменных

11.1. Аналитичность

11.2. Степенные ряды

11.3. Области Рейнхарта

11.4. Кратный интеграл Коши

11.5. Особенности и нули


12 Асимптотические методы

12.1. Схемы и примеры

12.2. Асимптотика интегралов и рядов

12.3. Метод Лапласа

12.4. Метод стационарной фазы

12.5. Метод перевала


13 Сводка определений и результатов

13.1. Аналитические функции

13.2. Комплексные ряды

13.3. Конкретные функции

13.4. Аналитическое продолжение и многозначность

13.5. Теория вычетов

13.6. Конформные отображения

13.7. Операционное исчисление

13.8. Гармонические функции

13.9. Функции нескольких переменных


Предисловие к девятому тому


Маленькие шаги покрывают большие расстояния.


Когда на лекционный курс выделяется n-е количество часов, -- проблема обычно заключается не в том, как уместить предмет в заданные рамки, а в том, чем бы эти часы заполнить. Еще хуже ситуация при написании учебника. Чтобы книга не получилась слишком тонкой, ее нагружают чем придется. И ТФКП (ТФКП -- теория функций комплексной переменной, эквивалент "теории аналитических функций") в этом отношении страдает больше других дисциплин. Теория-то в своей основе небольшая, но подробности, как и везде, неисчерпаемы. В итоге внимание, вместо того чтобы концентрироваться на ядре, размазывается по необозримой территории. Причем беда -- не в сам\'ой толщине книг, а в отсутствии четко выраженных акцентов, в результате чего главное и второстепенное выглядят одинаково, как горячий утюг и холодный.

Для ТФКП даже принятый в "Лекциях" сравнительно небольшой объем тома -- несколько великоват. Ядро теории намного \'уже университетских курсов. Например, "конформные отображения" обычно включаются в "основы" по инерции, хотя в принципе -- это хороший материал для получения представлений об окрестностях (разумеется, для кого-то окрестности лежат в центре профессионального интереса). "Операционное исчисление" -- общезначимо само по себе, но соседство с теорией аналитических функций -- при наличии свободного места -- вполне уместно. Что касается "дзета-функции" (глава 10), -- то это явно самостоятельная тема, которая в общих курсах, как правило, разве что упоминается. Однако наличие приводных ремней здесь очевидно, а гипотеза Римана относительно нулей дзета-функции остается пока математической проблемой номер один -- при весьма внушительном списке возможных следствий фундаментального характера. Поэтому глава 10, хотя и не добавляет чего-либо существенного к основам ТФКП, ее содержание терпимо в диапазоне общего образования.