# Лекции по математике. Уравнения математической физики. том 11

Валерий Босс

Оглавление


Предисловие

1. Предварительные сведения

1.1. ЧП как лекарство и как головная боль

1.2. Рост, циркуляция, расхождение


2.  Уравнения математической физики

2.1. Преамбула   2.2. Диффузия частиц и тепла

2.3. Распространение волн

2.4. Стационарные режимы

2.5. О метаморфозах инвариантности

2.6. Динамика жидкости и газа

2.7. Электродинамика Максвелла

2.8. Уравнение Шредингера


3.  Общие вопросы

3.1. Проблемы разрешимости

3.2. Теорема Коши--Ковалевской

3.3. Корректность постановки

3.4. Замена переменных и классификация

3.5. Характеристические поверхности

3.6. Краевые задачи

3.7. Принцип суперпозиции

3.8. Переход к интегральным уравнениям

3.9. Вид сверху

3.10. О нелокальной продолжимости


4.  Уравнения первого порядка

4.1. Линейные уравнения и характеристики

4.2. Квазилинейные уравнения

4.3. Уравнения Пфаффа

4.4. Первые интегралы

4.5. Уравнение Гамильтона--Якоби

4.6. Шаг в сторону -- и другая картина


5.  Группы Ли и ЧП-симметрия

5.1. Методы подобия и размерности

5.2. Автомодельные решения

.3. Непрерывные группы

5.4. Инвариантность и генераторы группы

5.5. Многопараметрическая симметрия

5.6. Инфинитезимальные продолжения

5.7. Допускаемые группы

5.8. Алгебры Ли

5.9. Прикладные аспекты


6.  Обобщенные решения

6.1. Обобщенные функции

6.2. Многомерная ситуация

6.3. Преобразование Фурье

6.4. Обыкновенные дифуры

6.5. О слабых и обобщенных решениях

6.6. Фундаментальные решения

6.7. Задача Коши


7.  Волновые процессы

7.1. Свободные колебания

7.2. Разделение переменных и метод Фурье

7.3. О роли спектрального разложения

7.4. Фронт и диффузия волн

7.5. Бегущая волна

7.6. Солитоны и КдФ-уравнение

7.7. Фазовая скорость и дисперсия


8.  Диффузия

8.1. Парадокс бесконечной скорости

8.2. Нелинейная теплопроводность

8.3. Уравнения Хопфа и Бюргерса


9.  Эллиптические задачи

9.1. Эллиптические операторы

9.2. Принцип максимума

9.3. Гармонические функции

9.4. Ньютоновы потенциалы

9.5. Функция Грина

9.6. Ненулевые граничные условия

9.7. Спектральные свойства

9.8. Комментарии


10.  Дифференциальные формы

10.1. Внешние формы

10.2. Внешнее умножение

10.3. Дифференциальные формы

10.4. Внешние производные

10.5. Наглядная интерпретация

10.6. Техническое дополнение

10.7. Интегрирование и теорема Стокса

10.8. Топологические мотивы


11.  Справочная информация

11.1. Криволинейные координаты

11.2. Аналитические функции

11.3. Спектральный анализ

11.4. Теория Фредгольма

11.5. Пространства Соболева

11.6. Список задач и решений


ПРЕДИСЛОВИЕ


Инстинкт не дает ходу скороспелым

умозаключениям. Иначе голова окажется полна

обобщениями, которые цитрамоном не лечатся.


"Уравнения математической физики" постепенно выталкиваются из сферы общего образования, проникая частями в курсы анализа и обыкновенных дифуров. Процесс закономерный. Дисциплина распухла и стала похожа на собрание задач с решениями. Сначала распределение температур ищется на прямой, потом в круге, потом в квадрате и еще бог знает где. С ужасающими подробностями, -- что имеет право на существование, но не в широкой аудитории. Тем не менее акценты и подробности сохраняются с восемнадцатого века. Объем дисциплины так вырос, что места более не остается, вплоть до альтернативы "или жениться, или Урматы". Поэтому главная задача сейчас убрать "лишнее", оставив компактный минимум, который бы давал общее представление и удобную стартовую позицию для дальнейшего движения, куда бы оно потом ни было направлено.