# Лекции по математике. Топология. том 13

Валерий Босс

Содержание


## Глава 1.

Приготовления и авансы в наглядной редакции

1.1. Предмет топологии

1.2. Деформационная техника

1.3. Сферы с ручками

1.4. Рогатая сфера Александера

1.5. Лист Мёбиуса

1.6. Проективная плоскость

1.7. Ориентация

1.8. Бутылка Клейна

1.9. Узлы

1.10. Многообразия

1.11. Антуановское множество

1.12. Замкнутые поверхности

1.13. Метод инвариантов

1.14. Графовая структура поверхности


## Глава 2.

Неподвижные точки

2.1. Предварительные соображения

2.2. Гомотопические переходы

2.3. Вращение векторного поля

2.4. Гомотопные векторные поля

2.5. Скелет теории

2.6. Разрешимость уравнений

2.7. Еще раз об ориентации

2.8. Индексы и алгебраическое число нулей

2.9. Вращение линейного поля

2.10. Нечетные поля

2.11. Собственные векторы

2.12. Векторные поля на плоскости


## Глава 3.

Дополнения и приложения

3.1. Теорема Брауэра и ее обобщения

3.2. Глобальная обратимость

3.3. Технические уловки и фурнитура

3.4. Строгие определения вращения

3.5. Зачем нужна общность


## Глава 4.

Многозначные отображения

4.1. Общие сведения

4.2. О редукции задач

4.3. Отображения с выпуклыми образами

4.4. Теоремы о неподвижных точках

4.5. Теорема о селекторе

4.6. Отображения с невыпуклыми образами


## Глава 5.

Алгебраизация топологии

5.1. Результаты и рецепты

5.2. Абстрактная схема

5.3. Фундаментальная группа

5.4. Вычисление фундаментальной группы

5.5. Высшие гомотопические группы

5.6. Гомотопическая эквивалентность

5.7. Проблема Пуанкаре

5.8. Контрпримеры Пуанкаре и Уайтхеда


## Глава 6.

Симплициальные гомологии

6.1. В чем состоит идея

6.2. Симплициальные комплексы

6.3. Ориентируемые псевдомногообразия

6.4. Симплициальные отображения

6.5. Индуцируемые гомоморфизмы

6.6. Проблемы вычисления


## Глава 7.

Теория гомологий

7.1. Общая схема

7.2. CW-комплексы и клеточные гомологии

7.3. Сингулярные гомологии

7.4. Степень отображения

7.5. Числа Бетти и группа кручения

7.6. Эйлерова характеристика

7.7. Число Лефшеца

7.8. Градиентные потоки и теория Морса

7.9. Относительные гомологии

7.10. Точные последовательности

7.11. Когомологии

7.12. Взаимосвязь гомологий и гомотопий


## Глава 8.

Расслоения

8.1. Суть идеи

8.2. Формальные определения

8.3. Расслоения Хопфа

8.4. Поднятие гомотопии

8.5. Накрытия


## Глава 9.

Аппаратные формальности

9.1. Истоки непрерывности

9.2. Топологический подход

9.3. Фактортопология

9.4. Непрерывные отображения

9.5. Карты и атласы

9.6. Гомотопия векторных полей

9.7. Гомеоморфизмы

9.8. Дифференцируемость

9.9. Гладкие многообразия

9.10. Теорема Сарда

9.11. Обратные и неявные функции


## Глава 10.

Элементы теории групп

10.1. Определения и примеры

10.2. Смежные классы

10.3. Нормальные делители и фактор-группы

10.4. Автоморфизмы и гомоморфизмы

10.5. Порождающие множества

10.6. Свободные группы

10.7. Тождества в группах

10.8. Абелевы группы

10.9. Конечнопорожденные группы

10.10. Прямое произведение и прямая сумма

10.11. Циклическая природа абелевых групп


ПРЕДИСЛОВИЕ


Без умения пребывать в неведении к топологии лучше не подступаться.


О топологии трудно рассказывать, не попадая в положение хозяйки, решающей дилемму: "Накрыть стол для гостей так, чтобы еще раз пришли, или так -- чтобы больше не приходили". Из-за энциклопедичности изложений дисциплине не хватает рамок, которые бы помогли ей занять место в системе общего образования, не говоря о побочном влиянии перестройки мозгов.

Кое-что из инструментов, правда, давно проникло в классический анализ и прижилось. В подвешенном состоянии остается тематика "неподвижных точек", каковая служит далее предметом особой заботы. Странное положение занимает алгебраическая часть теории со всеми ее гомотопиями, гомологиями и расслоениями. Странное потому -- что в своей безвестности имеет необыкновенную притягательную силу. Тем большую -- чем менее ясно, о чем речь. И тут главная задача -- помочь не столько топологии "занять место", сколько аудитории -- избавиться от иллюзий и необоснованных надежд.