# Лекции по математике. Контрпримеры и парадоксы. том 12

Валерий Босс

Содержание

1 Интуиция как источник парадоксов

1.1. Противоречия "в" или "вне"

1.2. Существует ли логический дальтонизм

1.3. Инерция и неизобретательность

1.4. Иллюзии неразрешимости

1.5. Движение по накатанной

1.6. Портрет интуиции

2 Числа и множества

2.1. Актуальная бесконечность

2.2. Аксиома выбора

2.3. Парадокс Банаха--Тарского

2.4. Химеры на окружности

2.5. Разрезание группы поворотов

2.6. Дробление орбит и финиш

2.7. Разрывная линейная функция

2.8. Конструктивные числа

2.9. Последовательность Шпеккера

2.10. Замечания и дополнения

3 Мера и категория

3.1. Меры Жордана, Бореля и Лебега

3.2. Осечки наивного подхода

3.3. К определению линии и кривые Пеано

3.4. Множества Витали и Бернштейна

3.5. Категории Бэра

3.6. Измеримые функции

3.7. Факультативная экзотика

4 Классический анализ

4.1. Непрерывные странности

4.2. О несбыточности намерений

4.3. Скрытые "изъяны" гомеоморфизмов

4.4. Дифференциальные свойства

4.5. Интегрирование

4.6. Повторные пределы

4.7. Замечания и дополнения

5 Метрические пространства

5.1. Конечномерный прецедент

5.2. Циклические многогранники

5.3. Метрика и топология

5.4. О бесконечной размерности

5.5. Линейные операторы

5.6. Слабая сходимость

5.7. Полная непрерывность

5.8. Спектральные свойства

5.9. Обусловленность и спектр

6 Теория вероятностей

6.1. Простейшие неполадки

6.2. Как теория создает заблуждения

6.3. Подоплека независимости

6.4. Корреляционные ляпсусы

6.5. Проблемы в основаниях

6.6. Сходимость случайных величин

7 Алгоритмическая неразрешимость

7.1. Алгоритмы и вычислимость

7.2. Перечислимость и разрешимость

7.3. Диофантовы множества

7.4. Теоремы Гёделя

7.5. Неформализуемость истины

7.6. Неаксиоматизируемость арифметики

7.7. Универсальные функции и нумерации

7.8. Теорема Райса

8 Дискретная проблематика

8.1. О разрешенных инструментах

8.2. Парадокс Сколема

8.3. Конечная природа счетности

8.4. Арифметика Пеано

8.5. Аксиоматика Цермело--Френкеля

8.6. Гипотеза континуума

8.7. P против NP

8.8. Сюрреалистические достижения

9 Динамические системы

9.1. Дуализм описания

9.2. Устойчивость равновесия

9.3. Связь локального с глобальным

9.4. Бифуркациии

9.5. Феномен вибрации

9.6. Внутренний резонанс

9.7. Адиабатические процессы

9.8. Управляемость

9.9. Аттракторы и фракталы

9.10. Волны и солитоны

10 Игры и теория голосования

10.1. Сюрпризы смешанных стратегий

10.2. Антагонистические игры

10.3. Нэшевские решения

10.4. Теорема Эрроу

11 Оптимизация

11.1. Морсовские седла

11.2. Взаимодействие экстремумов

11.3. Вариационное исчисление

12 Перечень фактов и определений


Предисловие


Математика состоит из двух вещей -- теорем и контрпримеров.

Д.Пойа


В этом мире между поворотными моментами все движется по инерции. Так и математика течет в рутине эпизодов, однако время от времени разбивается в фейерверк на крутых виражах. При этом формообразующая роль противоречий и неожиданностей не только управляет движением, но и питает эмоции, без которых суть невидима.

Далее собраны факты и положения, рассеянные по другим томам и территориям. В центре внимания -- осмысление, ибо цель состоит не в том, чтобы удивить фактурой, -- а в том, чтобы уловить, "какова роль, откуда проистекает и на что влияет". Акцент делается на тех примерах, где суть противоречит либо интуитивным представлениям, либо побочным эффектам образования в виде порочных стереотипов мышления.