# Лекции по математике. Теория чисел. том 14.

Валерий Босс

Содержание

## Глава 1. Отправные точки

1.1. Мир состоит из побочных результатов

1.2. Универсализм диофантовых уравнений

1.3. Лабиринты натурального ряда

1.4. На стыке с комбинаторикой

1.5. Функция Аккермана

1.6. Арифметические гении

1.7. Табличные представления

1.8. О границах теории

1.9. Великая роль обозначений

1.10. Геометрические мотивы

## Глава 2. Элементы классики

2.1. Делимость

2.2. Простые числа как первооснова

2.3. Основная теорема арифметики

2.4. Целая и дробная часть

2.5. Мультипликативные функции

2.6. Функции Мёбиуса и Эйлера

2.7. Арифметика вычетов

2.8. Рядовые задачи

2.9. Две системы вычетов

2.10. Теоремы Эйлера и Ферма

2.11. Алгебраическая подоплека

2.12. Цепные дроби

2.13. Диофантовы приближения

2.14. Задачи для обозрения

## Глава 3. Теория сравнений

3.1. Диофантовы уравнения

3.2. Сравнения первой степени

3.3. Алгоритм возведения в степень

3.4. Полиномиальные сравнения

3.5. Сравнения по простому модулю

3.6. Теорема Вильсона

3.7. Степенные и квадратичные вычеты

3.8. Символы Лежандра и Якоби

3.9. Закон взаимности

3.10. Теорема Шевалле

3.11. Сумма четырех квадратов

## Глава 4. Первообразные корни

4.1. Суть проблематики

4.2. Структура мультипликативной группы

4.3. Составные модули

4.4. Круговые поля

## Глава 5. Алгоритмическая неразрешимость

5.1. Алгоритмы и вычислимость

5.2. Перечислимость и разрешимость

5.3. Диофантов язык

5.4. Примитивная арифметика

5.5. Феномен недоказуемости

5.6. Непротиворечивость

5.7. Универсальные нумерации

## Глава 6. Алгебраическая ниша

6.1. Уход в абстракцию и возвращение

6.2. Многочлены

6.3. Расширения полей

6.4. Алгебраические расширения и числа

6.5. Теория p-адических чисел

6.6. Квадратичные формы

6.7. О булевых структурах

## Глава 7. Эффективность счета

7.1. PNP-проблематика

7.2. Арифметические NP-задачи

7.3. Задачи криптографии

7.4. Тесты на простоту

7.5. Полиномиальный тест AKS

7.6. О практике вычислений

7.7. Алгоритмы факторизации

## Глава 8. Распределение простых чисел

8.1. Грубые причины

8.2. Функции Чебышева и асимптотика

8.3. По каналам дзета-функции

8.4. Характеры Дирихле

8.5. Постулат Бертрана

## Глава 9. От Ферма до Уайлса

9.1. Общая картина

9.2. Дивизоры Куммера

9.3. Эллиптические кривые

9.4. Гипотеза Таниямы и теорема Ферма

9.5. Конгруэнтные числа

## Глава 10. Определения и результаты


Предисловие к четырнадцатому тому

Теория чисел сродни Храму, где всяк входящий оставляет мирские помыслы за порогом. Но сей пантеон все же мириады нитей связывают с остальной математикой, оживляя и заземляя идеологическое ядро. Главная проблема -- не потеряться в нагромождении результатов, каковое никак не рассасывается изНза таинственности корней и переизбытка фактов, заслоняющих картину. Поэтому в начале пути целесообразно отсеивать лишнее, выделяя и концентрируясь на магистралях.