# Лекции по математике. Нелинейные операторы и неподвижные точки. том 15

Валерий Босс

Предисловие


When my horse is running good, I don't stop to give him sugar.

William Faulkner


Том планировался по нелинейному анализу (классический анализ в своей основе линеен, ибо скользит по нелинейностям, фокусируясь на малых окрестностях. Нелинейный анализ стремится видеть задачу целиком, но не всегда получается), но мало что поместилось. И содержание в итоге было сгруппировано вокруг неподвижных точек. Тематика широко известна по названию, но не очень хорошо -- по существу. Тогда как в разрешимость уравнений и свойства решений -- все упирается. В качестве приложений рассматриваются динамические системы и бифуркации.


Содержание

## Глава 1 Симптомы и задачи

1.1. Линейный фон

1.2. Нелинейные системы

1.3. Парадоксы нелинейных цепей

1.4. Бесконечномерные задачи

## Глава 2 Метрические инструменты

2.1. Принцип сжимающих отображений

2.2. Примеры и вариации

2.3. Нормы и линейные приближения

2.4. Теорема о неявной функции

2.5. Обращение принципов сжатия

## Глава 3 Топологические принципы неподвижной точки

3.1. Вращение векторного поля

3.2. Вращение как вращение

3.3. Топологические аномалии

3.4. Гомотопия векторных полей

3.5. Ядро теории

3.6. Разрешимость уравнений

3.7. О теореме Брауэра

3.8. Теорема Карамардиана

## Глава 4 Степень отображения и вращение

4.1. Дифференциальная преамбула

4.2. Степень отображения

4.3. Свойства степени

4.4. Степень и вращение

4.5. Невырожденное продолжение поля

## Глава 5 К теории вращения векторного поля

5.1. Индексы и алгебраическое число нулей

5.2. Индексы на бесконечности

5.3. Накрытия и гомеоморфизмы

5.4. Параметрические уравнения

5.5. Лемма Лере--Шаудера

5.6. Итерации и принцип Браудера

5.7. Векторные поля нормалей

5.8. Нечетные поля

## Глава 6 Динамические системы

6.1. Оператор сдвига по траекториям

6.2. Вынужденные колебания

6.3. Градиентные поля и невозвращаемость

6.4. О потенциалах

6.5. Деформационные мотивы

6.6. Нужна ли гладкость

6.7. Неградиентные системы

6.8. Автоколебания и последование

## Глава 7 Вполне непрерывные поля

7.1. Стягиваемость сферы по себе

7.2. Компактные операторы

7.3. Вращение вполне непрерывного поля

7.4. Вычисление и свойства

7.5. Невырожденные продолжения

7.6. Теоремы родственности

7.7. Итерации операторов

## Глава 8 Нелинейные операторы в пространствах с конусом

8.1. Полуупорядоченность и авансы

8.2. Специфика монотонности

8.3. Феномен инвариантности конуса

8.4. Антураж текущего фарватера

8.5. Операторы сдвига в условиях полуупорядоченности

8.6. Конус положительно определенных матриц

8.7. Гетеротонные отображения

8.8. Гетеротонная динамика

8.9. Супероднородные операторы

8.10. K-системы

8.11. Теоремы о накрытиях и неравенства

8.12. Универсальные P-системы

8.13. Системы с ограниченным межэлементным взаимодействием

8.14. Комментарии и дополнения

## Глава 9 Возмущения и бифуркации

9.1. О содержательных задачах и абстрактных постановках

9.2. Принцип смены индекса

9.3. Перестройки фазового портрета

9.4. Деформации с ограничениями

9.5. Многопараметрические задачи

9.6. Итерационные процессы

9.7. Иерархия циклов

9.8. Многомерный сценарий

9.9. Загадочность циклов типа Г3

9.10. Устойчивость и хаос

## Глава 10 Многозначные поля

10.1. Причины многозначности

10.2. Замкнутые отображения

10.3. Отображения с выпуклыми образами

10.4. Теоремы о неподвижных точках