# Лекции по математике. Теория множеств: от Кантора до Коэна. Том 16

Валерий Босс

Аннотация

Настоящий том "Лекций" посвящен теории множеств в диапазоне от наивной трактовки проблематики до ее современного (аксиоматического) состояния. Наряду с простейшими понятиями и результатами о манипулировании бесконечностями рассматриваются довольно тонкие феномены: парадокс Банаха---Тарского, кардинальная и ординальная арифметика, базисы Гамеля. Излагаются и обсуждаются также элементы матлогики, теории моделей и их связь с аксиоматическим подходом к теории множеств.

Изложение отличается краткостью и прозрачностью.

Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников.

Предисловие


Существует достаточно света для тех, кто хочет видеть,


и достаточно мрака для тех, кто не хочет.

Паскаль


Теорией множеств и основаниями математики занимаются единицы, а соприкасаются -- миллионы. И тут есть дефицит простой и понятной информации о путях, ведущих вглубь, -- для тех, кому мало знакомства "по верхам", но нет охоты тратить силы и время на освоение аппарата, каковой потом не пригодится. Для этой аудитории и предназначен данный том.

Оглавление

Предисловие к шестнадцатому тому

1             Справочная

1.1.         Теоретико-множественные операции

1.2.         Алгебраические мотивы

1.3.         Упорядоченность и эквивалентность

1.4.         Логические инструменты

2             Кантор и бесконечность

2.1.         Откуда берутся множества

2.2.         Феномен мощности

2.3.         Канторово множество и гипотеза континуума

2.4.         Манипулирование бесконечностями

2.5.         Реализованная бесконечность

2.6.         Губительна ли наивность

3             Аксиоматика Цермело--Френкеля

3.1.         Отступление

3.2.         Проблема аксиоматизации вообще

3.3.         Система ZFC

3.4.         Взаимодействие с логикой

3.5.         Натуральный ряд и арифметика Пеано

3.6.         Универсумы фон Неймана и Г"еделя

4             Аксиома выбора

4.1.         Концепция Всевидящего Ока

4.2.         Теорема Цермело и трансфинитная индукция

4.3.         Парадокс Банаха--Тарского

4.4.         Вопросы правдоподобия

4.5.         Аксиома детерминированности

5             Ординалы и кардиналы

5.1.         Статус-кво

5.2.         Кардинальная арифметика

5.3.         Ординалы

5.4.         Ординальная арифметика

5.5.         Лемма Цорна и как она работает

5.6.         Базисы Гамеля

5.7.         Теорема Гудстейна

6             Вычислимость и доказуемость

6.1.         Вычислимые функции

6.2.         Перечислимые и разрешимые множества

6.3.         Диофантовы множества

6.4.         Неполнота арифметики

6.5.         Феномен неаксиоматизируемости

6.6.         Непротиворечивость аксиоматики

6.7.         Проблема арифметичности

6.8.         Универсальные функции

6.9.         Теорема Райса

6.10.       Когда ложь так же хороша, как правда

7             Модели и теории

7.1.         Логика первого порядка

7.2.         Теории и модели

7.3.         Семантика и формализм

7.4.         Исчисление предикатов

7.5.         Полнота исчисления предикатов

7.6.         Полные и неполные теории

7.7.         Теоремы компактности

7.8.         Теоремы Левенгейма--Сколема

7.9.         "Парадоксы" и сюрпризы

8             Универсумы ZF и форсинг

8.1.         Имеет ли ZF модель

8.2.         Конструктивный универсум Геделя

8.3.         Метатеоретические трансформации

8.4.         Аксиома конструктивности

8.5.         Пермутационные модели

8.6.         Расширение моделей

8.7.         Форсинг и теоремы Коэна

8.8.         Булевозначный анализ

9             Метафизическая

9.1.         Вселенная как модель

9.2.         Феномен познания

9.3.         Бесконечное

10           Приложения

10.1.       Вещественные числа

10.2.       Гипотеза Суслина

10.3.       Алгебраические поля

10.4.       Булевы алгебры

10.5.       Конструктивизм

10.6.       Мера Лебега

10.7.       Измеримые функции

10.8.       Множества Витали и Бернштейна

10.9.       Категории Бэра

Сокращения и обозначения

Литература

Предметный указатель