# Динамическое моделирование на уроках геометрии

Евгений Михайлович Гуреев

ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ


И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ

РАБОТА В 5-6-Х КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ


-- Перед началом систематического курса геометрии /т.е. в младших классах, в 5-6 классах и на первых уроках в 7-ом классе/ экспериментальным образом вводятся основные понятия и устанавливаются их свойства. Эта работа достаточно важна для дальнейшего, но не следует задерживаться на ней слишком долго. Перед началом курса достаточное количество времени следует посвятить "содержательной геометрии" и решению задач.


2. Работа, проведенная автором в 5-6 классах, показала возможность усвоения учащимися этих классов, по меньшей мере, следующих тем: свойства пар углов, признаки равенства треугольников, свойства равнобедренного треугольника, теорема Пифагора, свойства параллелограмма, площади фигур, преобразования фигур и виды движения, окружность, вписанная в многоугольник /описанная около многоугольника/.


3. Знакомство с содержательной стороной геометрии осуществляется на уроках путем экспериментальной работы. При этом к эксперименту предъявляются следующие требования: А/ необходимо использовать динамические модели, Б/ эксперимент должен быть легко воспроизводим, в том числе и в качестве мысленного. Модели берутся из привычной для учащихся обстановки, а в качестве основного измерительного прибора служит человеческий глаз. В/ Эксперимент должен вскрывать глубинные причины устанавливаемого свойства и носить обобщающий характер, Г/ эксперимент не должен отрицать определенной доли несложных рассуждений. В докладе приводятся соответствующие примеры. Например, на глаз оценив меру одного из углов, смежных с двумя данными вертикальными, вычитанием находятся меры вертикальных углов и сравниваются. После необходимых обобщений /можно с помощью параметра, можно с помощью аналогии, но в любом случае желательны динамические модели/ делается вывод о равенстве вертикальных углов. Одновременно предвосхищается строгое логическое доказательство полученного свойства. Что касается непосредственно доказательств, то они проводятся с помощью операторов /аксиома, определение, теорема/ с посылками на входе и следствиями на выходе.

4. Доступность для учеников геометрического материала обеспечивается введением параллельной терминологии, несущей на себе достаточную семантически - информационную нагрузку, и, в то же время, использующую жизненный опыт учащихся. Вводятся мнемонические названия свойств и мнемонический пересказ их содержания, динамические опорные сигналы для плана эксперимента. Например, парам углов даются названия букв, начертание которых они напоминают: внутренние накрест лежащие углы - 2 углы, соответственные углы - Г углы и т.д. Кроме того, в целях научить обнаруживать

эти виды углов, производится работа над динамикой их начертания.

Через динамику проходит все: обнаружение стороны треугольника, противолежащей вершине, молчаливое изображение плана экспериментального или логического получения свойства и т.д. Даются названия признакам равенства треугольников. Например, "СУС-теорема" - это признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. Первые буквы слов помогают заучивать сложные формулировки.

5. Легкость мысленного повторения эксперимента обеспечивается разбиением его на достаточно простые части. Так например, чтобы выяснить, в какой точке находится центр окружности, вписанной в треугольник, экспериментально устанавливается, что указанная окружность вписана в каждый угол треугольника. Затем, нарисовав от руки угол и всевозможные окружности, вписанные в него, учащиеся обнаруживают, что их центры лежат на биссектрисе угла. Затем делается вывод.

6. Что касается геометрических преобразований, то неудача их внедрения в школьные программы, с точки зрения автора, объясняется тем, что учащимся не была дана целостная динамическая модель как общего вида преобразований, так и их конкретных видов.

Если остановиться на преобразовании движения, то движение можно

проиллюстрировать с помощью моделей флага. Флагом называется репер плоскостей, состоящий из точки, луча, выходящего из этой точки, полуплоскостей, выходящих из этого луча. Задав упорядоченную пару моделей двух флагов, мы тем самым весьма наглядно представим движение, отображающее один флаг на другой. В любой момент можно произвести физическое движение, являющееся моделью геометрического. Экспериментально устанавливаются многие свойства движения, включая разложение одних видов движения на другие.

На втором этапе, который наступает сравнительно быстро, осуществляется теоретико-множественный подход к преобразованиям. Далее, оснащая флагом треугольник, мы получаем упорядоченный треугольник. Есть возможность оперировать равенством как обычных, так и упорядоченных треугольников. Ученики начальных классов воспринимают это без особых затруднений.

7. Достаточно раннее и естественное знакомство учащихся как

с содержательной стороной геометрии, так и с логическими структурами, позволит использовать достаточно богатый умственный потенциал и открытость к познавательной деятельности, присущие детям в раннем возрасте.

Высказанные в докладе положения нашли практическое выражение в конкурсном учебнике "Геометрия" (1986 г.), который был написан автором доклада совместно с Э.Н.Черниковой, Гуреев Е.М. шк. N 21 г. Чапаевска Самарской области/


ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ В 5-б-Х КЛАССАХ


1. В настоящее время систематическое изложение геометрии начинается при отсутствии у учащихся предварительной экспериментальной и логической базы. Формы умозаключения с ними не отработаны, геометрический эксперимент ставится примитивным образом.

-- Один из важнейших выводов синергетики /системный анализ/ состоит в том, что динамичное в себе целое порождает собственные части и при этом не исчезает, а переходит на новый уровень, с которого руководит частями по принципу взаимно обратных связей.

-- Отсюда следует сделать вывод о необходимости целостного и динамического подхода к основным понятиям геометрии. Автор доклада показывает, как предпринятая в свое время попытка ввести в школьное обучение математике теоретико-множественные принципы натолкнулась на игнорирование динамических моделей понятий и на стремление из частей составить целое. Это привело, в частности, к статично-зрительному восприятию учащимся фигур, составляемых из точек. Не удивительно, что учащиеся не смогли, к примеру, увидеть разницу между отрезком и интервалом, поскольку последние не различимы зрительно. Точно также не восприняты зрительно преобразования и функции. Теоретико-множественный подход был в школе скомпрометирован.

3. Поскольку целостность должна быть задана непосредственно, то на начальном этапе обучения количество основных /"неопределяемых"/ понятий должно быть расширено: точка, прямая, отрезок, интервал, принадлежность, преобразование, движение и т.д. /Полное перечисление дало в докладе/.

-- Общеизвестно, что основные понятия геометрии определяются с помощью систем аксиом. Любая система объектов, удовлетворяющая заданной системе аксиом, состоит из моделей основных понятий. Стандартная интерпретация дает стандартные модели: физическую точку, физический отрезок и др., являющиеся в определенной степени абстрактными объектами. Предлагается, отвлекаясь от одних свойств материальных объектов и оснащая их другими свойствами, дать внематематические определения стандартным моделям. При этом учащиеся знакомятся с операциями отвлечения, оснащения и отождествления. Например, дается определение физической точке: берется небольшое тело в заданной системе отсчета, затем мы отвлекаемся от всех его физико-химических свойств и, определенным образом - от размеров, сохраняя лишь месторасположение. Получаем точку. Используя динамический образ натянутой нити и производя соответствующие отвлечения, получаем физический отрезок. При этом следует дать описание способа движения по отрезку, который предполагает возможность достигнуть его концов, что позже будет истолковано как принадлежность концов отрезку. Если же способ движения разрешает приближаться к концам сколь угодно близко, но не разрешает достигнуть их, получаем интервал. При указанном здесь подходе именно движение как первичная основа отличает отрезок от интервала.

5. Определяя точки фигуры как такие, в которых мы сможем остановиться в результате движения по фигуре /части определяются через целое/, мы на втором этапе отвлекаемся от движения, заменяя его уже понятным свойством принадлежности. По существу, учащимся предлагается отождествить математический объект с физическим /т.е. движение рассматривается как сумма состояний покоя/.

Это отождествление и порождает известные апории Зенона. Чтобы эти апории не возникли у учащихся на неконтролируемом подсознательном уровне, отождествление фигуры как множества точек с физической фигурой производится таким образом, чтобы ученик был в состоянии совершать "предельный переход" от математического объекта к физическому. В этом и заключается основной смысл предварительной экспериментальной работы с учащимися.

6. На следующем этапе экспериментальным путем устанавливаются .свойства основных геометрических понятий без разделения свойств на аксиомы и теоремы. Зато ученикам показывается возможность определить одни понятия через другие /А через В и С, В через А и С и т.д./, а также возможность вывода одних свойств из других. Тем самым идет подготовка к восприятию аксиоматического изложения геометрического курса.

7. В течение всего предварительного этапа можно не торопясь отрабатывать умозаключения. Прежде всего отрабатывается триада: посылка, преобразование, следствие. И здесь лучший подход - динамический. Все основные свойства рассматриваются как операторы, на входе которых - посылки, на выходе - следствия. Чтение триады может быть прямым /именно оно отрабатывается на предварительном этапе/, срединным, обратным. Сокращенные триады есть диады или в полудиады. На предварительном этапе они требуют прямого и обратного чтения.

8. Как только начинается систематическое изложение курса

1 геометрии, отбирается определенный минимум основных понятий и свойств /аксиом/. Учащиеся теперь имеют возможность уделить серьезное внимание последовательности определений и доказательств теорем, и, вообще - логической стороне дела, поскольку с содержательной они ознакомлены. Ученикам становится понятной и относительность выбора системы аксиом. Что касается изгнания из математики временных образов, к чему привержены некоторые математики, то это есть проблема следующих этапов обучения. Указанные подходы к введению и формированию начальных геометрических' понятий использовались автором и Э.Н. Черниковой при создании конкурсного учебника.