# Феномен конуса; The cone phenomenon

Петр Васильевич Путенихин

Конус формируется из плоскости с вырезанным "дефицитным" углом. Если вместо вырезания добавить к плоскости клин, то при сворачивании образуется конус инверсный. Конус можно рассматривать как производную поверхность для некоторых геометрических тел с плоской поверхностью, в том числе, инверсных. Считается, что параллельный перенос вектора в 2-мерном пространстве является индикатором его искривлённости. В искривлённом пространстве перенос вектора по разным путям или по замкнутой траектории приводит к изменению его направления. Это утверждение в общем случае ошибочно.

The cone is formed from a plane with a "deficient" corner cut out. If, instead of cutting, add a wedge to the plane, then an inverse cone is formed during folding. A cone can be considered as a derived surface for some geometric bodies with a flat surface, including inverse ones. It is believed that in a curved space the parallel transfer of a vector leads to a change in its direction. This assertion in the general case is erroneous.

Оглавление

Введение

Вариации конуса

Дефицитный угол

Загадки конуса

Сечения конуса

Перенос вектора

Инверсный куб

Заключение

Литература


Ключевые слова: дефицитный угол, клин, инверсный конус, параллельный перенос вектора, искривленное пространство;

scarcity angle, wedge, inverted cone, parallel vector translation, curved space


Введение


При строгом подходе пространствами как таковыми не являются традиционно исследуемые искривлённые пространства: сфера, пространство положительной кривизны Римана, и пространство отрицательной кривизны Лобачевского, в частности, псевдосфера Бельтрами. Любое из подобных 2-мерных пространств имеет предел размера двухмерного объекта. В трёхмерном пространстве погружения, то есть, внешнем пространстве большего числа измерений, такие пространства фактически являются обычными трёхмерными телами, зачастую имеющими конечные значения площади поверхности и объёма. Как правило, самопересечений они не имеют.

Среди плоских пространств только плоскость Евклида не имеет таких ограничений, что, собственно говоря, и обеспечивает выполнение на ней пяти его постулатов. Наряду с такой полной плоскостью существуют и её частичные подобия: квадрат, цилиндр, куб, конус и некоторые другие, которые, однако, так же, как и упомянутые выше искривлённые пространства, являются конечными телами в 3-мерном пространстве погружения, пространстве большего числа измерений.

Для исследования конических поверхностей выберем две пересекающиеся прямые в бесконечномерном пространстве Евклида. Точку их пересечения S назовём полюсом или вершиной. Одну из прямых назовём осью a, а другую назовём образующей b. Меньший из углов между прямыми назовём половиной вершинного угла.

Приведём во вращение образующую b вокруг оси a. В пространстве возникнет фигура, тело - коническая поверхность.

"Конус - это пример двумерного многообразия с ненулевой кривизной ровно в одной точке. Увидеть это мы можем, развернув его; конус эквивалентен плоскости с удаленным "дефицитным углом" и обозначенными сторонами..." [2, с.84].

Точкой с указанной ненулевой кривизной в нашем случае является вершина, полюс S. Разрежем поверхность образующей в одном из её положений при вращении и развернём на плоскости. Очевидно, величина "дефицитного угла" зависит от вершинного угла конической фигуры. В частном случае, при вершинном угле, равном π, дефицитный угол равен нулю и коническая поверхность полностью совпадёт с плоскостью Евклида. Если вершинный угол равен π/3, то дефицитный угол равен π, то есть, развёрнутая коническая поверхность в точности равна половине плоскости Евклида. При этом "точка кривизны" на её границе, стороне будет условна, определённого положения она иметь не будет.


Вариации конуса


Заметим, что перечисленные выше усечённые подобия полной плоскости Евклида: цилиндр, куб, тетраэдр фактически эквивалентны друг другу и являются производными от конического пространства, являющегося в свою очередь по характеристикам наиболее близким к полному пространству Евклида. Действительно, рассечём сформированную коническую поверхность двумя плоскостями на расстоянии h друг от друга, ортогональными к оси на расстоянии L от его полюса. Полученное тело называется усечённым конусом, который имеет две плоские грани. Очевидно, радиусы этих граней соотносятся как


Устремим вершину S в бесконечность, вдаль от этих граней, вследствие чего соотношение изменится


В результате мы получаем усечённый конус, радиусы граней которого равны: R1 = R2. То есть, фактически мы получили цилиндр, являющийся в данном случае вариантом, фрагментом конической поверхности.

Если бы при формировании конической поверхности мы вращали образующую таким образом, что она "нарисовала" бы на гранях квадрат, то в этом случае при удалении полюса вдаль мы получили бы параллелепипед или, как вариант, куб.

Если же при формировании конической поверхности мы вращали бы образующую таким образом, чтобы она "нарисовала" на ближней грани равносторонний треугольник такой, что длина его сторон была бы равна удалённости его вершин от полюса, то в этом случае мы получили бы тетраэдр или равностороннюю пирамиду.

Коническая поверхность, конус обладает ещё одним замечательным свойством. Её сечение плоскостью даёт ряд замечательных линий в зависимости от угла между осью конуса и секущей плоскости. Это окружность, эллипс, парабола, гипербола, треугольник и прямая.


Дефицитный угол


Отметим некоторую неточность следующего утверждения, ссылающегося на предыдущую, приведённую выше цитату этого же автора:

"В метрике, унаследованной от этого описания как часть плоской поверхности, конус плоский везде, кроме вершины. Это можно увидеть, рассматривая параллельную транспортировку вектора по различным петлям; если цикл не охватывает вершину, не будет общего преобразования, тогда как цикл, который действительно охватывает вершину (скажем, только один раз), приведет к повороту на угол, который является просто недостающим углом" [2, с.84].

Не следует делать из этого утверждения вывод, будто коническая поверхность тождественна плоскости Евклида в любой точке и на любом участке кроме вершины. На самом деле поверхность конуса плоская только в области, не содержащей прямо или косвенно вершину, полюс. Это ведёт к тому, что на конической поверхности в таких областях не выполняются некоторые из пяти постулатов Евклида. Например, параллельные линии пересекаются, если между ними находится полюс. Длина любой окружности радиуса R с полюсом внутри не равна 2πR, а сама окружность имеет излом на линии, соединяющей её центр и полюс.

Вместе с тем, такое искривляющее влияние полюса является локальным, оно не делает искривлённой поверхность конуса целиком. Более того, если полюс, вершина конуса окажется прямо на линии параллельного переноса, то поворота вектора не будет, то есть, сам полюс фактически не является "ровно одной точкой с ненулевой кривизной".

Возникает довольно интересная, двусмысленная ситуация. Внутри большой области, включающей, охватывающей полюс, двухмерное пространство поверхности конуса формально выглядит как искривлённое, но любая её же часть, не содержащая полюса или содержащая его на границе, является плоской.

В литературе можно встретить утверждение, что внутренний (плоский) наблюдатель способен определить кривизну собственного пространства без привлечения понятия пространства большей размерности, так называемого пространства погружения:

"... внутренняя кривизна пространства-времени, т.е. кри-визна, при определении которой не только не используется по-гружение в какое-либо гипотетическое плоское многообразие более высокой размерности, но даже не допускается мысли о возможности такого погружения" [4, т.1, с.411].

В качестве одного из распространённых способов такого определения кривизны рассматривается явление поворота вектора при его параллельном переносе по замкнутому контуру:

"Кривизна многообразия сама по себе выражается через изменение направления вектора, возникающее при параллельном переносе вектора по небольшому замкнутому контуру. ... численное значение кривизны многообразия можно выразить через изменение направления вектора (в градусах) на единицу площади, охватываемой замкнутым контуром, по которому совершается обход" [3, с.82].

О чем же тогда свидетельствует поворот вектора при перемещении его по поверхности конуса? Формально этот поворот следовало бы рассматривать как свидетельство кривизны охваченного при обходе контура, поскольку при однозначно параллельном переносе вектора, тем не менее, явно наблюдается изменение его направления:

"Решающее различие между плоскими и искривлёнными пространствами состоит в том, что в искривленном пространстве результат параллельного переноса вектора из одной точки в другую будет зависеть от пути, пройденного между точками" [2, с.64; 1, c.104].

В общем случае, хотя и с некоторыми оговорками, это действительно так. Следует заметить, что и на определённо, достоверно искривлённой поверхности, на сфере можно найти такие разные траектории переноса между двумя точками, когда вектор не только принимает одно и то же направление, не меняет своего направления. Для визуальной демонстрации изменения направления вектора при его переносе по двум разным путям, такое его "решающее" перемещение, как правило, производится по поверхности сферы:

"Начните с вектора на экваторе, направленного вдоль линии постоянной долготы. Параллельно перенесите его до северного полюса по долготе очевидным способом. Затем возьмите исходный вектор, перенесите его параллельно экватору на угол θ, а затем переместите его вверх к северному полюсу, как и раньше. Ясно, что вектор, параллельно перемещённый по двум путям, прибыл в один и тот же пункт назначения с двумя разными значениями (повернутыми на угол θ)" [2, с.64; 1, c.104].

Делается очевидное заключение, что два параллельных в начальной точке вектора прибыли в конечную точку повёрнутыми относительно друг друга. Однако эта ясность ошибочна. Сначала несколько замечаний, возражений. Вектора изображаются на подобных иллюстрациях неточно, а правильнее сказать, ошибочно. Во-первых, они не могут быть прямолинейными отрезками на поверхности сферы. На всём пути к полюсу они должны совпадать с соответствующими линиями, дугами больших кругов. Во-вторых, они не могут выходить за поверхность сферы, как нередко изображается. Наконец, на сфере вообще не существует параллельных линий, то есть, параллельный перенос невозможен в принципе.

Как правило, для доказательства изменения направления вектора при его якобы параллельном переносе используется треугольный путь: точки на экваторе - полюсе - экваторе. Вообще-то, это довольно странный, чрезмерно замысловатый способ определения кривизны. Для доказательства кривизны поверхности было бы вполне достаточно просто вычислить сумму углов этого треугольника. Она, как легко заметить, для сферической поверхности всегда превышает 180 градусов, что сразу же, по определению означает кривизну поверхности.

Перенос же вектора можно произвести и по другим путям. На следующем рисунке изображены два таких пути: по Z-образной ломаной линии и по экватору. Очевидно, что по обоим путям векторы прибывают из точки A в точку D с сохранением направления. Оба вектора в конечной точке сливаются.


Рис.1.


На этом рисунке, на сфере углы между линиями просматриваются не очень хорошо. Сделаем развёртку этого фрагмента сферы на плоскость. Развёртка несколько условна, поскольку предполагает небольшую, но не принципиальную деформацию сферического фрагмента.

Каждый меридиан пересекает каждую параллель и экватор под прямым углом. Пути векторов - Z-образный и экватор - являются прямыми линиями, то есть, отрезками больших кругов сферы. На эквивалентной развёртке рисунка видно, что по экватору вектор, выделенный желтым цветом, перенесён параллельно, без поворота. Вторая линия переноса является составной, ломаной линией. Эта линия сформирована специфическим образом. В точках излома она образует угол в 45 градусов с проходящим через эту точку меридианом.


Рис.2.


Следовательно, угол между участками линии - прямой. На первом отрезке линии от точки A до точки B вектор, изображённый синим цветом, совпадает с этой линией, геодезической, фрагментом большого круга. Далее, от точки B до точки C вектор переносится "параллельно", а правильнее говоря, с сохранением угла, относительно другой геодезической - BC, фрагмента большого круга, перпендикулярно к ней. В точке C вектор вновь переходит на другой фрагмент линии, геодезическую CD. Поскольку угол остаётся неизменным, то вектор оказывается коллинеарным этой геодезической, параллелен ей. Понятно, что в точку D вектор приходит с таким же уклоном, как и в точке A, то есть, его направление совпадает с вектором, перемещённым по экватору. Это прямо следует из симметрии рисунка. Отметим, что в промежуточном положении на экваторе между точками B и C векторы, переносимые по разным путям, не совпадают. Также в начальной A и конечной D точках вектора имеют наклон к экватору, не равный 45 градусам.

Заметим, что таких эквивалентных путей переноса без поворота вектора существует бесчисленное множество. Если назвать описанную ломаную траекторию z-траекторией, то несколько таких z-траекторий могут быть соединены в замкнутый контур. В этом случае нарушается правило "переноса по замкнутой траектории на искривлённой поверхности". Вектор при таком перемещении вернётся в исходную точку без поворота. С точки зрения трёхмерного пространства погружения на рисунке нет ни одной пары параллельных векторов.

Иногда рассматривается перенос вектора по сфере или просто искривлённому пространству по произвольной, не геодезической замкнутой линии с сохранением относительного угла, эквиугловое перемещение и демонстрируется его поворот. Легко показать, что эквиугловое перемещение вектора в плоском пространстве, например, поверхности куба на таких же условиях "сохранения" угла в общем случае также ведёт к его повороту. Поэтому корректным следует считать только перенос, перемещение вектора по прямым, геодезическим линиям. Собственно параллельный перенос по сфере невозможен в принципе, просто ввиду полного отсутствия на ней каких-либо параллельных прямых, геодезических.

Главный вывод из рассмотренного рисунка состоит в том, что перенос вектора по геодезической с сохранением относительного к ней угла, эквиугловое перемещение не является вращающим. Напротив, любые "обходные" пути, в частности, через полюс по определению являются вращающими и доказательством кривизны для частного случая.

Рассмотренная традиционная модель параллельного переноса вектора на сфере через полюс или по сторонам треугольника послужила основанием для довольно странного заключения об относительной скорости частиц в искривлённом пространстве:

"В отличие от некоторых проблем, с которыми мы столкнулись, у этой проблемы нет решения - мы просто должны научиться жить с тем фактом, что два вектора можно сравнивать естественным образом, только если они являются элементами одного и того же касательного пространства" [2, с.64; 1, c.104].

Заметим, что на сфере таких векторов быть не может вообще. Кроме того векторы в касательном пространстве не принадлежат пространству искривлённому, поскольку векторы в них имеют с "касаемыми" лишь одну общую точку и ничего более. А точка, понятно, вектором не является, сколько бы касательных пространств мы ни построили.

"Например, две частицы, проходящие мимо друг друга, имеют четко определенную относительную скорость... (которая не может быть больше скорости света). Но две частицы в разных точках изогнутого многообразия не имеют четко определенного понятия относительной скорости - это понятие просто не имеет смысла" [2, с.64; 1, c.104].

В целом вся цитата выглядит как подмена понятий, как странное, бездоказательное постулятивное утверждение: "не имеют чётко определённого понятия относительной скорости" (курсив в цитате наш). Заметим, что фраза "относительную скорость, которая не может быть больше скорости света" - сама является "относительным утверждением". В любой ИСО два фотона могут удаляться друг от друга с относительной удвоенной скоростью света. Согласно кинематике всех ведущих теорий, галилеевой, эйнштейновой, любые скорости - относительные. Смысла не имеют как раз абсолютные скорости. Но в этом случае отрицание относительной скорости в цитате лишает смысла понятие скорости как таковой. Видимо, следовало бы сказать, что мы не можем измерить отношение этих скоростей, но это тоже неверно. В плоском двухмерном пространстве относительная скорость определяется изменением длины наименьшего расстояния между объектами за единицу времени, то есть, скорость изменения длины геодезической. Очевидно, что не имеют никаких физических запретов ни измерение интервала времени, ни измерение длины геодезической в любой момент времени.

Кривизна пространства таким измерениям так же не препятствует. Как показано на рисунках рис.1 и рис.2 выше, в сферическом пространстве мы всегда можем для измерения и сравнения переместить мгновенный вектор скорости в любую точку без его искажения. То есть, решение есть, и эта проблема параллельного переноса проблемой не является. В искривлённом пространстве относительная скорость частиц по-прежнему имеет чёткое определение. Во всяком случае, его нельзя опровергнуть противоречивыми выводами о повороте переносимого вектора. Решающим возражением может быть вопрос, как мы можем определить именно этот, неискажающий путь? Ответ столь же решающий: осуществляйте по сфере эквиугловое перемещение вектора относительной скорости по прямой линии, по геодезической, с сохранением угла к ней, который, как следует предположить, просто равен нулю, поскольку относительная скорость между двумя точками всегда направлена вдоль геодезической, соединяющей их.

Конечно, можно возразить, что такому подходу противоречит круговое движение, ведь в этом случае длина геодезической между двумя точками неизменна, но скорость относительного движения явно просматривается [6, с.31]. Однако здесь мы рассматриваем две математические, безмассовые, безразмерные точки, круговое относительное движение которых друг относительно друга в физическом мире невозможно. В пустом пространстве круговое движение возможно только при наличии сил, эквивалентных гравитации или электростатике. Понятно, что к рассматриваемой модели это отношения не имеет. Исходя из этого, точно так же следует отвергнуть и следующий, космологический вывод:

"В космологии ... очень заманчиво сказать, что галактики "удаляются от нас" со скоростью, определяемой их красным смещением. ... галактики не удаляются, поскольку понятие их скорости по отношению к нам четко не определено" [2, с.64; 1, c.104].

Отрицание удаления галактик на основании неопределённости понятия об их скорости относительно нас, наблюдателей, мы считаем ошибочным. Тем более с опорой на ошибочные выводы о повороте вектора при параллельном переносе. Геодезическая, соединяющая галактику и наблюдателя, является кратчайшей прямой линией в любом искривлённом пространстве. Любой переносимый по ней и совпадающий с нею вектор всегда условно параллелен ей, поэтому ни о каком его повороте говорить нельзя. Следовательно, вектор скорости фотона, испущенного галактикой и поступившего к нам, не испытал никакого изменения направления.

"На самом деле происходит то, что метрика пространства-времени между нами и галактиками изменилась (Вселенная расширилась) на пути фотона отсюда туда, что привело к увеличению длины волны света. В качестве примера того, как вы можете ошибиться, наивное применение формулы Доплера к красному смещению галактик подразумевает, что некоторые из них удаляются быстрее света, что явно противоречит теории относительности. Разрешение этого очевидного парадокса просто в том, что само понятие их рецессии не следует понимать буквально" [2, с.65; 1, c.104].

Здесь согласиться можно лишь с тем, что, действительно, удаление галактик, рецессию следует понимать с некоторыми оговорками. Галактики удаляются условно, гипотетически, визуально, вследствие расширения пространства-времени. При этом никакого сверхсветового противоречия нет, поскольку такое удаление, как признаётся всеми, а косвенно отмечено и в цитате, не считаются реальным, физическим движением. Буквально, галактики удаляются, оставаясь неподвижными. Тем не менее, трактовке процесса как рецессии, физического разбегания галактик это "неподвижное движение" не противоречит. Длина волны фотона увеличилась не просто так. Фотон движется к нам строго по геодезической, являющейся наикратчайшей линией. Расстояние между галактиками вдоль геодезических увеличилось не мгновенно, а постепенно, что эквивалентно движению их относительно друг друга.

Кроме того, если углубиться в философские трактовки и в физически несостоятельное, противоречивое понятие "гравитационной связанности", то увеличение дистанции между двумя гравитационно притягивающимися объектами явно требует приложения к ним некой силы. Источник силы отнесём к философским домыслам, но её наличие - физическая неизбежность. Почему объекты не "ощущают" действия этой силы? Вообще-то, ощущают, наблюдают и измеряют - красное, доплеровское смещение, определённо является индикатором движения с ускорением.

Конечно, несомненно, по большому счету применение формулы Доплера следует считать всё-таки достаточно условным. Можно сказать, что доплеровские измерения определяют не скорость удаления галактик, а увеличение длины геодезической между ними и наблюдателями за время движения фотонов. Но, несмотря на эту условность, она даёт хорошие, осмысленные результаты через связь между расстоянием до источника по его яркости и увеличению длины волны. Кроме того, к галактикам, якобы удаляющимся быстрее света, формула Доплера и не применяется, причём даже не потому, что физически это движение невозможно. Такие галактики не наблюдаемы, поэтому не существует в принципе и, соответственно, не регистрируется такое красное смещение, при котором скорость могла бы трактоваться как сверхсветовая. Есть высказывания, что теория Большого Взрыва - плохая теория, но у нас нет ничего лучше (вообще-то, есть [7, с.9]). То же самое, видимо, можно сказать и о красном смещении и доплеровских измерениях.

Таким образом, можно сказать, что поворот вектора при его параллельном переносе является определённо слабым и спорным индикатором кривизны или аномалий поверхности. При спорно параллельном переносе по разным путям его направление может как меняться, так и сохраняться. При этом пространство, в котором он переносится, может быть как искривлённым, так и плоским, пусть и ограниченным, замкнутым, например, коническим.


Загадки конуса


Рассматривая геометрическую "конструкцию" конуса, можно заметить, что она, в общем-то, не уникальна. Приём склеивания граней плоских участков используется довольно часто. Например, таким способом и с использованием "отождествления" сторон квадрата или прямоугольника формируется деформированная тороидальная поверхность. Куб также является продуктом склеивания сторон, граней, например, крестообразной поверхности [7, с.129]. Кстати, при этом куб может рассматриваться, как своеобразная "огранённая" сфера, имеющая чётко выраженные полюса - восемь вершин. Как следствие, на такой "плоской" поверхности вектор, перенесённый строго параллельно по определённым путям, возвращается в исходную точку с поворотом. Кубу, как и в случае с конусом, следует "назначить", правда, не одну, а "ровно восемь точек с ненулевой кривизной". У тетраэдра таких точек, соответственно, "ровно четыре".

Склеивание граней плоских фигур можно производить также с их вращением, поворотом, например, как в ленте Мёбиуса. Склеивание изначально параллельных граней даёт классическую форму ленты. Перенос вектора вдоль оси ленты не приводит к его повороту, то есть, лента Мёбиуса математически является строго плоской поверхностью, хотя и замкнутой, односторонней. Понятно, что расширение такого "пространства" неизбежно ведёт его к самопересечению. Можно назвать её "вывернутым" цилиндром, либо, вполне возможно, "вырезкой" части поверхности бутылки Клейна. Правда, отсутствие поворота вектора при переносе по ленте Мёбиуса отвергается в фейнмановских лекциях, что мы считаем ошибкой:

"Если мы возьмем два вектора, один из которых параллелен, другой перпендикулярен центральной линии ленты Мебиуса, и обойдем один раз ленту, двигаясь налево от вертикальной пунктирной линии, показанной рис.9.3, то пространство не переходит само в себя, а испытывает отражение, обусловленное "скрученностью" поверхности, а не просто поворот" [5, с.195].


Рис.3. Рисунок 9.3 из работы [5, с.195]


Обратим внимание на важное замечание в цитате: "обойдём один раз". И сразу же зададимся вопросом: а как определить, сколько раз мы обошли ленту? Если мы движемся по ней, то кроме этого пространства Мёбиуса мы не видим ничего. Для внешнего наблюдателя всё просто: один раз - это круговой обход в 360 градусов. Однако, для внутреннего наблюдателя, для нас этот круговой угол для наблюдения недоступен. Кроме того, лента может быть очень длинной и многократно свёрнутой кольцами. Конечно, через некоторое время мы можем обнаружить по неровностям или каким-либо меткам на ленте, что здесь, в некоторой точке мы уже были. Для контроля пройденного пути простейшим и наглядным способом является движение с закрашиванием пройденной поверхности, дороги, своеобразная нить Ариадны. Но, очевидно, после прохождения одного круга мы обнаружим перед собой не закрашенную поверхность. Конечно, если лента прозрачна, под ногами мы увидим краску... но на обратной стороне. Сказать, что мы прошли полный путь, мы не имеем права: мы не находимся в исходной точке. Если в исходной точке мы оставили какой-то предмет, то здесь взять его мы не сможем: он находится "под полом".

Из этого следует, что полным путём является всё-таки путь по удвоенной, объединённой, вновь сформированной поверхности. Такое свойство "удвоения" длины ленты используется, например, в технике. На распилочных станках ленточная пила нередко имеет заточку, зубья на обеих кромках. Такая "удвоенная" лента-пила и работает в два раза дольше.

С учетом этого расширения, удвоения пространства продолжим путь и закрашивание ленты. Пройдя такое же расстояние, мы вернёмся в исходную точку и теперь уже сможем поднять оставленный в ней предмет. Перед нами теперь уже будет ранее закрашенная нами поверхность. При этом мы обнаружим, что рассмотренный переносимый вектор в точности совпал со своим исходным направлением. Ещё раз повторим: математическая, а не реальная физическая лента Мёбиуса является полноценным плоским пространством, хотя и замкнутым.

Такое сохранение направления переносимого вектора - это общее свойство пространств, подобных ленте Мёбиуса. Рассмотрим, например, длинную гибкую балку треугольного сечения. Свернём её в кольцо и соединим, отождествим торцевые грани, повернув одну из них на треть. Мы получим треугольное подобие ленты Мёбиуса. Для простоты будем считать, что рёбра балки непреодолимы.


Рис.4.


Такая поверхность делает более наглядным "продолжение" перевернутого, скрученного пространства. Легко заметить, что и здесь при переносе вектора, после трёх кругов он вернётся в исходное состояние, никакого поворота не будет.

Рассмотрим по шагам перенос вектора на рисунке. Исходный вектор AB1 направлен от ребра A к ребру B. Следующие его положения - векторы AB2, AB3 и AB4. В точке перекручивания трехгранной балки вектор AB4 переходит в вектор BC1, поскольку ребро A переходит в ребро B, а ребро B, соответственно, в ребро C. Формально мы прошли путь, равный длине исходной балки, но физически, ни в каком смысле мы не оказываемся в исходной точке. Исходная точка находится где-то далеко в стороне.

Далее по переименованной или, точнее, смещённой грани вектор перемещается, как показано на рисунке через положения BC2, BC3, BC4, BC5 и BC6. В той же точке перегиба балки эта грань BC переходит в грань CA или, соответственно, ребро B переходит в ребро C, а ребро C - в ребро A. И вновь, пройдя путь, равный длине балки, мы не вернулись в исходное положение. Оно по-прежнему находится где-то далеко в стороне.

На этой смещённой грани вектор вновь меняет обозначение: из BC6 он должен быть переименован в CA1 и, соответственно, далее проходит положения CA1, CA2, CA3, CA4, CA5 и CA6, что достаточно легко отследить по рисунку. Там же видно, что грань CA в точке перегиба вновь должна быть переименована, поскольку она переходит в грань AB, поскольку рёбра C и A переходят в рёбра A и B, соответственно. Вектор CA6 при таком переходе оказывается параллельным вектору AB1, то есть, при полном обходе всех трёх граней, слившихся в одну сплошную, вектор вернулся в исходное положение, направление CA6 = AB1.

Собственно говоря, это должно быть очевидно: каким бы ни было смещение, поворот, перекручивание балки вокруг оси, вектор всегда направлен в одну сторону относительно направления переноса: либо по часовой, либо против часовой стрелки. На наш взгляд рассмотренный пример показывает, что исследователи зачастую чрезмерно "формально используют формализм" математических теорий.

Следует отметить, что на самом деле наша треугольная балка при скручивании испытает некоторую деформацию, то есть, её грани не будут полноценными плоскостями. Однако таким же свойством обладает и лента Мёбиуса. Попытка свернуть в неё упругую металлическую ленту вызовет помимо изгиба её деформацию, вызывающую отчётливое сопротивление скручиванию. По этой причине выше мы назвали ленту Мёбиуса математической, в отличие от реальной физической ленты.


Сечения конуса


Коническая поверхность образуется, очевидно, не только скручиванием, сворачиванием участка плоскости - можно также просто отождествить грани "дефицитного", недостающего угла. Для внутреннего "плоского" наблюдателя оба варианта эквивалентны. При этом в процессе параллельного переноса вектора по такой поверхности он будет испытывать поворот, равный величине этого недостающего, дефицитного угла. Если вырезать на плоскости угол, максимально близкий к 2π, то вернувшийся вектор будет предельно совпадать с исходным. Такой "конус", как легко заметить, фактически является цилиндром, правда, с радиусом, приближающимся к нулю.

А что произойдёт, если заменить недостающий, "дефицитный угол" на "чрезмерный угол"? То есть, не вырезать на плоскости некий угол, а, что называется, "вставить клин"? В принципе, ничто не запрещает такую процедуру. Очевидно, развёртку такой поверхности "разложить" на плоскости будет невозможно. Но и это не является проблемой, ведь, поверхность сферы тоже невозможно "разложить" на плоскости без деформации. В обоих случаях развёртки будут "выпуклыми". Поверхность с "вставленным клином" мы будем называть инверсным конусом, поскольку способ её создания в точности совпадает со способом создания обычного конуса.

В отличие от традиционного "прямого" конуса, клин для инверсного может иметь любое значение. Одним из простейших и весьма интересных вариантов является инверсный конус с углами исходной поверхности и клина, равными 2π. Способ построения такого инверсного конуса достаточно прост.


Рис.5.


Приложим друг к другу две плоскости P1 и P2. Проткнём их перпендикулярной линией и традиционно назовём точку их пересечения полюсом S. Рассечём плоскости третьей плоскостью в бесконечность от полюса S. Отождествим или склеим образовавшиеся на плоскостях близлежащие границы SA и SA'. На рисунке плоскости слегка удалены друг от друга, чтобы построения были более наглядны. Мы получили инверсный конус с дополнительным, "чрезмерным углом" или "клином", равным 2π. Полный угол поверхности вокруг полюса, соответственно, равен 4π.

В полученном виде инверсный конус мало похож на конус вообще, поэтому для наглядности сложим "гармошкой" обе плоскости с периодом 45 градусов. В итоге мы получим фигуру, объёмное тело следующего вида:


Рис.6.


Поверхности рис.5 и рис.6 тождественны. И вновь, для того чтобы разглядеть конус в этой звездо-подобной фигуре, видимо, следует немного напрячь воображение. Если заменить острые грани такого конуса плавно изогнутой поверхностью, то в этом случае такой "конус" выглядит уже более похожим на конус:


Рис.7


Подчеркнём: фигуры рис.5, рис.6 и рис.7 - это одна и та же двухмерная "коническая" плоскость, различающиеся лишь способом изгибания или "сминания", отметим это особо: без деформаций, разрывов и растяжений. Такой расширенный конус обладает рядом интересных свойств. Главное - это то, что в трёхмерном пространстве Евклида эта поверхность имеет площадь, превышающую в 2 раза площадь любой плоскости, что, собственно, видно из способа её получения. Это относится лишь к рассмотренной конической поверхности. Заметим, что возможны и другие "смятые" без деформаций плоскости Евклида, которые в пространстве погружения также имеют бесконечную площадь, превышающую площадь обычной, "гладкой" плоскости. Определить кривизну такой поверхности внутренний, "плоский" наблюдатель не сможет никакими измерениями.

К рассматриваемой конической поверхности мы можем добавить любое количество дополнительных углов, клиньев, вплоть до бесконечности. В этом случае все лучи звезды рис.6 сольются в сплошное тело. Двухмерное пространство такого инверсного конуса будет иметь вид сплошного тела - конуса, выглядящего как 3-мерный объект. Однако этот объект на самом деле "пористый". Любая двухмерная область в нём эквивалентна обычной плоскости Евклида, на которой выполняются его 5 постулатов, если область не включает в себя полюс. В противном случае возникнут столь же странные явления, как и на обычном конусе. Например, окружность с центром на полюсе будет иметь угловой размер 2π, умноженное на количество дополнительных углов, клиньев плюс один - исходный. То есть, приведённый на рисунках конус даст окружность с внутренним углом в 4π. Попытка построить квадрат вокруг полюса приведёт к созданию прямоугольного многоугольника, имеющего 8 прямых углов. При этом параллельный перенос вектора вокруг полюса по замкнутой линии, состоящей из геодезических, не приведёт к его повороту.

Заметим, что обычный конус с "дефицитным" углом так же имеет специфические особенности. На нём постулаты Евклида справедливы лишь на ограниченных участках, не включающих в себя полюс. Особенно наглядными являются особенности конусов с дефицитными углами, кратными прямому. На поверхности конуса с дефицитным углом 90 градусов в области с полюсом треугольник имеет три прямых угла, как на поверхности сферы. Можно назвать такой конус "плоской полусферой". Параллельные линии, между которыми полюс, пересекаются под прямым углом. Соответственно, окружность с центром на полюсе имеет внутренний полярный угол, равный 270 градусам, а не обычным 360.

На поверхности конуса с дефицитным углом, равным π, параллельные линии параллельны везде, но перпендикулярные пересекаются дважды. То есть, две прямые линии образуют ограниченную область с двумя прямыми углами - "прямоугольный двухугольник". Окружность с центром на полюсе имеет внутренний полярный угол, равный π, а не обычные 2π.

Наконец, на поверхности самого острого конуса с дефицитным углом 270 градусов, прямая линия пересекает себя саму под прямым углом - прямоугольный "одноугольник".

Параллельный перенос вектора на поверхностях таких конусов, охватывающий полюс, приводит к их повороту.

Приведём ещё один вариант изображения "инверсного" конуса с клином 2π и более мелкими изгибами, складками поверхности. Изгибы сделаны синусоидальными, а на поверхности конуса нанесены концентрические окружности с центром в полюсе:


Рис.8.


Штриховой линией показана невидимая часть самого нижнего "кругового" сечения конуса, его основание. Слева вверху рисунка приведён вид сверху на этот конус с 16 изгибами - его осевые сечения, слои - своеобразные концентрические "окружности". Такой конус может быть построен описанным выше способом - вращением образующей вокруг оси, когда какая-то точка образующей описывает волнообразную линию, вписанную в окружность.

Точно так же, тождественно выглядят три версии конуса: с достаточно малым, например, равным 1 секунде недостающим или избыточным углом, и "конус" вообще без вырезанного или добавленного угла, то есть, свернутая в конус обычная плоскость. Каждая из волнообразно деформированных окружностей, сечений этих конусов имеет классический угол, приблизительно равный 2π.

Однако подобный аксонометрический вид и вид сверху будут иметь "конусы" и с любым другим добавленным углом и соответствующими окружностями сечений, превышающими 2π. Разница будет лишь в высоте волновых изгибов.


Перенос вектора


Перенос вектора по плоской поверхности конуса с избыточным углом, кратным 2π, не приводит к его повороту даже для контура, охватывающего полюс конуса. Любой другой избыточный угол ведёт к повороту вектора. Покажем это на простейшем варианте конуса, с избыточным углом, равным π/2. Для наглядности изобразим конус в развёрнутом виде, в виде состыкованных, склеенных кусков плоскостей.

Фигура рис.9 может быть свёрнута без искажений в фигуру конического вида рис.6, рис.7 или рис.8. Отметим, что при переносе вектора на рис.9 мы использовали только евклидовы прямые линии и повороты на 90 градусов. При этом на плоскости для его внутреннего наблюдателя, "плосковитянина" была нарисован прямоугольный пятиугольник, пятиугольная фигура, все внутренние углы которой - прямые. Следовательно, сумма внутренних углов этой фигуры равна 450 градусов. На действительно евклидовой плоскости такой многоугольник невозможен. Хотя рассмотренная на рисунке поверхность определённо выглядит плоской, традиционный "индикатор" - параллельный перенос по замкнутому контуру вектора, вернувшегося в исходную точку с поворотом - свидетельствует о её кривизне.


Рис.9.


Не менее странная ситуация возникает на поверхности конуса с дополнительным углом 2π, показанного на рис.6, рис.7, рис.8. Теперь уже параллельно перенесённый вокруг полюса вектор возвратится в исходную точку без поворота. То есть, такую поверхность следовало бы признать однозначно плоской. Собственно, таковой она является для локальных бесконечных областей, имеющих полюс только на границе. В этих областях выполняются все без исключения постулаты Евклида. Однако и здесь фигура, образованная прямыми линиями с поворотом только на 90 градусов и содержащая внутри полюс, будет иметь восемь прямых внутренних углов, то есть, суммарно 720 градусов. Это же относится и к окружности с центром в полюсе: её полный внутренний угол также равен 720 градусам, против 360 градусов у обычной евклидовой окружности. Все точки этой окружности находятся на одном и том же удалении от полюса.

Так же легко обнаружить, что на таких конических поверхностях возможны только локальные декартовы системы координат. В глобальной декартовой системе координат на поверхности имеется множество точек только с одной координатой. Непротиворечивой глобальной системой координат является полярная с центром на полюсе. В этой системе полярный угол изменяется в диапазоне от нуля до угла клина плюс 2π.


Инверсный куб


Мы отметили выше, что эквивалентом конуса является пирамида, являющаяся по сути "огранённым" конусом. Пирамида имеет несколько полюсов, в частности, три дополнительных полюса имеет тетраэдр. Но и тетраэдр в свою очередь можно рассматривать как фрагмент куба, который можно "собрать" из четырёх пирамид, подобных тетраэдру. Стороны треугольного основания таких пирамид больше его боковых рёбер, сторон в √2 раза.

С этой точки зрения куб можно определить как "огранённую" сферу. На сфере количество полюсов неограниченно, на кубе их ровно 8. Это относится, как можно заметить, к "конструкции" куба из восьми "трёхгранных конусов" с недостающим, дефицитным углом π/2 каждый. Логично предположить, что возможна и "инверсная" конструкция куба из соответствующих инверсных конусов рис.6. Для создания такого "инверсного" куба необходимо разместить на плоскости 4 инверсных конуса и добавить к ним сверху зеркальное отражение:


Рис.10.


На рис.10 темной штриховкой выделены добавленные фрагменты поверхности, те самые дополнительные углы π/2 каждый. Светлой штриховкой показаны фрагменты, вырезанные на исходной плоскости и повёрнутые ортогонально к ней. Полюса четырех исходных конусов, объединенных в общую поверхность, обозначены S1 - S4. Новые полюса инверсного куба обозначены S5 - S8.

Все открытые границы элементов на рисунке уходят в бесконечность. Полученную конструкцию можно назвать также кубом, вывернутым наизнанку. Как и обычный куб в евклидовом пространстве он имеет 8 вершин - полюсов S1 - S8, каждая из которых образована тремя рёбрами и тремя гранями. Как и на поверхности обычного куба, параллельный перенос вектора по замкнутому контуру вокруг четырёх вершин, полюсов инверсного куба не приводит к его повороту. Любая локальная бесконечная область поверхности инверсного куба, не содержащая полюс, является плоской в евклидовом смысле.


Заключение


Коническая поверхность имеет два принципиально различных вида: либо с вырезанным, дефицитным углом на сворачиваемой поверхности, либо с дополнительным углом, добавленным клином.

Конус можно считать "образующим элементом" ряда геометрических тел: цилиндра, куба, тетраэдра, многогранные пирамиды. Классический конус с дефицитным углом имеет один полюс, вершину. Цилиндр, как вариация конуса, полюсов не имеет. Тетраэдр имеет 4 полюса, а куб - 8 полюсов. Большее число полюсов имеют многогранные пирамиды и тела.

Конус с дополнительным углом, названный инверсным конусом, также позволяет формировать соответствующие инверсные геометрические тела, например, инверсный куб, куб "вывернутый наизнанку".

На всех конических поверхностях постулаты Евклида выполняются только локально, если область не содержит внутри себя полюсов. Поверхности допускают только локальные декартовы системы координат.

Традиционная модель параллельного переноса вектора является противоречивой. В искривлённом пространстве параллельный перенос невозможен в принципе. Эквиугловой перенос, то есть, перенос с сохранением угла относительно линии переноса, при этом может происходить как с поворотом, так и без поворота вектора.


Литература


1. Carroll S. Spacetime and geometry. An Introduction to General Relativity. University of Chicago, Copyright No 2004 Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley, ISBN 0-8053-8732-3

2. Carroll S.M. Lecture Notes on General Relativity, arXiv:gr-qc/9712019v1 3 Dec 1997

3. Бергман П. Загадка гравитации \\Перевод с английского В.А.Угарова. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969

4. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация, т.1-3. - М.: "Мир", 1977

5. Фейнман Р.Ф., Мориниго Ф.Б., Вагнер У.Г. Фейнмановские лекции по гравитации. \\ Под редакцией Б.Хатфилда. Введение Дж.Прескилла и К.С.Торна. Пер. с анг. д.ф.-м.н. А.Ф.Захарова, Москва, "Янус-К", 2000

6. Путенихин П.В. Парадокс близнецов в специальной, общей и тахионной теориях относительности. -- Саратов: "АМИРИТ", 2019. - 230 с., илл.

7. Путенихин П.В. Логические основания многомерных пространств. -- Саратов: "АМИРИТ", 2018. - 396 с., цв. илл.


http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/cone.shtml

http://lit.lib.ru/p/putenihin_p_w/cone.shtml

14.08 - 26.09.2021