# Перенос вектора на поверхности отрицательной кривизны. Диск Пуанкаре

Петр Васильевич Путенихин

Демонстрационные иллюстрации параллельного переноса вектора на поверхностях отрицательной кривизны Лобачевского в общедоступной литературе отсутствуют. Такая иллюстрация на примере диска Пуанкаре приведена в данной работе. Подчёркнуто, что параллельный перенос в искривлённом пространстве невозможен в принципе, возможен только эквиугловой перенос - с сохранением угла вектора относительно траектории переноса. Описан способ построения на таком диске геодезических, проходящих через две произвольные точки. Приведено доказательство корректности такого построения, доказательство того, что все окружности, проходящие через инверсные точки пересекают абсолют диска ортогонально. В общедоступной литературе такое доказательство не найдено.

There are no demonstration illustrations of the parallel transfer of a vector on surfaces of negative curvature of Lobachevsky in the public literature. Such an illustration using the Poincaré disk as an example is given in this work. It is emphasized that parallel transfer in curved space is impossible in principle, only equi-angle transfer is possible - while maintaining the angle of the vector relative to the transfer trajectory. A method for constructing on such a disk geodesics passing through two arbitrary points is described. A proof of the correctness of such a metode is given, a proof that all circles passing through "inverse points" intersect the absolute of the disk orthogonally. In the publicly available literature such proof has been foundlos.

Оглавление

Перенос вектора на диске Пуанкаре

Построение геодезической на диске Пуанкаре

Доказательство

Иллюзии кривизны

Литература


Ключевые слова: пространство отрицательной кривизны, эквиугловой перенос вектора, инверсные точки, диск Пуанкаре, абсолют, геодезическая, наикратчайшая, касательная, ортогональная окружность, ось центров, проекционная ось


Можно заметить, что параллельный перенос векторов на искривлённых поверхностях в литературе демонстрируется исключительно на сферических поверхностях, на сферах, поверхностях положительной кривизны. О параллельном переносе векторов в пространстве отрицательной кривизны, на плоскостях Лобачевского не удалось найти даже упоминаний. Вместе с тем, несомненно, описанные правила переноса и на таких поверхностях приведут к такому же эффекту: вектор вернётся в исходную точку с поворотом. Как и в пространствах положительной кривизны, на сфере, прямые линии на поверхностях отрицательной кривизны также заменяются на кратчайшие линии, на геодезические:

"... нужно только заменить понятия прямых (кратчайших линий в мире Евклида) на геодезические линии (экстремальные кривые) на гиперповерхности" [3, с.13].

"... в геометрии Лобачевского "прямая" понимается как кратчайшая линия - линия, расстояние вдоль которой между двумя точками, ей принадлежащими, является наименьшим. Понятие параллельности двух прямых подразумевает лишь их непересечение и не вбирает в себя свойство эквидистантности (равноотстояния) двух параллельных прямых" [10, с.228].

Как и геометрия пространств положительной кривизны, геометрия Лобачевского возникла в результате отказа от 5-го постулата Евклида, постулата о параллельности.

"В геометрии Лобачевского в плоскости через точку C вне данной прямой AB проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих AB" [8].

При этом выделяются две особые "параллельные", названные равнобежными, асимптотически параллельными или просто параллельными. Буквально: это параллельные прямые в одну или другую стороны указанной прямой AB от точки C. Отметим, что название "параллельные" в любой комбинации в данном случае является условным. Как и на сфере, в пространстве отрицательной кривизны это понятие некорректно, а все "прямые" являются "наикратчайшими" кривыми линиями, геодезическими. Как и в любом искривлённом пространстве геодезические в пространстве отрицательной кривизны не являются эквидистантными.

Однако, в некоторых источниках из описанных линий, геодезических параллельным считаются только две граничные прямые - равнобежные, остальные, которых бесконечное число, названы сверхпараллельными, ультрапараллельными или расходящимися:

"Прямые, проходящие через точку ... , не пересекающие и не параллельные прямой ... , называются сверхпараллельными по отношению к прямой ..." [9].

Геометрию Лобачевского можно реализовать на обычной евклидовой плоскости, например, на так называемом диске Пуанкаре. Граница круга, диска Пуанкаре, окружность называется абсолютом и диску не принадлежит:

"Параллельными в смысле Лобачевского называются прямые, имеющие общую точку на абсолюте" [1].

В отличие от сферических пространств, пространства Лобачевского могут быть представлены в виде разнообразных геометрических тел: псевдосфера Бельтрами [7], катеноид, поверхность Куена [6] и другие [10]. Основой всех этих тел, их поверхностей является некие абстрактные поверхности постоянной отрицательной кривизны:

"Геометрия плоскости Лобачевского реализуется на поверхностях постоянной отрицательной кривизны в следующем смысле. Односвязный кусок такой поверхности всегда можно взаимно однозначно отобразить на кусок плоскости Лобачевского с сохранением длин всех кривых, углов между ними, площадей всех фигур и т.д. Геодезические линии поверхности отображаются при этом в прямые плоскости Лобачевского" [13, с.407].

Звучит несколько странно, поскольку поверхность, пространство Лобачевского по определению и является такой поверхностью. Правда, реальной, физической поверхности Лобачевского постоянной отрицательной кривизны не существует. Не существует полной и регулярной поверхности, внутренняя геометрия которой представляла бы геометрию полного пространства Лобачевского, поверхности постоянной отрицательной кривизны:

"не удаётся с помощью ни одной из известных до сих пор поверхностей постоянной отрицательной кривизны осуществить целиком всю плоскость Лобачевского" [4, с.304]

"не существует аналитической поверхности постоянной отрицательной кривизны, не имеющей нигде особенностей и повсюду регулярной" ... "на ... вопрос о том, можно ли ... осуществить в евклидовом пространстве на некоторой регулярной аналитической поверхности всю плоскость Лобачевского, надо ответить отрицательно"" [4, с.311].

Обратим внимание, что двухмерная поверхность Лобачевского подразумевается находящейся в евклидовом пространстве, в трёхмерном пространстве погружения E3. Специфические свойства пространства Лобачевского создают трудности для формирования декартовой координатной сетки, которая, по сути, может быть образована только эквидистантными прямыми. Как следствие, не вполне ясно, как задать на такой поверхности координаты точек. Также странным свойством поверхности Лобачевского является и то, что прямые, параллельные данной, не параллельны между собой.

С другой стороны, определённую трудность представляет и построение геодезических даже в демонстрационных целях. Видимо, по этой причине примеры параллельного переноса векторов на поверхности отрицательной кривизны в литературе, в доступных источниках нам не встретились. Кривизна пространств Лобачевского определяется либо по сумме углов треугольника, меньшей 180 градусов, либо по "параллельному" движению муравьёв на такой поверхности, в процессе которого расстояние между ними возрастает.

Создадим иллюстрацию "параллельного" переноса вектора на плоскости Лобачевского, используя модель диска Пуанкаре и рассуждения Пенроуза о гравюрах Эшера. В этом процессе мы будем опираться на известные три положения, приняв их в качестве постулатов. Первое: в модели Пуанкаре на диске все прямые Лобачевского являются дугами окружностей; второе: эти дуги, прямые линии, геодезические касаются границы круга (абсолюта) под прямыми углами; третье: через любые две точки на диске можно провести единственную прямую линию Лобачевского, наикратчайшую, геодезическую.

При этом мы всегда помним, что никакого параллельного, в традиционном смысле этого слова, переноса на плоскости Лобачевского, в том числе в модели Пуанкаре, быть не может, поэтому, как и на поверхности сферы, мы будем производить эквиугловой перенос векторов.


Перенос вектора на диске Пуанкаре


Сформируем на диске Пуанкаре треугольную траекторию, задав три вершины, две из которых расположим для удобства на диаметре диска.


Рис.1. Перенос вектора по поверхности отрицательной кривизны, в пространстве Лобачевского на диске Пуанкаре. Начальный вектор из точки A перенесён по замкнутому контуру, гиперболическому треугольнику ABC в исходную точку. После переноса вектор изменил своё направление. На боковых сторонах треугольника векторы показаны условно, укороченными.


Начальное положение вектора - точка A. При движении по первой стороне гиперболического треугольника AB вектор визуально искривляется и меняет своё направление вдоль соответствующей этому месту геодезической. Однако в каждой точке переноса он ортогонален к этой стороне треугольника.

Перейдя на сторону BC треугольника, вектор продолжает перемещение, по-прежнему сохраняя угол по отношению к этой стороне - эквиугловое перемещение. Чтобы не затенять рисунок во всех последующих положениях вектора мы изобразили его слегка укороченным.

В точке C вектор переходит теперь уже на сторону CA, сохраняя угол с нею при движении по этой стороне.

В результате, вернувшись в исходную точку A, вектор оказался повёрнутым по отношению к своему исходному направлению. Отметим, что при движении по сферической поверхности, пространству положительной кривизны вектор в конечной точке совершает небольшой поворот в направлении обхода контура. Напротив, при движении по замкнутому контуру на поверхности Лобачевского, в пространстве отрицательной кривизны вектор совершает небольшой поворот против направления обхода, вращения.


Построение геодезической на диске Пуанкаре


При рассмотрении переноса вектора на диске Пуанкаре, для построения геодезических мы использовали процедуру [2], найденную в интернете. Процедура представлена как последовательность геометрических построений с линейкой и циркулем. Доказательства корректности действий там не приведены. Хотя визуально решение явно верное, мы всё-таки попытались найти в литературе его строгое доказательство. Однако достаточно тщательные поиски в интернете результата не принесли. В просмотренных десятках учебников и статей по геометрии также не удалось найти такого доказательства. Встречались лишь достаточно редкие упоминания ортогонально пересекающихся окружностей. Возможно, приведённое далее наше доказательство в открытой печати является уникальным, первым и единственным.

Кратко содержание задачи можно сформулировать следующим образом. Задан диск Пуанкаре (окружность, A с центром в точке A и радиусом R), являющийся, по сути, эквивалентом, симуляцией пространства отрицательной кривизны Лобачевского, и две точки B и P внутри диска. Нужно провести через эти две точки геодезическую, наикратчайшую линию между ними - окружность, ортогональную к окружности A. Напомним, что ортогональным пересечением окружностей является такое, при котором в точке их пересечения касательные к ним и их радиусы перпендикулярны друг другу. Простейшим случаем построения является проведение ортогональной окружности, геодезической через единственную точку B внутри диска. Поэтому проведение геодезической через две точки можно произвести простым подбором: нужно строить разные геодезические через первую точку так долго, пока одна из них всё-таки не пройдёт через вторую заданную точки.

Способ построения геодезической через одну точку на диске достаточно прост. Необходимо через произвольную точку на окружности, абсолюте диска Пуанкаре провести радиус и перпендикуляр к нему, касательную к окружности. Пересечение касательной и перпендикуляра, восстановленного к середине центра хорды, проходящей через эту и заданную первую точку, будет центром искомой окружности.

На следующем рисунке построены несколько таких окружностей - геодезических, одна из которых вследствие подбора наконец-то прошла и через вторую заданную нами точку P. В процессе построения геодезических замечаем интересные свойства диска Пуанкаре. Во-первых, все без исключения построенные геодезические, окружности, проходящие через заданную точку B, проходят также и ещё через одну точку, точку C; обе точки называют инверсными. Это обстоятельство без доказательств отмечает, в частности, Кокетер:

"Через пару инверсных точек можно провести целый пучок окружностей (бесконечно много), и все они ортогональны к окружности инверсии" [5, с.126].

Во-вторых, как прямое следствие этого, буквально, по определению, по построению, центры всех этих окружностей, геодезических находятся на одной линии, на перпендикуляре к центру линии, соединяющей эти две точки B и C.


Рис.2. На линии AE выбираем центр окружности A и произвольную точку B. Выбираем на окружности произвольную точку F, проводим через неё радиус R и перпендикулярно к нему - касатель-ную. Соединяем выбранную произвольную точку F с точкой B и проводим к центру линии перпендикуляр до пересечения с касательной. Полученную точку f используем как центр для построения окружности, проходящей через точку касания. Повторяем процедуру ещё для нескольких произвольных точек. В результате получаем центры окружностей a, b, f, e, g, K. Замечаем, что все окружности, проходящие через соответствующие им точки касательных и, следовательно, ортогональные к базовой окружности с центром в A и радиусом R, проходят также через точки B и С. Центры всех этих окружностей расположены на одной вертикальной линии ag - линии центров. Центры хорд этих ортогональных окружностей расположились на одной окружности, радиус которой равен половине радиуса диска Пуанкаре, а центр расположен на середине отрезка, соединяющего заданную первую точку B и центр A диска Пуанкаре.


Действительно, рассмотрим произвольную точку M на окружности A, на абсолюте диска Пуанкаре. Проведём хорду MB и обозначим её середину буквой N. Как мы показали, перпендикуляр к этой точке пересекает линию центров, создавая центр ортогональной окружности. Соединим точку M с точкой O - серединой отрезка s = AB. Рассмотрев треугольник AMB, замечаем, что линия NO = r параллельна линии AM = R. Из этого сразу же следует, что ON = r = R/2:


Рис.3. Все окружности, проходящие через соответствующие им точки касательных, например, М и, следовательно, ортогональные к базовой окружности с центром в A и радиусом R, проходят также через точки B и С. Центры всех этих окружностей, в частности, окружности AM, расположены на одной вертикальной линии Gf в центре BC - линии центров. Центры хорд этих ортогональных окружностей, например, MB располагаются на одной окружности, радиус которой равен половине радиуса R диска Пуанкаре, а центр расположен на середине отрезка, соединяющего центр A диска Пуанкаре и заданную первую точку B, определяемую уравнением AB × AC = R2.


Наконец, последней, четвертой обнаруженной особенностью проведённых построений явилось то, что полученные точки B и C отвечают известному в геометрии соотношению подобных треугольников: квадрат радиуса диска равен произведению отрезков AB и AC. Сначала отметим, что среди всех окружностей, проходящих через точки B и C, согласно нашим построениям можно выделить, по меньшей мере, четыре специфические окружности:

1. Окружность, ортогональная к базовой, к абсолюту диска A в точке F. Центр этой самой большой окружности находится в бесконечности: r = ∞. Сама окружность в области этих точек вырождается в прямую линию и проходит через центр A базовой окружности - диска Пуанкаре.

2. Очевидно, что существует также и ортогональная окружность минимального радиуса: r = d, проходящая через заданную точку B.

3. Также существует и ещё одна, довольно загадочная ортогональная окружность: окружность, имеющая радиус диска R. Центр этой окружности не лежит на оси центров и сама окружность не проходит через точки B и С. Она ортогональна к границе окружности, абсолюту диска Пуанкаре в его верхней части; её можно называть "смещённым двойником" другой окружности с радиусом s+d, также ортогональной в этой точке.

4. Ортогональную окружность, проходящую через точку D, благодаря её специфическим свойствам, можно назвать главной. Рассмотрим треугольник ADC. Построен он следующим образом. Из заданной нами исходной точки B восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с кругом Пуанкаре. В точке пересечения строим касательную к кругу до пересечения линии AB. Точку пересечения обозначаем как C - является той самой инверсной точкой вне диска, которая использовалась в предыдущих рассуждениях. Полученный треугольник ABC формирует известное интересное соотношение для инверсных точек.

Покажем это, для чего рассмотрим два подобных треугольника ADC и ADB. Треугольники подобны, поскольку оба прямоугольные и имеют одинаковые углы - общий угол A. Из подобия треугольников следует:


Перепишем уравнение согласно нашим обозначениям


Как видим, известное уравнение для инверсных точек (1) является тривиальным следствием подобия треугольников, причём для вывода этого уравнения никакая окружность и не нужна. Вместе с тем, обнаруженные нами особенности инверсных точек, строго говоря, являются визуальными. То, что все окружности, ортогональные к абсолюту диска Пуанкаре проходят также и через инверсные точки, прямо ни из чего не следует. Это просто наблюдательный факт, который, очевидно, имеет определённые погрешности сопутствующих построений. Хотя интуитивно мы предполагаем справедливость этих соотношений, что, действительно, все ортогональные окружности обладают описанными свойствами, нам следует всё-таки привести строгое математическое доказательство справедливости этих соотношений.


Доказательство


Для доказательства определим исходные данные.

Задан диск (окружность A; далее окружности для краткости будем именовать буквами их центров) радиуса R. На некоторой линии, проходящей через центр окружности, отложим отрезок s, означающий расстояние некоторой точки B от центра A. Через эту точку мы хотим провести геодезическую, пока произвольную. Геодезическая на диске - это дуга окружности, ортогональная к окружности A.

Восстановим из точки B перпендикуляр до пересечения с окружностью A в точке D и проведём к ней в этой точке касательную. Точку пересечения касательной с линией AB обозначим как C. Эта точка является инверсной к точке B согласно уравнению (1).


Рис.4. Задан диск радиуса R. На некоторой линии, проходящей через центр окружности A, отложен отрезок AB. Из точки B восстановлен перпендикуляр до пересечения с окружностью A в точке D и проведена к ней касательная. Точка пересечения касательной с линией AB обозначена как C. Эта точка является инверсной к точке B и отвечает уравнению AB × AC = R2.


Восстановим перпендикуляры к середине отрезка BC и середине отрезка BD. Перпендикуляр, проходящий через середину отрезка BC, обозначим буквой F и назовём осью центров ортогональных окружностей. Для краткости обозначим буквой d отрезки BF = FC = d.

Два указанных перпендикуляра пересекутся в точке, обозначенной буквой K. Согласно построению - эта точка является центром окружности, проходящей через точки B, C и D. Окружность по определению ортогональна абсолюту, границе диска, окружности A.

Таким образом, мы произвели построения, соответствующие уравнению (1) и получили одну из окружностей, подтверждающую сделанные ранее наблюдения. Однако согласно этим наблюдениям, через единственную точку B в окружности A мы можем провести любое число окружностей, ортогональных к A. Проверим, возможно ли это при точных построениях.

Выберем одну из таких окружностей, проходящих через произвольную точку E. Положение этой точки определим следующим образом. Проведём под углом φ радиус, обозначив его конец выбранной точкой E. Проведём в этой точке касательную к окружности A.


Рис.5. Необходимо доказать, что при условии AB × AC = R2 ортогональная к окружности AE произвольная окружность EH проходит как через точку E пересечения радиусов, так и через инверсные точки B и C. Необходимым и достаточным условием этого является равенство x = r.


По определению центр ортогональной окружности будет лежать на этой касательной и одновременно на оси центров. Точку пересечения этих двух линий обозначим H. Радиус этой ортогональной окружности EH обозначим буквой r.

Из точки H проводим окружность радиусом EH = r. В проведённом обзоре мы заметили, что эта окружность, видимо, пройдёт и через две точки B и C, определяемые уравнением (1). Однако эти построения всё-таки приблизительные, при них возможны погрешности, поэтому мы не можем утверждать, что это действительно так. Поскольку это пока не доказано, дополнительный радиус HB, который по построению равен также и радиусу HC, обозначим через x как неизвестный.

В самом деле, нам достоверно известны центр окружности H и её радиус EH = r. Но ни из чего не следует, что эта окружность пройдёт точно через точку B. Если бы окружность радиусом r = EH прошла через эту точку, то длина отрезка x была бы равна радиусу r. Это безусловно так, поскольку любой отрезок длиной r и находящийся одним концом в центре H окружности, другим концом обязательно будет находиться на этой окружности. Следовательно, необходимо доказать, что x = r: это равенство является необходимым и достаточным условием того, что все ортогональные к A окружности, проходящие через точку E, обязательно проходят также и через инверсные точки B и С.

Для доказательства изменим рисунок, оставив на нём только необходимые элементы. Также добавим на него три проекционные оси O1, O2 и O3, которые в дальнейшем позволят геометрически наглядно продемонстрировать смысл соотношений, полученных аналитически.


Рис.6. Доказано: ортогональная к диску AE произвольная окружность EH при условии AB × AC = R2 проходит как через точку E пересечения радиусов, так и через инверсные точки B и C.


Сразу отметим причину равенства трёх углов φ на рисунке. Углы EHO и DGO равны, поскольку параллельны их стороны. Угол EAB равен этим углам, поскольку их стороны ортогональны. Далее, для определения длин сторон образовавшегося треугольника AEF, используя (2), вычислим некоторые вспомогательные параметры


Длину короткой стороны прямоугольного треугольника, катета EF определим так


Гипотенузу AF, соответственно, таким образом


Также гипотенузу мы можем вычислить и из линейных соотношений в треугольниках


Подставляем определённые ранее величины


Сделаем в этом уравнении с учетом (4) еще одну подстановку


Теперь с учетом (5) и (4) определим искомый радиус x


Из этих соотношений находим


На рисунке величины, входящие в уравнение, наглядно показаны в виде проекций на ось O1. Ось проведена ортогонально главной оси AC, поэтому углы φ относительно неё определяются однозначно. Исследуем треугольники далее и находим ещё одно соотношение


Рассмотрим ещё одну проекционную ось O2, которая явно демонстрирует справедливость этого уравнения. Ось параллельна главной оси AC, поэтому, как и выше, углы φ относительно неё определяются однозначно. Далее производим тривиальные алгебраические преобразования над этими уравнениями, системой из двух уравнений


Переносим влево слагаемые, содержащие радиус r ортогональной окружности:


Возводим каждое из уравнений в квадрат и суммируем их, удаляя знак системы


Сумму слева сворачиваем, учитывая сумму квадратов синуса и косинуса. Переносим величину c2 влево. Раскрываем первые скобки


Появившуюся величину d2 также переносим влево, на сторону квадратов c2 и r2. Собираем подобные члены, свернув слагаемые c квадратом R2, обнаружив сумму квадратов синуса и косинуса


Согласно первой строке уравнений (6) заменяем слева сумму квадратов c2+d2 на квадрат длины неизвестного радиуса x2 = r2


Раскрываем оставшиеся скобки и преобразуем


Подставляем из первой строки уравнений (3) и раскрываем скобки:


Опускаем перпендикуляр из точки G на радиус R. Находим значения в уравнении, эквивалентные длинам отрезков в образовавшемся треугольнике. Подставляем в уравнение:


Сумма отрезков в скобках равна радиусу R. Это наглядно показано в проекциях на ось O3. Эта проекционная ось O3 параллельна радиусу AE, поэтому и здесь углы φ в уравнении относительно неё определяются однозначно. Подставляем в уравнение значения отрезков и находим, что длина неизвестного радиуса равна радиусу ортогональной окружности:


Тем самым доказано, что окружность H радиусом EH = r проходит также и через инверсные точки B и C. Поскольку на угол φ мы не накладывали никаких условий, все эти выкладки относятся к любому его значению. Поэтому следует считать доказанным, что все окружности, ортогональные к окружности A, проходят также и через две инверсные точки B и C, сформированные на основе уравнения AB × AC = R2 (1) и уравнений (2) и (3).

Полученное решение даёт возможность провести геодезическую на диске Пуанкаре через любые две точки. Опишем пошагово метод построения такое геодезической. Для удобства точкам присвоим выбранные выше названия.

1. На диске Пуанкаре проводим линию из центра A через первую из двух произвольных точек, точку B.

2. Восстанавливаем перпендикуляр к этой первой точке B искомой геодезической до пересечения с окружностью, абсолютом диска Пуанкаре в точке E.

3. Проводим касательную в точке E до пересечения с линией AB. Точка пересечения C является инверсией точки B и одновременно точкой всех возможных ортогональных окружностей.

4. Проводим в диске хорду между первой точкой B и второй точкой P искомой геодезической.

5. Восстанавливаем перпендикуляры к центрам хорды BP и отрезка BC. Линия пересечения перпендикуляров является центром искомой ортогональной к A окружности.


Иллюзии кривизны


Следует различать пространство и геометрический объект. Пространство характеризуется измерениями и координатной сеткой, а объект - своими геометрическими размерами внутри пространства, в его координатной сетке. Кривизна пространства отличается от кривизны объекта, кривизна поверхности которого определяется внешним взглядом. Кривизна пространства с точки зрения его обитателей, внутренняя определяется тем, какую координатную сетку в нём нанести. Отождествление пространства и объекта ведёт к тому, что реально плоское пространство может быть диагностировано как искривлённое [11, 12].


16.10 - 05.11.2021


Литература

1. Aникин Е. Модели геометрии Лобачевского, URL: https://elementy.ru/problems/1333

2. Алгебраические решения для дисков Пуанкаре, URL: https://answer-id.com/ru/70271158

3. Владимиров Ю.С. Классическая теория гравитации: Учебное пособие. -- М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009, 264 с.

4. Гильберт Д. "Основания геометрии", пер. с 7-го немецкого издания И.С.Градштейна, Москва - Ленинград, ОГИЗ, Гос. изд. тех.-теор. лит-ры, 1948 г.

5. Кокcтеp Г.С.М. Введение в геометрию. - М.: Наука, 1966 г., 648 стр. с илл.

6. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М., Аналитические поверхности: материалы по геометрии 500 поверхностей и информация к расчету на прочность тонких оболочек, Наука, 2006 г.

7. Псевдосфера, URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Псевдосфера

8. Параллельные прямые, Википедия, URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Параллельные_прямые

9. Параллельные прямые, Математический справочник, URL: http://dict.scask.ru/index.php?id=1177

10. Попов А.Г. Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики, МГУ им. М. В. Ломоносова, Фундаментальная и прикладная математика,

2005, том 11, N 1, с. 227--239. No 2005, Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом "Открытые системы"

11. Путенихин П.В. Логические основания многомерных пространств. -- Саратов: "АМИРИТ", 2018. - 396 с., цв. илл., ISBN 978-5-907035-29-4, URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=42690781

12. Путенихин П.В. Иллюзия кривизны (проект). Самиздат, URL: http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/illusio.shtml

13. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. - М.-Л., ГИТТЛ, 1950