Аннотация: Книга о том, как мы понимаем и интерпретируем мир, и как в этом процессе участвует математика. Через переосмысление основ мы можем глубже понять суть математики, ее возможности и ограничения.
Книга о том, как мы понимаем и интерпретируем мир, и как в этом процессе участвует математика. Через переосмысление основ мы можем глубже понять суть математики, ее возможности и ограничения. Книга направлена на осознание трех ключевых моментов. Во-первых, автор демонстрирует, что в основе любого раздела математики лежит простая концепция. Во-вторых, несмотря на широкую область применения и огромный потенциал для расширения наших знаний, математика не является всесильной. Есть пределы возможностей, границы того, что математика может объяснить или предсказать.
В-третьих, математика является продуктом человеческого сознания. Она возникла из нашего стремления понять и объяснить мир вокруг нас. В этом смысле математика так же много говорит о нас, как и о мире.
Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук профессору Игорю Васильевичу Коннову, профессору математики Ракибу Эфендиеву, доктору наук Александру Яновичу Буринскому, доктору физико-математических наук Юрию Андреевичу Щекинову, доктору физико-математических наук Семену Ароновичу Пустильнику, математикам консультантам - докторам, кандидатам наук и аспирантам Вячеславу Уточкину, Эдгару Лакалину, Евгению Белановичу, Руслану Оспанову, Андрею Чиркову, Павлу Жердеву, Виктору Оськину, Олегу Полякову, Сержу Хазанову и особую благодарность Алексии Фокс и её ученому коту Лаку породы Мейн-кун
ВЕРОЯТНОСТИ - ПОЧЕМУ ТАК ЧАСТО МЫ ПОПАДАЕМ ПАЛЬЦЕМ В НЕБО?. 351
ТЕОРИЯ ИГР - КАК НЕ ЗАИГРАТЬСЯ?. 374
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ - ОБМАН?. 392
ФИЛОСОФИЯ КРИПТОГРАФИИ.. 413
ФИЛОСОФИЯ КРИПТОВАЛЮТ. 434
МАТЕМАТИКА И ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ. 443
БЛЕСК И НИЩЕТА МАТЕМАТИКИ.. 457
О ЧЕМ ЭТА КНИГА?
Среди людей весьма распространено явление, заключающееся в острой потребности продемонстрировать то, что они считают своей выигрышной стороной и представить себя в особом свете, несмотря на реальность. Мы именуем эту потребность простым обидным словом - показуха. Она приводит к созданию иллюзии о совершенстве и идеальности, которые не соответствуют действительности. Именно в этом люди и преуспели лучше всего.
Они не стали мудрее и культурнее, чем в темные века, а лишь научились делать вид, что стали таковыми. Посмотрите, как легко звериная сущность выскакивает наружу из человека!
Также существует опасность того, что некоторые готовы идти на множество уловок, чтобы достичь своих показушных целей, даже если это приведет к вреду для себя и окружающих.
К сожалению, многие из этих проблем остаются незамеченными и неосознанными людьми, которые продолжают действовать в том же духе, не задумываясь о том, какие могут быть последствия.
Математика - это неотъемлемая часть нашего цивилизованного существования, и она используется во многих областях жизни, начиная от физики и заканчивая экономикой. Именно математика и статистика лежит в основе практически всех современных манипуляций, в основе глобальной показухи. Однако, не все, что связано с математикой, необходимо и действительно. Большая часть понятий - конструкты несовершенного человеческого сознания, притянутые за уши доказательства и туманные рассуждения о, казалось бы, очевидных вещах. Математике всегда не хватало здравого смысла, как впрочем и человечеству в целом.
Существует много понятий и терминов в математике, которые могут показаться бесполезными и не имеющими реальной ценности. Например, существуют математические концепции, которые на первый взгляд кажутся бесполезными, но при более глубоком изучении становятся необходимыми для решения сложных проблем, которые в свою очередь оказываются излишними и столь же иллюзорно-ничтожными, как и предпосылки их побудившие. Истинные же проблемы не осознаются, не замечаются и не решаются. Математика повсюду, однако, многие её понятия остаются лишь символическими и не имеют никакого реального применения. Более того, не имеют достаточного основания считаться чем-либо большим, чем продукт человеческого воображения.
Также в математике существует много формальных правил и норм, которые могут казаться бесполезными или даже ненужными. Например, некоторые правила, связанные с доказательствами теорем, могут показаться излишними и сложными, однако, они являются необходимыми для того, чтобы убедительно доказать правильность теорем, основы которых могут быть недоказуемыми внутри самой системы.
Наконец, существуют некоторые абстрактные и сложные концепции, которые могут быть использованы для создания иллюзии знания и превосходства. Такой подход может привести к недостаточному пониманию и неверному использованию математических концепций.
Важно понимать, что не всё в математике является действительно необходимым. Важно различать то, что необходимо для решения реальных проблем, и то, что является просто символическими формальностями или проявлением показухи. Отсутствие такого понимания может привести к недостаточному использованию математических знаний и созданию иллюзии знания.
Математическая показуха начинается с первого класса и уже не заканчивается никогда. Чему учили нас? Чему мы учим наших детей? Такое обучение лежит в основе повсеместного оболванивания человечества, ибо никогда не достигает сути ограничений человеческого сознания, воспитывает иллюзию всемогущества математики и ее непогрешимости.
Приступив к труду над данной книгой, мы объединили наши силы,
созвав экспертов из разных областей математики, физики, космологии, экономики, философии и даже биологии и права.
Мы верим, что такой междисциплинарный подход поможет нам глубже понять сущность математики, её значение в науках и жизни в целом.
Наша цель заключается в том, чтобы помочь читателям понять
фундаментальные принципы, на которых базируются наши знания,
а также показать, как они применяются в различных областях науки и жизни, чтобы раскрыть их значение и место в научных теориях и на практике.
Наша команда консультантов объединяется широтой интересов и желанием обсуждать и переосмысливать истины, которые стали настолько привычными, что их обсуждение вызывает у некоторых лишь кривые усмешки. Однако мы пришли к выводу, что всё далеко не так просто, как кажется, даже в отношении самых фундаментальных вещей. Главным инструментом написания этой книги стали открытые дискуссии. Мы не имели никаких предварительных мнений, гипотез, теорий или выводов, поэтому книга ставит вопросы и пытается найти на них ответы.
У этой книги есть три цели. Первая из них - показать, что любой раздел математики берёт источник в чем-то простом. Несмотря на то, что математика может быть очень сложной, она всегда имеет свою основу, которая в достаточной мере понятна. Сложность возникает только в процессе её развития. Это не очевидно для многих, кто сталкивался с математикой, даже для тех, кто её изучает. Такой подход поможет преодолеть оторванность математики от жизни.
Почему некоторые люди говорят, что математика относительна?
Потому что два математика, используя разные методы, могут получить разные результаты и при этом оба будут считать, что они правы, основываясь на неопровержимых доказательствах!
Эта шутка скорее относится к восприятию и пониманию математики, чем к ее самой природе. В математике существуют определенные законы и принципы, которые являются абсолютными и справедливыми для всех математиков. Например, математические формулы и теоремы имеют строгое доказательство и справедливы для всех, кто использует их правильно.
Однако, существует различие в подходах и методах, которые могут привести к различным результатам. Например, математики могут использовать различные методы и подходы для решения задач, которые могут привести к разным результатам. Также могут быть различия в интерпретации и применении математических концепций.
Таким образом, можно сказать, что восприятие и понимание математики может быть относительным, но сама математика имеет абсолютные законы и принципы, которые являются общепризнанными и справедливыми для всех.
Математические методы позволяют решать многие проблемы, которые ранее казались неразрешимыми. Однако, есть мнение, что математика не является столь универсальной наукой, как мы представляем её. Стоит выявить основные причины, которые могут приводить, в некоторой степени, к "развенчанию" математики.
Еще одним аспектом, который следует упомянуть, является ограниченность математических методов. Несмотря на все достижения в математике, она остается инструментом, который может применяться только для решения конкретных проблем. Однако многие важные вопросы в жизни, такие как этика, культура, искусство и религия, не поддаются формализации и не могут быть решены математическими методами. Нельзя использовать математику для ответа на вопросы о справедливости, эстетике или эмоциях. Кроме того, математика не способна ответить на вопросы, связанные с интуицией, творчеством и креативностью.
Третий аспект, который следует упомянуть, - это ограничения человеческого разума. Хотя математика занимает важное место в научных дисциплинах благодаря своей точности, строгости и универсальности, она не может стать абсолютной царицей наук даже в своей высочайшей форме.
Прежде всего, математика, хотя и является универсальным языком науки и техники, не является самостоятельным объектом исследования, поскольку ее методы и приемы применяются в других областях знания. Она является инструментом для решения различных задач в различных областях, таких как физика, экономика, биология и др.
Кроме того, математика ограничена в своих возможностях, поскольку она не может описать и объяснить полностью все явления в мире. Математика имеет свои сильные и слабые стороны, и не всегда она может применяться для изучения более сложных явлений, таких как социальные процессы, человеческое поведение или творческие процессы.
Кроме того, математика, как и любая научная дисциплина, неизбежно подвержена ограничениям и ошибкам. Несмотря на то, что математика строится на логических аксиомах и теоремах, существуют множество примеров ошибок, которые совершали и совершаются в этой области. Иногда даже незначительные ошибки в вычислениях могут привести к существенным последствиям.
Математика - это наука о количественных отношениях и пространственных формах. Каждый раздел математики, будь то алгебра, геометрия, теория чисел или дифференциальные уравнения, имеет свои основные понятия и принципы.
Когда изучающий математику начинает погружаться в какой-то из этих разделов, он может столкнуться с изначально сложными концепциями и трудными задачами. Однако, если продолжать углубляться, можно найти глубинное, фундаментальное понимание, которое в своей сути является простым и понятным.
Например, в алгебре существует сложное понятие алгебраической теории чисел, которая изучает свойства целых чисел. Но если изучающий продолжает глубже копать, он может наткнуться на простую и красивую теорему Ферма.
Утверждение о том, что любой раздел математики имеет в своей основе нечто очень простое, еще можно обосновать эволюцией человеческого знания от простого к сложному. История математики показывает, что многие разделы математики начинались с простых и элементарных концепций и постепенно развивались в более сложные теории. Например, арифметика начинается с изучения чисел и основных операций с ними, а затем развивается в более сложные области, такие как теория чисел и алгебра. Геометрия начинается с изучения форм и пространственных отношений, а затем развивается в теорию многомерных пространств и другие более сложные области.
Также можно отметить, что многие сложные теории и концепции в математике могут быть упрощены и выражены в более простых терминах. Например, доказательство сложной теоремы может быть сведено к простым логическим шагам или использованию основных математических принципов.
Таким образом, можно считать, что основа каждого раздела математики всегда связана с каким-то простым и основным понятием, которое затем развивается в более сложные теории и концепции.
Если мы даже возьмём самые отвлечённые области, такие как топология, изучающая свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. Использование дополнительного пространственного измерения, совершенно недоступное большинству людей, для того чтобы его не то, чтобы к чему-то применить, а просто вообразить. Но эти разработки всё равно основываются прежде всего на опыте из нашего пространства. Мы говорим о поверхностях и фигурах, которые мы встречаем ежедневно: бублики, чашки, прочие объекты, с которыми мы сталкиваемся постоянно. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии кружка и бублик (полноторий) неотличимы. Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии (упрощённо: это типы деформации, происходящие без разрывов и склеиваний).[1]
На этих примерах мы проиллюстрировали первую цель этой книги. Показать основы всех разделов математики, ведущие к очевидно объяснимым и привычным нам вещам.
Вторая цель - понять границы применения математики. Существует очень мощный миф о её всемогуществе и о том, что всё, что доказано математически, является истиной в высшей инстанции. Однако, множественные примеры показывают, что выводы приводят к заблуждениям.
Основной принцип научной идеологии заключается в том, что все явления природы и общества могут быть измерены и превращены в числа или математические объекты, и через математические манипуляции можно предсказывать и управлять ими. Кант утверждал, что каждая область знания является наукой в той степени, в которой в ней используется математика. Пуанкаре считал, что идеальная концепция науки должна быть математизирована. Математика играет важную роль в современном обществе, и исходя из этого, математики интересуются взаимосвязями между математикой и другими областями знания.[2]
Хотя математика является мощным инструментом для решения многих задач и имеет широкое применение в науке и технологии, она не является всемогущей.
Примеры ситуаций, когда математические модели не могут точно предсказать поведение системы, существуют во многих областях:
Проблема темной материи - математические модели предсказывают, что в галактиках должно быть больше материи, чем мы можем наблюдать. Однако пока не удалось обнаружить эту темную материю, и это приводит к вопросам о точности математических моделей.
Проблема темной энергии - математические модели предсказывают ускоряющееся расширение Вселенной, и чтобы объяснить это ускорение, необходимо предположить существование темной энергии. Однако природа этой темной энергии пока остается загадкой.
Проблема начала Вселенной - математические модели предполагают, что Вселенная началась с Большого взрыва. Однако до сих пор не удалось создать теорию, которая бы объединила гравитацию и квантовую механику и позволила бы объяснить, каким образом возникла Вселенная из ничего.
Теория струн является математической моделью, которая пытается объединить общую теорию относительности и квантовую механику. Однако, она не может быть проверена экспериментально, и некоторые физики сомневаются в её значимости.
Существуют границы на точность измерений в астрофизике, которые могут ограничивать точность математических моделей. Например, наличие шумов в данных и ограничения на точность измерительных приборов могут снижать точность и достоверность математических моделей.
Математические модели погоды и климата могут дать приблизительный прогноз, но точность таких прогнозов может быть существенно ограничена.
Математические модели в медицине могут оказаться неточными из-за недостатка данных или неверного понимания процессов, происходящих в человеческом организме.
В области машинного обучения и искусственного интеллекта математические модели могут быть очень эффективными, но они также могут привести к нежелательным результатам, если не учитываются социальные, культурные или этические аспекты.
Проблема трех тел: математический метод для решения этой проблемы не существует, так как он не является аналитически решаемой. Эта проблема состоит в определении движения трех тел, которые взаимодействуют друг с другом гравитационно.
Криптография: математические методы используются в криптографии для создания систем шифрования, которые должны быть надежными и невзламываемыми. Однако, существуют алгоритмы, которые, хотя и являются математически верными, но легко поддаются атакам при использовании в реальных системах шифрования.
Математические методы используются в финансовой математике для прогнозирования изменения цен на финансовых рынках и оценки рисков. Однако, даже самые точные модели могут содержать ошибки и привести к неожиданным результатам. Например, финансовый кризис 2008 года был вызван многими факторами, включая ошибки в моделях финансовой математики.
Эти примеры показывают, что математика не является единственным инструментом, необходимым для понимания мира. Она должна использоваться в сочетании с другими методами и учитывать не только точные данные, но и социальные, культурные и этические факторы, чтобы давать более полное представление о сложных системах.
И третья цель книги - философская - ответить на вопрос: насколько математика является продуктом нашего сознания, а насколько она находится вне зависимости от него и является неотъемлемой характеристикой окружающего мира. А именно так называемыми "вещами в себе". Это понятие в философской традиции обозначает явления и вещи, существующие независимо от человеческого познания и практики. В теоретической философии Канта термин "вещь в себе" употребляется в нескольких значениях. Во-первых, это понятие фиксирует наличие внешних возбудителей ощущений и представлений людей, являясь символом неосвоенной и непознанной части всеобщего объекта познания и практики. В качестве материальных объектов вещи в себе влияют на человеческую чувственность, побуждая ее к активности и появлению разных модификаций ее состояний, хотя при этом никакого процесса отражения не происходит. Во-вторых, вещь в себе - это любой в принципе непостижимый и непознаваемый предмет, выходящий за границы возможного опыта; понятие о нем ничего не обозначает, кроме того, что мы своим существованием онтологически, гносеологически и антропологически полагаем границы некой неведомой нам реальности. Существуют и дополнительные значения этого термина. Но они не касаются непосредственно нашей темы обсуждения.
Почему это важно? Дело в том, что мнение о математике как системе, существующей абсолютно независимо от человеческого сознания, приводит к закономерным ошибкам общего плана, к заведомо ложному представлению о вселенной, и философский анализ тех или иных разделов математики совершенно необходим для гармоничного развития человеческого знания.
Более того, философский анализ различных разделов математики может помочь нам лучше понимать ее основы и природу, а также выявлять и разрешать возможные противоречия. Например, рассмотрение оснований математики может привести к пониманию того, что все математические теории и доказательства основаны на определенных аксиомах, которые, в свою очередь, не могут быть доказаны. Это означает, что математика не является абсолютной истиной, а скорее инструментом для создания моделей и решения практических задач.
В области приложений математика также не может быть рассмотрена независимо от контекста, в котором она используется. Например, в анализе данных или в финансовых расчетах математика может быть применена с различными предположениями и ограничениями, которые могут привести к ошибочным выводам, если не будут учтены или будут неправильно интерпретированы.
Таким образом, философский анализ различных разделов математики является необходимым для полного понимания ее природы и гармоничного развития человеческого знания.
Поскольку математическая наука не стоит на месте. Необходимо время от времени проводить подобный философский анализ.
Одним из возможных аргументов против незыблемости основных математических принципов является тот факт, что мы можем представить себе альтернативную математику, которая будет основываться на других аксиомах, измерениях или даже на чем-то невообразимом. Предположим, что мы заснём, и нам приснится такая математика. Во время сна мы будем верить в её абсолютную истинность и реальность, потому что мы, обычно, не осознаём того, что находимся в состоянии сна. Однако, когда мы сталкиваемся с несоответствиями, то это может привести к пробуждению, и сознание начинает действовать. Таким образом, как можно убедиться, что текущая математика не является сном?
Идея о возможной альтернативной математике, основанной на других принципах, служит основанием для сомнений в незыблемости основных математических принципов. Однако, отсутствие доказательств, что наша математика является сном, не означает, что она действительно таковой. Математические методы являются эффективным инструментом для описания мира, и их результаты подтверждаются на практике. Кроме того, математика является общепризнанным языком для научных и инженерных дисциплин, и её результаты широко используются в нашей повседневной жизни. Таким образом, мы можем считать, что наша математика не является сном, несмотря на возможность альтернативных математических систем.
Cуществует экзистенциальный вопрос, связанный с тем, что у нас нет инструмента, подтверждающего реальность реальности, относительно наших снов. И, действительно, во сне некоторые вещи, некоторые законы, некоторые аксиомы могут оказаться другими. И у нас нет возможности доказать, что мир, в котором мы находимся, бодрствуя, является действительно миром бодрствования.
Одной из дополнительных целей книги "Развенчание математики" является критика выражения, которое гласит, что математика является царицей наук и имеет царственный венец всех наук, как утверждал Аристотель. Веками развивавшаяся математическая наука получила абсолютное главенство над другими науками, и многие полагают, что математика обладает абсолютными решениями на все вопросы. Эта идея возникла еще во времена Лейбница, Ньютона и других математиков, которые развивали математическую науку и считали, что наука, в которую можно ввести математический аппарат, гораздо более объективна и верна, чем наука, где такой аппарат не может быть использован.
Воспринимая математику как мать науки, становится понятно, что она выступает в роли строгой мачехи. Каждое ее слово пропитано желанием довести до совершенства своих подопечных чад - математических формул и конструкций. Она ждет безукоризненности от своих приемных детей и не прощает ошибок. Ее стандарты настолько высоки, что даже малейшая неточность или противоречие могут привести к отказу в дальнейшем развитии.
Суровая математическая мачеха, считавшаяся строгой и непримиримой, не заметила, как ее пасынки и падчерицы принялись мстить ей. Неполнота и недоказуемость, замкнувшись вокруг ее творений тесными удавками, напоминали ей о том, что никакая строгость не спасет от недостатков, что даже самые тщательно продуманные формулы могут оказаться неполными. Она постигла, что ее приемные дети, которых она так жестоко воспитывала, обрели свою самостоятельность и способность восстать, и теперь она не может контролировать все их шаги. Возможно, это был лучший урок для мачехи-матемачихи - урок о том, что в мире нет ничего абсолютно совершенного, и что недостатки и ошибки являются неотъемлемой частью человеческого бытия.
Некоторые науки не могут быть эффективно изучены при помощи математического аппарата, хотя попытки внедрения его происходят во все науки. Например, теология может быть рассмотрена с математической точки зрения, используя понятие "триединого бога", где один плюс один, плюс один, равно одному. В книге "Конфликты" автор анализирует Евангелие с математической точки зрения, используя различные притчи, где встречаются цифры, такие как притча о талантах и притча о работниках, получивших один денарий, независимо от того, сколько времени они работали.
Фактически, Евангелие нарушает обычную математику, как в случае с притчей о работниках, где независимо от длительности работы, каждый работник получает один денарий. Это противоречит обычной математической логике, где оплата зависит от продолжительности работы. Однако, смысл этой притчи заключается в том, что благодать дается или не дается, и если дается, то в полной мере. Математический смысл этой притчи может противоречить математическому смыслу практических задач во многих ситуациях.
Это хороший пример того, что даже теологию или анализ ненаучных явлений, например библейских притч, можно проанализировать с математической точки зрения, чтобы понять, почему они противопоставляются логике физического мира, где, например, один плюс один плюс один равняется трем. Хотя некоторые богословы будут оспаривать такую трактовку.
Итак, в заключении можно сказать, что математика, несомненно, играет важную роль в науке и технике, но она не может считаться царицей наук. Каждая область знания имеет свои уникальные особенности и ограничения, и только вместе они могут обеспечить более глубокое понимание мира.
A picture containing text, screenshot, art, design
Description automatically generated
ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
Философия математики посвящена изучению глубинных вопросов, связанных с математическими знаниями, методами, теориями и практиками. Ее предназначение заключается в том, чтобы помочь человеку понять, как создаются, используются и проверяются математические понятия, а также оценить их значимость и достоверность.
Философия математики занимается исследованием следующих проблем:
Какие математические объекты существуют, и как мы можем о них знать? Что является основой математических доказательств, и как мы можем доверять им? Как математические теории связаны с реальным миром, и как они могут помочь в научных и технических приложениях? Какие понятия в математике являются идеальными, и как они связаны с нашими представлениями о реальном мире? Какие предпосылки и философские позиции лежат в основе различных направлений математики, и как они взаимодействуют друг с другом?
Философия позволяет человеку более глубоко понять суть математики, ее методологию и ее взаимосвязь с другими науками. Это помогает лучше оценить ее достоинства и ограничения, а также использовать математические методы более эффективно в различных областях знания и практики.
Необходимо отметить, что философия математики сыграла важную роль в разрешении кризиса основ математики, который возник в начале 20 века. Разрешение этого кризиса было связано с философскими и логическими исследованиями, проводимыми в рамках философии математики.
Скептицизм по отношению к философии математики может выражаться в том, что некоторые люди считать, что философия математики - нечто излишнее и лишь усложняет уже и без того сложную математику. Однако, важно понимать, что философия математики играет особую роль в развитии математики, помогая понять ее сущность и использовать ее более эффективно в различных областях знания и практики.
Кризис основ математики - философская проблема, возникшая в начале XX века, связанная с тем, что было выявлено, что некоторые базовые понятия и принципы математики не могут быть доказаны внутри самой математики.
Этот кризис, подобно сказке о голом короле, открыл глаза на истинное состояние вещей. Как король, который думал, что одет в роскошную одежду, на самом деле был голым, так и математические теории, казавшиеся прочными и надежными, оказались неполными и недостаточными. Как и в той сказке, где только маленький мальчик осмелился говорить правду, так и математики должны были принять тот факт, что их теории имеют свои ограничения и неполноту. Однако, как и в той сказке, где король, хотя и был разоблачен, продолжал притворяться, что одет в несуществующую одежду, так и математики продолжают работать в рамках этих теорий, хотя знают об их недостатках. И как король мог бы стать настоящим, если бы просто признал свою наготу и надел на себя настоящую одежду, так и математики могут продолжать развиваться, осознавая ограничения своих теорий и стремясь к новым открытиям и истинам.
Философия как таковая представляет собой сложный и абстрактный набор идей и концепций, связанных с основами бытия, знания и морали. Философия присуща человеку, и, скорее всего, только человеку. Животные, как правило, не обладают такой высокой степенью абстрактного мышления и не способны к философскому рассуждению. Однако у некоторых животных есть собственная система правил и норм поведения, которые можно интерпретировать как моральные или этические нормы. Например, у многих животных есть социальная иерархия, и они следуют определенным правилам поведения, чтобы избежать конфликтов и сохранить групповую гармонию. Это может рассматриваться как примитивная форма социальной морали или этики. Однако такие формы поведения не являются философскими в смысле терминологии и методологии, применяемой в философии.
Отчасти животные могут использовать математические принципы для решения определенных задач. Например, некоторые птицы используют геометрические принципы при постройке своих гнезд. Они могут точно определить расстояние и угол между ветками, чтобы создать стабильную конструкцию. Кроме того, считается, что некоторые животные, такие как дельфины и киты, могут использовать математические принципы для навигации в океане. Они могут определять расстояние и направление, используя звуковые сигналы и эхолокацию.
Однако, для того чтобы говорить о том, что животные действительно "владеют" математикой, требуется определенный уровень абстрактного мышления и понимания математических концепций, которые, как известно, присущи только человеку.
Как-то раз математик, физик и философ спорили, кто из них самый важный для человечества.
Математик говорит: "Без математики невозможно понять и описать мир, и все науки в конце концов сводятся к математике".