Кригер Борис Юрьевич
Универсальная ньютоновская динамика

Lib.ru/Современная: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Помощь]
  • Оставить комментарий
  • © Copyright Кригер Борис Юрьевич (krigerbruce@gmail.com)
  • Размещен: 06/02/2026, изменен: 06/02/2026. 305k. Статистика.
  • Монография: Естеств.науки
  • Научно-популярное
  • Скачать FB2
    •  Ваша оценка:
  • Аннотация:
    В этой работе Борис Кригер раскрывает концепцию универсальной ньютоновской динамики: концептуальную основу, которая преобразует физику Ньютона в общий принцип моделирования.
    •   Универсальная ньютоновская динамика
      Борис Кригер
      Почему экономисты, инженеры, эпидемиологи и исследователи в области искусственного интеллекта обнаруживают, что им необходимо отслеживать динамику в своих моделях? Почему прогнозы первого порядка неизменно терпят неудачу в переломных моментах? Почему одна и та же корректирующая методика постоянно изобретается в совершенно разных областях?
      Ответ кроется в структурном принципе, скрытом на виду на протяжении трех столетий. Законы движения Ньютона - это не просто описание физической материи. Это необходимая математическая форма для любой системы, где множество факторов объединяются и воздействуют на тенденции, а не непосредственно на уровни.
      В этой работе Борис Кригер раскрывает концепцию универсальной ньютоновской динамики: концептуальную основу, которая преобразует физику Ньютона в общий принцип моделирования. Опираясь на строгие математические основы, Кригер показывает, что рынки, эпидемии, системы обучения, социальные движения и организации удовлетворяют одним и тем же структурным аксиомам и, следовательно, требуют одинакового динамического подхода второго порядка.
      Это не просто аналогия. Это математическая необходимость.
      Написанная доступным, разговорным языком, книга "Ньютон: переосмысление" ведет читателей от основ классической механики к рубежам междисциплинарной науки. Попутно Кригер предлагает практические диагностические инструменты для оценки моделей, объясняет, почему некоторые ошибки моделирования носят структурный, а не случайный характер, и убедительно доказывает, что междисциплинарное мышление является ключом к научному прогрессу.
      СОДЕРЖАНИЕ
      ВВЕДЕНИЕ 7
      ГЛАВА 1: МЕТОД СТРУКТУРНОГО ОБОБЩЕНИЯ 17
      ГЛАВА 2: НЬЮТОНОВСКАЯ МОДЕЛЬ КАК ОТПРАВНАЯ ТОЧКА 30
      ГЛАВА 3: ТРИ АКСИОМЫ 42
      ГЛАВА 4: КОНЦЕПЦИЯ ИНЕРЦИИ ЗА ПРЕДЕЛАМИ ФИЗИКИ 56
      ГЛАВА 5: ПОЧЕМУ МОДЕЛИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ТЕРПЯТ НЕУДАЧУ 71
      ГЛАВА 6: РЫНКИ И ЭКОНОМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 83
      ГЛАВА 7: ЭПИДЕМИИ И ОБЩЕСТВЕННОЕ ЗДРАВООХРАНЕНИЕ 95
      ГЛАВА 8: МАШИННОЕ ОБУЧЕНИЕ И ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ 106
      ГЛАВА 9: СОЦИАЛЬНАЯ ДИНАМИКА И ФОРМИРОВАНИЕ МНЕНИЙ 117
      ГЛАВА 10: ОРГАНИЗАЦИИ И ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ 128
      ГЛАВА 11: ОБУЧЕНИЕ И ЛИЧНОСТНОЕ РАЗВИТИЕ 139
      ГЛАВА 12: СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ И ИНЖЕНЕРНЫЕ РЕШЕНИЯ 150
      ГЛАВА 13: ДИАГНОСТИЧЕСКИЙ ПРОТОКОЛ НА ПРАКТИКЕ 161
      ГЛАВА 14: ОГРАНИЧЕНИЯ И РАСШИРЕНИЯ 172
      ГЛАВА 15: МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЙ ИМПЕРАТИВ 182
      ГЛАВА 16: ВЗГЛЯД В БУДУЩЕЕ 193
      ЗАКЛЮЧЕНИЕ 202
      ГЛОССАРИЙ ТЕРМИНОВ 213
      ИСТОРИЧЕСКАЯ ХРОНОЛОГИЯ 261
      ВОЗНИКНОВЕНИЕ НЬЮТОНОВСКОЙ ДИНАМИКИ ИЗ МЕТРИЧЕСКИХ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ 295
      АННОТАЦИЯ 295
      1 ВВЕДЕНИЕ 297
      2 ФОРМАЛЬНАЯ СТРУКТУРА 301
      3 СТРУКТУРНЫЕ ПОСТУЛАТЫ 306
      4 ТЕОРЕМА О НЕСОВМЕСТИМОСТИ 308
      5. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ДИНАМИКИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 315
      6. НЬЮТОНОВСКАЯ ДИНАМИКА КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ 318
      7 ПРИМЕР: ДИНАМИКА УБЕЖДЕНИЙ В ЭПИСТЕМИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ 321
      8 ОБСУЖДЕНИЕ 323
      9 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 326
      ССЫЛКИ 328
      ПРИНЦИП СТРУКТУРНОЙ ДИАГНОСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 330
      АННОТАЦИЯ 330
      1. ПРОБЛЕМА: ПОЧЕМУ МНОГИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМАТИЧЕСКИ ТЕРПЯТ НЕУДАЧУ 333
      2. ЧТО БЫЛО УСТАНОВЛЕНО В ПРЕДЫДУЩЕМ ДОКУМЕНТЕ 335
      3. ОБОБЩЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТА ЗА ПРЕДЕЛАМИ МЕХАНИКИ 339
      4. УНИВЕРСАЛЬНАЯ НЬЮТОНОВСКАЯ ДИНАМИКА: КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ОСНОВА 341
      5. ПРИНЦИП СТРУКТУРНОЙ ДИАГНОСТИКИ 346
      6. ПОЧЕМУ МОДЕЛИ ПЕРВОГО СОСТОЯНИЯ ПРОТИВОРЕЧАТ АДДИТИВНОСТИ 349
      7 ПРАВИЛО РАСШИРЕНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ПРОСТРАНСТВА 351
      8 ПРИМЕРОВ ИЗ РАЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ 353
      9. СВЯЗЬ С СУЩЕСТВУЮЩЕЙ ПРАКТИКОЙ 356
      10 СЛЕДСТВИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ 358
      11 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 360
      ССЫЛКИ 362
      БИБЛИОГРАФИЯ 365
      
      
      
      ;
      ВВЕДЕНИЕ
      Начну с признания. Когда я только начал размышлять над идеями, изложенными в этой книге, у меня вообще не было намерения её писать. Меня просто мучил вопрос, который не давал мне покоя годами: почему так много разных систем, в совершенно не связанных между собой областях, терпят неудачу одним и тем же образом?
      
      Экономисты создают модели для прогнозирования рынков, и эти модели работают достаточно хорошо, пока внезапно не перестают работать. Эпидемиологи создают тщательные симуляции распространения болезней, и им удается уловить общие закономерности, но они упускают критические поворотные моменты. Инженеры по машинному обучению обучают алгоритмы, используя простые подходы, а затем обнаруживают, что им необходимо добавить нечто, называемое импульсом, чтобы их системы обучались эффективно. Инженеры по управлению проектируют системы для поддержания температуры, скорости или положения, и они обнаруживают, что им необходимо включить производную, чтобы предотвратить резкие колебания.
      
      Меня поразило не само существование этих проблем. В каждой области есть свои сложности. Меня поразило сходство решений. В областях, не имеющих ничего общего друг с другом, специалисты постоянно обнаруживали, что им необходимо отслеживать не только текущее состояние системы, но и скорость её изменений. Им нужно было заботиться не только о текущем состоянии, но и о тенденциях.
      
      Эта книга - моя попытка объяснить, почему. Это также приглашение по-новому взглянуть на наше понимание сложных систем и на удивительное единство, лежащее в основе, казалось бы, несвязанных явлений.
      
      Путешествие началось с Ньютона. Не потому, что я собирался изучать физику, а потому, что понял, что физика уже решила проблему, с которой до сих пор борются другие области науки. Три столетия назад Исаак Ньютон заложил основу для понимания движения, которая оказалась чрезвычайно успешной. Объекты имеют положения и скорости. Силы изменяют скорости, а не положения напрямую. Множественные силы суммируются простым сложением. Эти идеи настолько знакомы, что мы редко задумываемся, почему они работают.
      
      Но вот в чем загадка: Ньютон открыл эти принципы путем тщательного наблюдения за физическими объектами. Планеты, пушечные ядра, маятники. У него не было оснований полагать, что его концепция применима к чему-либо еще. И все же, когда я посмотрел на проблемы, терзающие экономику, эпидемиологию, искусственный интеллект и социальные науки, я увидел, как пытается возникнуть та же самая структура. Те же самые корректирующие меры изобретаются независимо друг от друга. То же самое фундаментальное открытие заново открывается снова и снова.
      
      Это привело меня к гипотезе, которая легла в основу этой книги: возможно, успех ньютоновской механики - это не какой-то особый факт о физической материи. Возможно, он отражает нечто более глубокое, касающееся того, как должны вести себя системы с определенными структурными свойствами. Если бы это было правдой, то ньютоновская модель была бы не просто одним из многих полезных подходов. Она стала бы необходимой формой для моделирования любой системы, где множество факторов объединяются и воздействуют на тенденции, а не непосредственно на состояния.
      
      Я потратил несколько лет на математические исследования, чтобы проверить, можно ли строго обосновать эту гипотезу. Результатом стали две научные статьи, в которых я сформулировал то, что я называю принципом структурной диагностики. В техническом плане я доказал, что если система удовлетворяет определенным аксиомам, то любая попытка смоделировать ее без включения скорости в качестве независимой переменной потерпит неудачу предсказуемым образом. Аксиомы не произвольны. Они отражают интуитивные представления, которые уже разделяют специалисты во многих областях: что влияния должны разумно сочетаться, что системы должны продолжать свою текущую траекторию, если на них ничего не действует, и что причины должны иметь следствия, не зависящие от направления текущего движения системы.
      
      Но научные статьи доходят до ограниченной аудитории. И последствия этой работы выходят далеко за рамки технических деталей. Если я прав, то мы мыслили о моделировании тонко, но важно неправильно. Мы рассматривали ньютоновскую модель как один из многих вариантов, тогда как её следует понимать как структурное требование для определённых типов систем. Мы придумывали импровизированные корректировки, вместо того чтобы признать, что здесь действует более глубокий принцип.
      
      Эта книга - моя попытка объяснить эти идеи всем, кто готов внимательно над ними задуматься. Я намеренно избегал математических формул. Не потому, что математика не важна, а потому, что основные идеи можно передать словами, аналогиями и мысленными экспериментами. Математика обеспечивает строгость; интуиция - понимание. И то, и другое необходимо, но для большинства читателей интуиция будет более ценной.
      
      Мне следует четко обозначить, что утверждается в этой книге, а что нет. Я не утверждаю, что каждая система во Вселенной подчиняется ньютоновской динамике. Многие системы выходят за рамки описанной мной модели. Мое утверждение носит условный характер: если система удовлетворяет определенным структурным свойствам, то она должна проявлять определенные динамические особенности. Эти свойства не универсальны, но они распространены. И когда они присутствуют, они имеют последствия, которые нельзя игнорировать.
      
      Я также выдвигаю методологический аргумент о том, как развивается наука. Наиболее значимые научные достижения часто происходят не благодаря открытию новых фактов в конкретных областях, а благодаря выявлению глубоких структурных связей между, казалось бы, несвязанными явлениями. Это я называю междисциплинарным императивом. Границы между академическими областями - это административные удобства, а не отражение того, как организована реальность. Одни и те же закономерности повторяются в разных областях, потому что схожие системы сталкиваются со схожими ограничениями. Осознание этого открывает новые возможности для передачи знаний и взаимного просвещения.
      
      Книга построена следующим образом. Я начинаю с описания метода, объясняя, почему обобщение успешных законов из одной области на другие является плодотворной научной стратегией. Затем я представляю основные идеи универсальной ньютоновской динамики, используя Ньютона в качестве отправной точки, но быстро переходя к общим принципам. Центральные главы рассматривают приложения в различных областях: экономика и рынки, эпидемии и здравоохранение, искусственный интеллект и машинное обучение, социальная динамика и формирование общественного мнения, а также организационное поведение. Каждая глава показывает, как одно и то же структурное понимание освещает различные явления.
      
      На этом пути я стараюсь сохранять дух честного исследования. Когда доказательства убедительны, я об этом говорю. Когда есть ограничения и открытые вопросы, я признаю их. Наука - это не абсолютная уверенность, а тщательное накопление знаний. Я надеюсь, что эта книга внесет свой вклад в это накопление, даже если она поднимает новые вопросы для будущих исследований.
      
      И наконец, несколько слов о тоне. Я старался писать так, как будто мы ведем беседу, вместе обсуждая эти идеи. Я не претендую на знание всех ответов. Я делюсь точкой зрения, которая, на мой взгляд, является поучительной, и предлагаю вам подумать, насколько она полезна для вашего собственного опыта. Наилучшим результатом было бы, если бы вы закончили эту книгу не с чувством усвоения доктрины, а с новыми вопросами и новыми способами взглянуть на окружающие вас системы.
      
      Мир гораздо более взаимосвязан, чем предполагают наши академические категории. Одни и те же принципы действительно проявляются в разных обличьях в совершенно разных областях. Понимание причин этого явления, на мой взгляд, является одним из важнейших интеллектуальных проектов нашего времени.
      
      Давайте начнём.
      ГЛАВА 1: МЕТОД СТРУКТУРНОГО ОБОБЩЕНИЯ
      
      Прежде чем рассказать о своем открытии, я хочу объяснить, как я его сделал. Метод так же важен, как и результат. Если вы понимаете метод, вы можете применить его самостоятельно в областях, которые я никогда не рассматривал.
      
      Метод прост в принципе, но сложен на практике. Он заключается в том, чтобы взять успешную концепцию из одной области и задаться вопросом, отражает ли её успех нечто более глубокое, чем специфическое содержание этой области. Когда теория работает исключительно хорошо, мы должны спросить: почему она работает? Какие структурные особенности она отражает, которые могут присутствовать в других областях?
      
      Рассмотрим законы движения Ньютона. На протяжении трех столетий они проверялись с необычайной точностью. Они предсказывают движение планет, траектории снарядов, поведение машин и бесчисленное множество других явлений. Этот успех не случаен. Но чем он объясняется?
      
      Один из ответов заключается в том, что Ньютон открыл фундаментальные истины о материи и силе. Это, безусловно, часть истории. Но это не может быть всей историей, потому что законы Ньютона работают и в контекстах, не имеющих ничего общего с материей в обычном смысле. Электрические цепи, в которых происходит поток заряда, а не движение объектов, можно анализировать с помощью ньютоновских моделей. Экономические системы, в которых происходит поток денег и товаров, демонстрируют динамические закономерности, напоминающие механические системы. Социальные сети, в которых происходит распространение идей и моделей поведения, показывают эффекты, подобные эффекту инерции.
      
      Эти сходства можно было бы списать на расплывчатые аналогии. Многие аналогии расплывчаты. Когда кто-то говорит, что компания похожа на организм, он обычно имеет в виду нечто неопределенное и метафорическое. Но сходства, на которые я указываю, более точны. Они включают в себя конкретные математические структуры, которые либо присутствуют, либо отсутствуют. А когда они присутствуют, они имеют последствия, которые можно проверить.
      
      Метод структурного обобщения задает вопрос: каковы минимальные условия, при которых применима данная модель? Если мы можем точно определить эти условия, мы можем затем искать их в других областях. Если мы их найдем, мы будем знать, что модель будет применима. Если мы их не найдем, мы будем знать, что модель не будет применима, и нам не следует ожидать, что она будет применима.
      
      Это отличается от аналогии. Аналогия гласит: эта система в некоторых отношениях похожа на ту систему, поэтому, возможно, идеи из одной системы перенесутся на другую. Структурное обобщение гласит: вот точные условия, при которых применяется данная модель, и вот почему эти условия являются достаточными. Модель применяется не по сходству, а по математической необходимости.
      
      Позвольте привести простой пример, чтобы проиллюстрировать разницу. Предположим, кто-то замечает, что транспортный поток иногда напоминает течение жидкости. Автомобили на шоссе скапливаются и расходятся, образуя волны, похожие на волны на воде. Это наблюдение может подсказать, что инструменты гидродинамики могли бы помочь в моделировании транспортного потока.
      
      Аналогичный подход звучал бы так: давайте попробуем применить уравнения гидродинамики к дорожному движению и посмотрим, сработают ли они. Иногда сработают, иногда нет, и нам придётся эмпирически выяснить, когда именно это происходит.
      
      Структурный подход предполагает вопрос: при каких условиях применима гидродинамика? Гидродинамика применима, когда имеется непрерывная среда, в которой локальные взаимодействия распространяются по определенным правилам. Удовлетворяет ли движение транспорта этим условиям? Иногда да, иногда нет. Когда на автомагистрали достаточно высокая плотность движения, так что автомобили не могут свободно перестраиваться, движение больше напоминает движение жидкости. Когда автомобили могут двигаться независимо, движение не происходит.
      
      Структурный подход дает нам возможность прогнозировать. Мы можем заранее сказать, когда аналогия с жидкостью сработает, а когда окажется неэффективной. Аналогический подход позволяет нам обнаружить это только постфактум.
      
      Почему же успешные фреймворки вообще должны быть обобщающими? Почему одни и те же структуры должны появляться в разных областях? На это есть несколько причин.
      
      Во-первых, Вселенная обладает ограниченным математическим словарём. Количество способов организации систем конечно, и определённые организационные модели повторяются, потому что они решают общие проблемы. Эволюция независимо друг от друга многократно открыла глаз, потому что зрение полезно, а оптические принципы, которые его обеспечивают, универсальны. Аналогично, определённые динамические структуры повторяются, потому что они решают общие проблемы организации и взаимодействия.
      
      Во-вторых, сложные системы часто возникают из более простых компонентов, взаимодействующих в соответствии с локальными правилами. Когда множество компонентов взаимодействуют локально, определенные совокупные модели поведения, как правило, проявляются независимо от того, что это за компоненты. Именно поэтому работает статистическая механика: поведение газов зависит от совокупных свойств, таких как температура и давление, а не от деталей отдельных молекул. Те же принципы агрегирования применимы к рынкам, толпам людей и нейронным сетям.
      
      В-третьих, и это наиболее важно для этой книги, определенные структурные ограничения обуславливают определенные динамические формы. Если система должна удовлетворять определенным аксиомам, то она должна демонстрировать определенное поведение. Аксиомы действуют как фильтр: любая система, удовлетворяющая им, будет проявлять заданную динамику, независимо от того, из чего состоит система и как она возникла.
      
      Третий пункт - это суть того, что я хочу донести. Ньютоновская модель работает не только потому, что она точно описывает физическую материю, но и потому, что она отражает ограничения, которым должна удовлетворять любая система, удовлетворяющая определенным аксиомам. Если эти аксиомы справедливы для рынков, то рынки должны демонстрировать динамику ньютоновской формы. Если они справедливы для обучающихся систем, то обучающиеся системы также должны их демонстрировать.
      
      Я выделил три аксиомы: устойчивость, аддитивность и компенсация. Устойчивость означает, что системы продолжают двигаться по своим текущим траекториям, если на них не воздействует какое-либо воздействие. Аддитивность означает, что множественные воздействия объединяются путем простого сложения. Компенсация означает, что внутренние взаимодействия сохраняют определенные величины. Я подробно объясню каждую из них позже. А пока ключевой момент заключается в том, что это структурные условия, которые либо выполняются, либо не выполняются для любой данной системы.
      
      Когда выполняются все три условия, следует замечательное следствие. Любая попытка смоделировать систему, используя только текущие состояния, без отслеживания скоростей в качестве независимых переменных, потерпит неудачу. Модель будет не просто неточной; она будет структурно неверной. Она будет содержать систематические ошибки, которые невозможно исправить никакой корректировкой параметров.
      
      Вот что я подразумеваю под методом структурного обобщения. Мы берем успешную концептуальную модель, определяем условия, при которых она не просто полезна, но и необходима, а затем ищем эти условия в других областях. Когда мы их находим, мы не проводим аналогию; мы выявляем структурное требование.
      
      Последствия для междисциплинарной науки огромны. Если одни и те же структурные ограничения существуют в разных областях, то идеи из одной области могут переноситься в другую не как предложения, а как требования. Не нужно изобретать велосипед заново; его можно распознать. То же решение, которое сработало для физиков, может быть применено и экономистами, не потому что экономика в каком-то смутном смысле похожа на физику, а потому что обе области сталкиваются с одними и теми же структурными ограничениями.
      
      Вот почему я считаю междисциплинарное мышление самым важным видом мышления. Не потому, что приятно видеть связи между областями, хотя это тоже приятно. А потому, что оно позволяет нам использовать структурные идеи из разных областей, избегая ненужных самооткрытий и ускоряя прогресс во всех областях, которые от этого выигрывают.
      
      Трагедия в том, что академическая организация работает против этого. Университеты разделены на кафедры, которые редко общаются друг с другом. Журналы специализированы таким образом, что экономисты читают экономические статьи, а физики - физические. Карьерные стимулы вознаграждают глубину знаний, а не широту, экспертные знания, а не синтез. В результате одни и те же идеи открываются снова и снова, используя разную терминологию, людьми, которые не осознают, что говорят одно и то же.
      
      Я не первый, кто заметил эту проблему. Многие призывали к более междисциплинарным исследованиям. Но призывы к междисциплинарности часто остаются на уровне благих намерений. Необходим метод: способ систематического определения того, какие идеи применимы и почему. Метод структурного обобщения предоставляет такой метод. Он дает нам строгий способ проверить, применима ли концепция из одной области к другой.
      
      В последующих главах я применю этот метод к конкретному случаю ньютоновской динамики. Но сам метод более общий. Его можно применять к любой успешной концептуальной модели: термодинамике, теории информации, эволюционной динамике, теории сетей. Каждая из них отражает структурные истины, выходящие за рамки их первоначальных областей. Каждая из них открывает возможность для междисциплинарного понимания.
      
      Мир гораздо более един, чем предполагают наши академические категории. Одни и те же закономерности повторяются, потому что действуют одни и те же ограничения. Осознание этого меняет наш подход к науке. Оно превращает отдельные открытия в примеры общих принципов. Оно преобразует путаницу в ясность. И оно открывает возможность быстрого прогресса, поскольку новые идеи свободно распространяются за пределы отдельных дисциплин.
      
      Именно эта идея лежит в основе данной книги. Теперь давайте посмотрим, как это работает на практике.
      ;
      ГЛАВА 2: НЬЮТОНОВСКАЯ МОДЕЛЬ КАК ОТПРАВНАЯ ТОЧКА
      
      Исаак Ньютон не ставил перед собой цель создать универсальную модель для всех динамических систем. Он хотел понять, почему планеты движутся именно так, и почему яблоки падают на землю. Созданная им модель оказалась гораздо более мощной, чем он мог предположить.
      
      Теоретическая модель Ньютона состоит из трех взаимосвязанных идей. Во-первых, объекты обладают состояниями, включающими как положение, так и скорость. Местонахождение объекта и скорость его движения определяют его текущее состояние. Во-вторых, силы изменяют скорость, а не положение напрямую. Сила не телепортирует объект; она ускоряет его, изменяя скорость и направление движения. В-третьих, когда на объект действуют несколько сил, их эффекты суммируются простым сложением. Две силы, действующие в одном направлении, создают удвоенное ускорение; силы, действующие в противоположных направлениях, частично компенсируют друг друга.
      
      Эти идеи настолько распространены, что мы редко задумываемся над тем, насколько они странны. Рассмотрим первую идею: что скорость является частью состояния. До Ньютона было принято считать, что объекты имеют естественные места, к которым они стремятся. Камень падает, потому что его естественное место - вниз; огонь поднимается, потому что его естественное место - вверх. В этой старой точке зрения скорость не является фундаментальной; она является следствием стремления объектов к своим правильным местам.
      
      Ньютон изменил это. В его теории объект, движущийся с постоянной скоростью в пустом пространстве, будет продолжать двигаться вечно. Нет естественного места, куда он стремится. Скорость - это не средство достижения цели; это часть фундаментального условия существования объекта. Это принцип инерции, и он был революционным.
      
      Рассмотрим вторую идею: что силы изменяют скорость, а не положение. Сейчас это кажется очевидным, но это представляет собой конкретный выбор в том, как работает причинно-следственная связь в физических системах. Когда я толкаю книгу по столу, я не перемещаю книгу напрямую из одного места в другое. Я изменяю её скорость. Книга перемещается в новое положение, потому что её скорость, однажды изменившись, переносит её туда. Это двухэтапный процесс: сила влияет на скорость; скорость влияет на положение.
      
      Почему причинно-следственная связь работает именно так? Ньютон не объяснил почему; он просто наблюдал, что это так. Объекты не перескакивают с места на место; они плавно ускоряются. Скорость изменения скорости, а не скорость изменения положения, определяется внешними воздействиями.
      
      Рассмотрим третью идею: силы суммируются аддитивно. Когда гравитация тянет объект вниз, а ветер толкает его вбок, объект одновременно испытывает обе силы, и их эффекты просто складываются. Суммарная сила равна сумме отдельных сил. Эта аддитивность логически не обязательна. Можно представить себе мир, где силы взаимодействуют друг с другом сложным образом, где эффект гравитации зависит от наличия ветра. Но это не наш мир. В нашем мире силы суммируются.
      
      Эти три идеи, взятые вместе, определяют то, что я назову динамикой ньютоновской формы. Слово "форма" важно. Специфическое содержание физики Ньютона, конкретные силы и их величины, носят эмпирический характер. Нам необходимо измерить силу гравитации и то, как она меняется с расстоянием. Но форма, структура эволюции состояний и взаимодействия сил, - это то, что, как я утверждаю, обобщает.
      
      Почему же теория Ньютона имела такой впечатляющий успех? Частично ответ кроется в том, что он правильно определил физические принципы. Его закон всемирного тяготения точно описывает, как массивные объекты притягиваются друг к другу. Его законы движения правильно предсказывают, как объекты реагируют на силы. Этот эмпирический успех является подлинным и важным.
      
      Но я хочу предложить еще одну причину успеха Ньютона, которой уделялось меньше внимания. Ньютоновская модель успешна, потому что она правильно отражает структурные требования для согласованного взаимодействия. Учитывая определенные аксиомы о том, как должны сочетаться влияния и как должны сохраняться системы, динамика в ньютоновской форме - это не просто один из многих вариантов. Это единственный вариант.
      
      Чтобы понять это утверждение, представьте, что вы пытаетесь построить модель системы, в которой действуют множественные факторы. Вы хотите, чтобы модель обладала определенными свойствами. Вы хотите, чтобы факторы сочетались разумно: если фактор А производит определенный эффект, а фактор В производит определенный эффект, то А и В вместе должны производить суммарный эффект. Вы хотите, чтобы система была справедливой: один и тот же фактор должен производить один и тот же эффект независимо от того, что система делает в данный момент. И вы хотите, чтобы система была устойчивой: если ни один фактор не действует, система должна продолжать делать то, что она делала.
      
      Эти требования кажутся разумными. Они отражают наши интуитивные представления о том, как должна работать причинно-следственная связь в хорошо функционирующей системе. Но вот примечательный факт: если вы настаиваете на всех этих требованиях, вы вынуждены использовать динамику ньютоновской формы. Вы не можете построить более простую модель, которая удовлетворяла бы всем требованиям. Вы должны отслеживать скорость как независимую переменную. Вы должны учитывать действие сил на ускорение.
      
      Это я доказал в технических статьях, предшествовавших этой книге. Доказательство математическое и точное. Оно показывает, что модели первого порядка, модели, отслеживающие только положение и вычисляющие из него скорость, не могут удовлетворить всем требованиям. Что-то должно измениться. Либо воздействия не суммируются аддитивно, либо система не сохраняется должным образом, либо одно и то же воздействие вызывает разные эффекты в зависимости от текущего движения. Если вы хотите получить все три свойства, вам нужна динамика второго порядка.
      
      Позвольте мне попытаться объяснить интуитивно, без математических выкладок. В модели первого порядка скорость не является независимой переменной; она определяется текущим положением и текущими воздействиями. Если я скажу вам, где находится система и какие воздействия на нее действуют, вы сможете рассчитать ее скорость. Это означает, что существует только одна скорость, совместимая с каждой комбинацией положения и воздействий.
      
      Теперь рассмотрим, что происходит, когда вы спрашиваете: какое влияние оказывает это воздействие? В модели первого порядка ответ зависит от текущего положения, поскольку оно определяет текущую скорость. Воздействие не одинаково влияет на систему, движущуюся быстро, и на систему, движущуюся медленно, потому что модель первого порядка даже не может представить две системы, находящиеся в одном и том же положении, но с разными скоростями. Это понятие не определено.
      
      Однако аддитивность требует, чтобы влияния имели четко определенные эффекты, которые можно комбинировать. Если эффект влияния зависит от того, какие другие влияния присутствуют, аддитивность нарушается. А в модели первого порядка эффект любого влияния неявно зависит от всех других влияний, поскольку все они совместно определяют скорость, входящую в уравнение.
      
      Решение состоит в том, чтобы сделать скорость независимой переменной. Как только скорость станет независимой, можно рассматривать две системы, находящиеся в одной и той же точке, но с разными скоростями. Можно задаться вопросом, какое воздействие оказывает то или иное влияние на каждую из них по отдельности. И можно настаивать на том, что эффект одинаков: воздействие изменяет их ускорение на одинаковую величину, независимо от того, движутся ли они быстро или медленно, влево или вправо.
      
      Это ключевая идея. Независимость от скорости требует, чтобы скорость была независимой. Если вы хотите, чтобы воздействия действовали одинаково независимо от текущего движения, вы должны рассматривать текущее движение как свободную переменную. И как только вы это сделаете, вы получите динамику второго порядка. Вы получите структуру ньютоновской формы.
      
      Ньютон открыл эту структуру, наблюдая за физическими системами. Но эта структура не является специфичной для физики. Она необходима согласно аксиомам устойчивости, аддитивности и независимости от скорости. Любая система, удовлетворяющая этим аксиомам, будь то частицы, цены, мнения или что-либо еще, должна демонстрировать динамику ньютоновской формы.
      
      Вот почему я использую Ньютона в качестве отправной точки, но не ограничиваюсь физикой. Ньютон обнаружил математическую структуру, которая, как оказалось, применима к физическим объектам. Но та же структура применима и в более широком смысле, к любой системе, удовлетворяющей структурным условиям. Физический успех законов Ньютона - это частный случай более общей истины.
      
      В следующей главе я уточню эти идеи, подробно объяснив каждую из аксиом. А пока я хочу, чтобы вы запомнили главное: ньютоновская модель - это не просто хорошее описание физики. Это структурное требование для любой системы, где воздействия суммируются аддитивно и действуют независимо от текущих тенденций. Именно это делает модель универсальной, и именно поэтому идеи из физики могут быть перенесены в другие области.
      ;
      ГЛАВА 3: ТРИ АКСИОМЫ
      
      Я утверждал, что динамика ньютоновской формы следует из трех структурных аксиом: персистентности, аддитивности и компенсации. Теперь мне нужно объяснить, что означают эти аксиомы и почему они обусловливают динамику второго порядка. Я постараюсь сделать это без использования математики, полагаясь вместо этого на ясные объяснения и наглядные примеры.
      
      Упорство
      
      Первая аксиома - это инерция, которая отражает идею о том, что системы продолжают двигаться по своей текущей траектории, если на них не действует никакая сила. В физике это первый закон Ньютона: движущийся объект остается в движении с постоянной скоростью, если на него не действует сила. В повседневной жизни это означает, что мяч, катящийся по гладкой поверхности, будет катиться в одном направлении с той же скоростью вечно.
      
      Почему мы должны ожидать устойчивости в нефизических системах? Потому что устойчивость отражает базовое интуитивное понимание причинно-следственной связи: для изменения необходима причина. Если на систему ничего не действует, нет причин для изменения ее поведения. Рынок, на который не поступает новая информация, должен продолжать свою текущую тенденцию. Мнение, распространяющееся с определенной скоростью, должно продолжать распространяться с той же скоростью, если ничего нового не происходит. Студент, обучающийся с определенной скоростью, должен продолжать учиться с той же скоростью, если обстоятельства остаются неизменными.
      
      Обратите внимание, что устойчивость связана с трендами, а не с уровнями. Система сохраняет свою скорость, а не свое положение. Сохранение рынком своего тренда не означает, что цены остаются неизменными; это означает, что цены продолжают расти или падать с той же скоростью. Это различие имеет решающее значение и часто неправильно понимается.
      
      Утверждение о сохранении температуры не является универсальным. Некоторые системы имеют естественные состояния покоя, к которым они стремятся. Например, температура в помещении, регулируемой термостатом, возвращается к заданному значению; эта температура не сохраняется на том значении, которого она достигает. Но многие системы демонстрируют сохранение температуры, и для таких систем выполняется первая аксиома.
      
      Аддитивность
      
      Вторая аксиома - аддитивность, которая отражает идею о том, что множественные воздействия суммируются простым сложением. Если воздействие А вызовет ускорение системы на определенную величину, а воздействие В вызовет ускорение на определенную величину, то А и В вместе вызовут ускорение, равное сумме этих величин.
      
      Аддитивность - это сильное предположение. Оно исключает взаимодействия, в которых эффект одного воздействия зависит от наличия других воздействий. Если А усиливает эффект В или если А блокирует эффект В, то аддитивность не выполняется. Такие взаимодействия существуют во многих системах. Химические реакции часто включают катализаторы, которые изменяют поведение других веществ. Социальные движения могут иметь пороговые эффекты, когда небольшие воздействия не оказывают никакого эффекта до тех пор, пока не будет достигнута критическая масса.
      
      Однако многие системы демонстрируют аддитивность, по крайней мере, приблизительно. В физике силы складываются векторно. В экономике множественные одновременные факторы, влияющие на цену, изменения предложения, изменения спроса, спекуляции, часто суммируются приблизительно аддитивно в течение коротких промежутков времени. В машинном обучении градиенты от разных обучающих примеров можно суммировать, чтобы приблизительно определить общее направление улучшения.
      
      Ключевая особенность аддитивности для наших целей заключается в том, что она требует с математической точки зрения. Аддитивность требует четко определенного отображения от воздействий к эффектам: для каждого воздействия должен существовать соответствующий эффект, и это отображение должно быть линейным, то есть эффекты различных воздействий могут суммироваться. Но в системе первого порядка невозможно определить такое отображение, поскольку эффект воздействия зависит от текущей скорости, которая не является независимой переменной.
      
      Представьте, что вы пытаетесь ответить на вопрос: какое воздействие оказывает десятиединичное влияние? В системе второго порядка ответ очевиден: оно вызывает определенное ускорение независимо от текущей скорости. В системе первого порядка вопрос сформулирован некорректно, поскольку невозможно определить ситуацию (положение и воздействие) без определения скорости, а скорость влияет на то, как проявляется воздействие.
      
      Вот почему аддитивность обуславливает динамику второго порядка. Единственный способ получить четко определенное аддитивное отображение от влияний к эффектам - это заставить эффекты действовать на нечто, независимое от текущего состояния. Этим чем-то в физическом случае является скорость, а в общем случае - скорость изменения.
      
      Компенсация
      
      Третья аксиома - компенсация, которая отражает идею о том, что внутренние взаимодействия сохраняют определенные величины. В физике это закон сохранения импульса: когда два объекта взаимодействуют, полный импульс до и после взаимодействия одинаков. Один объект приобретает импульс, а другой теряет одинаковое количество импульса.
      
      Компенсация, пожалуй, является наиболее физически обоснованной из трех аксиом, и в то же время наименее существенной для основной идеи этой книги. Несовместимость между динамикой первого порядка и аддитивным откликом, не зависящим от скорости, в основном вытекает из персистентности и аддитивности. Компенсация добавляет дополнительные ограничения, но не является основным фактором, определяющим требование второго порядка.
      
      Тем не менее, компенсация имеет аналогии в нефизических системах. В замкнутых экономических системах транзакции сохраняют общую стоимость: то, что одна сторона получает, другая теряет. В сетях социального влияния, основанных исключительно на убеждении, общая интенсивность мнений может сохраняться даже при изменении индивидуальных мнений. Эти аналогии носят более умозрительный характер, чем аналогии с устойчивостью и аддитивностью, но они предполагают, что компенсация не является чисто физическим понятием.
      
      В рамках этой книги я сосредоточусь в основном на инерции и аддитивности. Эти две аксиомы достаточны для установления того, что модели первого порядка структурно неполны, когда ожидается аддитивный отклик, не зависящий от скорости. Компенсация накладывает дополнительные ограничения, которые важны для замкнутых систем, но не являются существенными для диагностического принципа, который я хочу донести.
      
      Несовместимость
      
      Теперь я могу объяснить, почему эти аксиомы несовместимы с динамикой первого порядка. Аргумент состоит из трех шагов.
      
      Шаг первый: В любой модели первого порядка скорость определяется положением и факторами воздействия. Учитывая местоположение системы и действующие на неё факторы, модель выдаёт уникальную скорость. Невозможно задать скорость независимо. Две системы, находящиеся в одном и том же положении и подверженные одним и тем же воздействиям, должны иметь одинаковую скорость.
      
      Шаг второй: Аддитивность требует четко определенной и универсальной зависимости между воздействиями и ускорениями. Одно и то же воздействие должно приводить к одному и тому же ускорению независимо от других обстоятельств. Но в модели первого порядка концепция ускорения как реакции на воздействие проблематична. Ускорение - это скорость изменения скорости, но скорость уже задана уравнением первого порядка. Любое возникающее ускорение определяется тем, как развивается уравнение, а не свободной реакцией на внешнее воздействие.
      
      Третий шаг: Следовательно, модели первого порядка не могут поддерживать аддитивный отклик, не зависящий от скорости. Математическая структура этого не позволяет. Для получения такого отклика скорость должна быть преобразована в независимую переменную, что приводит к динамике второго порядка.
      
      Я понимаю, что этот аргумент абстрактен. Позвольте мне привести конкретный пример.
      
      Представьте себе мяч, катящийся по поверхности. В модели первого порядка скорость мяча определялась бы его текущим положением: мячи в точке А всегда движутся со скоростью S, независимо от их предыдущей траектории. Теперь применим постоянный ветер. В модели первого порядка ветер изменяет соотношение скорости и положения. Теперь мячи в точке А движутся со скоростью S-штрих.
      
      Но подождите. А что, если я захочу спросить: как ветер влияет на мяч? В модели второго порядка ответ очевиден: ветер создает определенное ускорение, которое изменяет скорость мяча со временем. В модели первого порядка соответствующего ответа нет. Ветер изменяет соотношение между положением и скоростью, но это не то же самое, что создание ускорения. Нет эффекта, не зависящего от скорости, который можно было бы объединить с другими эффектами.
      
      Теперь представьте, что добавляется второй фактор - уклон. Уклон также влияет на мяч. В модели второго порядка уклон создает еще одно ускорение, и эти два ускорения складываются. Мяч реагирует на суммарную силу. В модели первого порядка уклон изменяет зависимость положения от скорости по-своему, и когда присутствуют и ветер, и уклон, возникает третья зависимость, которая, очевидно, не является суммой чего-либо.
      
      В этом и заключается структурная проблема. Модели первого порядка не могут поддерживать чистое аддитивное сочетание влияний, поскольку влияния не имеют четко определенных независимых эффектов. Все переплетено в соотношении положения и скорости.
      
      Модели второго порядка решают эту проблему, разделяя то, что делает система (положение и скорость), и то, как на нее влияют внешние воздействия (ускорение). Воздействия влияют на ускорение, а не непосредственно на скорость. Такое разделение позволяет воздействиям оказывать независимое влияние, которое суммируется аддитивно.
      
      Три аксиомы, взятые вместе, требуют такого разделения. Принцип персистентности гласит, что система сохраняет свою скорость без какого-либо влияния. Принцип аддитивности гласит, что влияния суммируются, влияя на ускорение. Принцип компенсации гласит, что внутренние взаимодействия сохраняют общий импульс. Эти условия могут быть выполнены только в том случае, если скорость независима и влияния воздействуют на скорость её изменения.
      
      Это структурная основа универсальной ньютоновской динамики. Это не утверждение, касающееся конкретно физики. Это утверждение о любой системе, удовлетворяющей трём аксиомам. Такие системы должны обладать динамикой ньютоновской формы, независимо от того, из чего они состоят.
      ;
      ГЛАВА 4: КОНЦЕПЦИЯ ИНЕРЦИИ ЗА ПРЕДЕЛАМИ ФИЗИКИ.
      
      В физике масса - это мера инерции: то, насколько объект сопротивляется изменению своей скорости. Тяжелому объекту требуется больше силы для ускорения, чем легкому. Толкнув тележку из супермаркета, вы увидите, что она легко реагирует; толкнув груженый грузовик, вы едва сдвинете его с места. Одна и та же сила вызывает различное ускорение в зависимости от массы.
      
      Если универсальная ньютоновская динамика применима не только к физике, то аналоги массы должны существовать и в других областях. Какова роль инерции на рынках, в обучении, в социальной динамике? Это важнейший вопрос, поскольку инерция определяет, как системы реагируют на внешние воздействия. Без понимания инерции мы не сможем эффективно применять эту концепцию.
      
      Прежде чем рассматривать конкретные области, позвольте мне начать с концептуального понимания инерции. Инерция - это сопротивление изменению тренда. Система с высокой инерцией продолжает свою текущую траекторию, даже когда на неё действуют внешние воздействия; эти воздействия вызывают лишь небольшие ускорения. Система с низкой инерцией реагирует быстро; небольшие воздействия вызывают большие ускорения.
      
      Обратите внимание, что инерция связана с изменением тренда, а не с самим трендом. Быстро движущийся объект не обязательно обладает высокой инерцией. Пуля движется быстро, но имеет малую массу; её легко отклонить. Ледник движется медленно, но имеет огромную массу; его практически невозможно ускорить или замедлить. Инерция связана с реакцией на воздействие, а не с текущим движением.
      
      На рынках инерция проявляется как сопротивление изменению тренда. Некоторые рынки очень быстро реагируют на изменения: новая информация быстро ускоряет или замедляет движение цен. Другие же, наоборот, вялые: даже важные новости вызывают лишь постепенные изменения в ценовых трендах. Что же определяет это различие?
      
      Рыночная инерция обусловлена несколькими факторами. Транзакционные издержки создают трение, замедляющее адаптацию. Крупные институциональные инвесторы действуют медленно, поскольку не могут изменить свои позиции, не повлияв на цены. Регуляторные ограничения ограничивают скорость реагирования некоторых участников рынка. Для распространения и обработки информации требуется время. Все это создает сопротивление быстрым изменениям тенденций.
      
      Ликвидные рынки с большим количеством активных трейдеров и низкими транзакционными издержками обладают низкой инерцией. Цены могут быстро ускоряться и замедляться в ответ на новую информацию. Неликвидные рынки с небольшим количеством трейдеров и высокими издержками обладают высокой инерцией. Ценовые тренды сохраняются даже при изменении фундаментальных факторов, поскольку адаптация происходит медленно.
      
      В системах обучения инерция проявляется как сопротивление изменению темпов улучшения. Некоторые учащиеся очень восприимчивы: новые методы обучения или подходы к практике быстро меняют скорость их прогресса. Другие же сопротивляются: даже интенсивное вмешательство приводит лишь к постепенным изменениям темпов обучения.
      
      Когнитивная нагрузка способствует инерции обучения. Студент, уже испытывающий трудности со сложным материалом, не может легко ускорить процесс обучения в ответ на дополнительные инструкции. Предварительные знания создают инерцию. Глубоко укоренившиеся заблуждения сопротивляются изменениям; новая информация должна взаимодействовать с существующими представлениями. Мотивация и вовлеченность влияют на отзывчивость. Высоко мотивированный учащийся имеет меньшую инерцию; он охотно реагирует на новые возможности.
      
      В социальных процессах инерция проявляется как сопротивление изменению динамики мнений или поведенческих тенденций. Некоторые сообщества очень восприимчивы: новая информация или социальное давление быстро ускоряют или замедляют распространение идей. Другие же оказывают сопротивление: тенденции сохраняются даже при изменении обстоятельств.
      
      Структура сети влияет на социальную инерцию. В густо связанных сообществах инерция ниже, поскольку информация распространяется быстро, а социальное давление сильно. В разреженных или фрагментированных сетях инерция выше, поскольку для распространения влияния требуется время. Культурная однородность также влияет на инерцию. Сообщества с общими ценностями реагируют на влияние единообразно; неоднородные сообщества реагируют неравномерно, создавая общее сопротивление.
      
      В организационном поведении инерция проявляется как сопротивление изменению траектории развития или инициативам по внедрению изменений. Некоторые организации очень быстро реагируют на изменения: новые стратегии или лидерство быстро ускоряют или замедляют организационные тенденции. Другие же оказывают сопротивление: организация продолжает двигаться по своему текущему пути, несмотря на значительные вмешательства.
      
      Размер организации способствует инерции. В крупных организациях больше людей, больше процессов, больше накопленных практик, которые сопротивляются изменениям. Бюрократические структуры создают инерцию посредством формальных процессов утверждения и устоявшихся рутинных процедур. Культура создает инерцию посредством общих представлений о том, как нужно делать дела.
      
      В каждой области мы можем определить факторы, влияющие на то, насколько легко система реагирует на воздействие. Эти факторы играют роль массы в физической аналогии. Высокая инерция означает, что воздействия вызывают малые ускорения; низкая инерция означает, что воздействия вызывают большие ускорения.
      
      Количественное измерение инерции в нефизических областях остается открытой проблемой. В физике мы можем измерить массу с помощью весов или путем приложения известных сил и измерения ускорений. На рынках или в социальных системах аналогичные измерения менее просты. Мы можем наблюдать время реакции: сколько времени требуется, чтобы воздействие привело к измеримому изменению тренда? Более короткое время реакции указывает на меньшую инерцию. Мы можем измерить чувствительность: насколько сильное изменение тренда происходит в результате воздействия заданной величины? Большая чувствительность указывает на меньшую инерцию.
      
      Эти подходы позволяют проводить качественные или сравнительные оценки. Можно сказать, что рынок А имеет меньшую инерцию, чем рынок В, потому что он быстрее реагирует на новости. Можно сказать, что обучающее вмешательство X более эффективно, чем Y, потому что оно приводит к большим изменениям в скорости обучения. Но для точных числовых значений инерции требуется более сложный анализ.
      
      Один из подходов - эмпирическая подгонка. Имея данные временных рядов, показывающие, как развивалась система и какие факторы на нее влияли, мы можем построить модель второго порядка и извлечь параметр инерции. Отношение величины влияния к наблюдаемому ускорению дает оценку инерции. Это работает, когда у нас есть хорошие данные как о траектории системы, так и о факторах, влияющих на нее.
      
      Другой подход - использование структурных индикаторов. В определенных областях инерция может коррелировать с измеримыми структурными характеристиками. Рыночная инерция может прогнозироваться на основе транзакционных издержек, объема торгов или нормативно-правовой среды. Инерция обучения может прогнозироваться на основе показателей когнитивной нагрузки или оценок предшествующих знаний. Организационная инерция может прогнозироваться на основе размера, возраста или сложности бюрократической структуры. Эти индикаторы позволяют проводить оценку без прямого измерения динамики.
      
      Во многих случаях относительная инерция оказывается более полезной, чем абсолютные значения. Сравнение различных рынков, учащихся или организаций по их восприимчивости к воздействию может помочь в принятии решений даже без точных числовых шкал. Трейдер хочет знать, какие рынки реагируют быстрее; преподаватель хочет знать, какие ученики более восприимчивы к вмешательству; консультант хочет знать, какие организации легче меняются.
      
      Концепция инерции также имеет значение для разработки мер воздействия. Если вы хотите изменить траекторию системы, вам необходимо оказать достаточное влияние, чтобы преодолеть ее инерцию. Слабые меры воздействия в системах с высокой инерцией приводят к незначительному ускорению; система продолжает свой текущий тренд практически без изменений. Сильные меры воздействия в системах с низкой инерцией могут привести к резкому ускорению; следует быть осторожным, чтобы не переборщить.
      
      Разработчики политики часто недооценивают инерцию. Они внедряют меры, ожидая быстрых изменений, и разочаровываются, когда системы реагируют медленно. Концепция универсальной ньютоновской динамики предполагает, что время реакции является не следствием неудачи вмешательства, а результатом структуры системы. Системам с высокой инерцией требуется больше времени для изменения траектории, независимо от того, насколько хорошо разработано вмешательство.
      
      И наоборот, специалисты иногда переоценивают инерцию. Они предполагают, что системы будут продолжать следовать текущим тенденциям, и удивляются внезапным изменениям. Но системы с низкой инерцией могут быстро ускоряться при наличии соответствующих факторов. Умение распознавать низкую инерцию позволяет разрабатывать более гибкие стратегии.
      
      Концепция инерции также помогает объяснить, почему одни изменения сохраняются, а другие - нет. Временное воздействие на систему с высокой инерцией вызывает небольшое ускорение, которое прекращается, когда воздействие прекращается. Траектория системы практически не изменяется. Временное воздействие на систему с низкой инерцией вызывает большое ускорение, которое может значительно изменить траекторию даже после прекращения воздействия.
      
      Это имеет последствия для устойчивости изменений. Если вы хотите добиться устойчивых изменений в системе с высокой инерцией, вам необходимо оказывать постоянное влияние в течение длительного периода времени, чтобы нарастить темп. Кратковременные интенсивные вмешательства дают незначительный долговременный эффект. Если вы хотите добиться устойчивых изменений в системе с низкой инерцией, даже кратковременные вмешательства могут направить систему по новой траектории, которая сохранится.
      
      Инерция не является постоянной. Одна и та же система может иметь разную инерцию в разных обстоятельствах. Рынки становятся более отзывчивыми во время кризисов и менее отзывчивыми в периоды затишья. Учащиеся становятся более отзывчивыми, когда мотивированы, и менее отзывчивыми, когда устали. Организации становятся более отзывчивыми во время смены руководства и менее отзывчивыми в стабильные периоды.
      
      Эта изменчивость сама по себе является предметом моделирования. В полной модели инерция может зависеть от состояния: быть функцией текущего положения, скорости или внешних условий. Основная структура остается второго порядка, но параметр инерции изменяется. Это позволяет модели улавливать более сложную динамику, сохраняя при этом свои структурные особенности.
      
      Понятие инерции дополняет базовый словарь универсальной ньютоновской динамики. У нас есть положение (состояние системы), скорость (скорость изменения состояния), ускорение (скорость изменения скорости), сила или воздействие (что вызывает ускорение) и инерция (сопротивление ускорению). С помощью этих понятий мы можем описать динамику любой системы, удовлетворяющей структурным аксиомам.
      
      В следующих главах я применю эту терминологию к конкретным областям, показав, как эта концепция освещает явления в экономике, эпидемиологии, искусственном интеллекте и социальной динамике. Терминология остается неизменной; меняются лишь конкретные значения понятий "позиция", "скорость" и "влияние" в зависимости от области применения.
      ГЛАВА 5: ПОЧЕМУ МОДЕЛИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ТЕРПЯТ НЕУДАЧУ
      
      В науке и промышленности люди создают модели для прогнозирования будущего на основе настоящего. Аналитик рынка изучает текущие цены и условия, чтобы предсказать, как будут меняться цены. Эпидемиолог анализирует текущие показатели заболеваемости, чтобы предсказать развитие вспышки. Инженер по машинному обучению использует текущие параметры, чтобы определить, как их скорректировать. В каждом случае модель принимает текущее состояние в качестве входных данных и выдает будущее состояние в качестве выходных данных.
      
      Большинство этих моделей имеют общую структуру: они первого порядка. Они предсказывают скорость изменения величины на основе её текущего значения и текущих воздействий. Где сейчас находится система? Какие силы на неё действуют? Исходя из этого, рассчитывается скорость изменения системы. Такой подход кажется естественным. Он напрямую сформулирует вопрос, на который мы хотим ответить: учитывая наше текущее положение, куда мы движемся?
      
      Однако модели первого порядка систематически дают сбои предсказуемым образом. Они выходят за рамки допустимого, когда тенденции меняются на противоположные. Они колеблются вместо того, чтобы стабилизироваться. Они требуют постоянной перекалибровки по мере изменения обстоятельств. Они хорошо соответствуют историческим данным, но плохо экстраполируют. Эти сбои не случайны и не зависят от конкретной области применения. Они возникают везде, где модели первого порядка применяются к системам, удовлетворяющим структурным аксиомам.
      
      Чтобы понять почему, нам нужно внимательно изучить, что предполагают модели первого порядка и что эти предположения исключают.
      
      Модель первого порядка имеет вид: скорость изменения равна некоторой функции текущего положения и текущих воздействий. Если я укажу вам, где находится система и какие силы на нее действуют, модель покажет вам, как быстро система движется. Положение и воздействия - на входе, скорость - на выходе.
      
      Эта структура имеет важное следствие. Скорость не является свободной величиной. При заданном положении и воздействии существует ровно одна возможная скорость системы. Две системы, находящиеся в одном и том же положении и подвергающиеся одинаковому воздействию, должны двигаться с одинаковой скоростью. В модели нет места для того, чтобы они различались.
      
      Теперь рассмотрим реальную ситуацию. Две компании сегодня занимают одинаковую долю рынка: по сорок процентов каждая. Обе сталкиваются с идентичными конкурентными условиями: одни и те же соперники, одни и те же рыночные тенденции, одни и те же потребительские предпочтения. Следует ли ожидать, что их траектория развития будет одинаковой?
      
      Очевидно, нет. Одна компания может быстро наращивать свою долю рынка, только что выпустив успешный продукт. Другая может терять долю, поскольку клиенты переходят к конкурентам. Они находятся в одном и том же положении, но движутся в противоположных направлениях. Модель первого порядка не может их различить. Она видит идентичные положения и идентичные условия, поэтому прогнозирует идентичное будущее.
      
      Это основное ограничение. Модели первого порядка не учитывают импульс. Они видят, где находится система, но не видят, куда она движется. Они фиксируют уровень, но не тренд. Когда две системы на одном и том же уровне имеют разные тренды, модели первого порядка рассматривают их одинаково и дают неверные прогнозы в обоих случаях.
      
      Проблема усугубляется, когда мы рассматриваем, как действуют факторы влияния. В модели первого порядка факторы влияния напрямую определяют скорость. Сильное влияние означает быстрое движение; слабое влияние означает медленное движение. Но в системах, удовлетворяющих структурным аксиомам, факторы влияния работают иначе. В таких системах факторы влияния определяют ускорение, изменение скорости. Сильное влияние означает быстрое изменение скорости движения системы; слабое влияние означает постепенное изменение.
      
      Это различие имеет огромное значение для прогнозирования. Предположим, рынок быстро растёт, и появляется негативное влияние. В модели первого порядка негативное влияние напрямую снижает темп роста. Если оно достаточно сильное, то немедленно приводит к падению рынка. В модели второго порядка негативное влияние снижает ускорение, замедляя темп роста. Рынок продолжает расти, но всё медленнее, в конечном итоге останавливаясь, а затем падая. Динамика совершенно иная.
      
      Модели первого порядка чрезмерно реагируют на изменения влияния, поскольку предполагают, что влияние напрямую контролирует скорость. При изменении влияния скорость немедленно изменяется на соответствующую величину. Но в системах с инерцией скорость изменяется постепенно. Несоответствие между моделью и реальностью приводит к систематическим ошибкам.
      
      Рассмотрим аналогию с термостатом. Термостат первого порядка устанавливает скорость изменения температуры на основе разницы между текущей и целевой температурой. Большая разница означает быстрый нагрев или охлаждение; малая разница означает медленную регулировку. Это звучит разумно, но приводит к перерегулированию. По мере приближения температуры к целевой, нагрев замедляется, но накопленное тепло продолжает выталкивать температуру за пределы целевого значения. Система колеблется вокруг заданной точки вместо того, чтобы плавно стабилизироваться.
      
      В реальных термостатах используются более сложные стратегии управления именно потому, что простое управление первого порядка не справляется. Производная в ПИД-регулировании, которая реагирует на скорость изменения температуры, а не только на её уровень, - это именно та коррекция, которая необходима для предотвращения перерегулирования. Она вводит понимание второго порядка: насколько быстро закрывается разрыв, а не просто насколько он велик?
      
      Та же закономерность наблюдается во всех областях. Экономисты строят модели, прогнозирующие изменения цен на основе текущих условий, и обнаруживают, что их модели завышают прогнозы в точках перелома. Эпидемиологи строят модели, прогнозирующие распространение инфекции на основе текущей распространенности, и обнаруживают, что изменения в поведении создают задержки, которые их модели упускают. Инженеры по машинному обучению используют простой градиентный спуск и обнаруживают, что он колеблется в узких долинах вместо плавного спуска.
      
      В каждом случае специалисты эмпирически обнаруживают необходимость добавления членов, отражающих импульс или производные. Им нужно отслеживать не только текущее состояние, но и скорость его изменения. Им нужно реагировать не только на текущие условия, но и на тенденции. Эти дополнения превращают модели первого порядка в модели второго порядка.
      
      Эта закономерность настолько устойчива, что должна вызывать подозрения. Почему моделям первого порядка так часто требуются эти поправки? Почему поправки принимают столь схожие формы в несвязанных областях? Ответ, как я полагаю, заключается в том, что модели первого порядка структурно непригодны для систем, удовлетворяющих аксиомам. Они терпят неудачу не случайно, а по необходимости.
      
      Модель первого порядка не может описать независимую от скорости реакцию на воздействие, поскольку она вообще не может описать скорость независимо. Когда аксиомы требуют такой реакции, модель в корне неверна. Никакая корректировка параметров не может это исправить. Модель нуждается в структурной коррекции: превращении скорости в независимую переменную.
      
      Это структурная диагностика. Модели первого порядка не подходят для систем, удовлетворяющих условиям устойчивости, аддитивности и независимости от скорости, не потому, что они используют неправильные параметры или упускают важные факторы, а потому, что имеют неправильную математическую форму. Они пытаются представить динамику второго порядка с помощью структуры первого порядка, а это невозможно.
      
      Диагностический вопрос сводится к следующему: должны ли факторы, влияющие на эту систему, действовать независимо от текущей тенденции? Если да, то системе требуется моделирование второго порядка. Модель первого порядка будет демонстрировать характерные недостатки: перерегулирование, колебания, плохая экстраполяция, необходимость постоянной перекалибровки. Это не признаки невезения или недостатка данных, а признаки структурного несоответствия.
      
      Осознание этого меняет наш подход к моделированию. Вместо того чтобы рассматривать модели первого порядка как варианты по умолчанию, которые нужно исправлять при сбоях, мы можем заранее спросить себя, подходят ли они. Если структурные условия выполняются, мы знаем, что нужно начать со структуры второго порядка. Если они не выполняются, моделирование первого порядка может быть вполне приемлемым. Данная структура предоставляет рекомендации до того, как произойдет сбой.
      
      Конечно, не все системы удовлетворяют аксиомам. Во многих системах скорость действительно определяется положением: диффузионные процессы, некоторые химические реакции, динамика, стремящаяся к равновесию. Для таких систем структурно подходят модели первого порядка. Диагностический принцип не утверждает, что все модели должны быть второго порядка; он говорит, что структура второго порядка необходима, когда выполняются аксиомы.
      
      Практическая ценность заключается в способности к различению. Имея систему для моделирования, задайте себе вопросы: должны ли факторы суммироваться аддитивно? Должны ли их эффекты быть независимыми от текущей тенденции? Если на оба вопроса ответ "да", используйте структуру второго порядка. Если на любой из них ответ "нет", может быть достаточно структуры первого порядка. Это решение можно принять до построения модели, что избавит от необходимости эмпирического поиска причин неудачи.
      ;
      ГЛАВА 6: РЫНКИ И ЭКОНОМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
      
      Финансовые рынки - одни из самых изучаемых систем в мире. Ежедневно через них проходят миллиарды долларов, и стремление предсказывать их движение породило обширные отрасли аналитики. Однако прогнозирование рынка по-прежнему остается крайне сложной задачей. Модели, которые работают какое-то время, внезапно перестают работать. Надежные, на первый взгляд, закономерности рушатся. Умные деньги неизменно превосходят упрощенные подходы.
      
      Частично эта сложность обусловлена подлинной сложностью. Рынки объединяют решения миллионов участников, обладающих различной информацией, различными целями и различными временными горизонтами. Ни одна модель не может охватить все это. Но, как мне кажется, часть сложности заключается в структурном несоответствии между моделями и динамикой. Многие рыночные модели являются моделями первого порядка, тогда как им следовало бы быть моделями второго порядка.
      
      Рассмотрим, как работает большинство методов анализа рынка. Аналитики изучают фундаментальные факторы: прибыль, процентные ставки, экономические показатели. Они анализируют текущие цены. На основе соотношения текущих фундаментальных факторов и текущих цен они делают прогнозы относительно будущих цен. Если прибыль высока, а цены низки по отношению к прибыли, они ожидают роста цен. Если ситуация ухудшается, а цены высоки, они ожидают падения цен.
      
      Это мышление первого порядка. Текущие условия определяют направление движения цены. Позиция и факторы влияния определяют скорость изменения цены. И такое мышление систематически терпит неудачу в поворотных точках, потому что оно не может отличить рынки, находящиеся на подъеме и растущие, от рынков, находящихся на подъеме и падающих.
      
      Подумайте, что происходит во время пузыря. Цены быстро растут, привлекая всё больше покупателей и ещё больше подталкивая рынок вверх. Фундаментальные факторы могут не оправдывать такие цены, но импульс очень сильный. Первоклассный аналитик, оценивая текущие цены и фундаментальные показатели, видит переоценку и прогнозирует падение. Но рынок продолжает расти, потому что импульс не изменился.
      
      Теперь подумайте, что происходит, когда лопается пузырь. Какое-то событие провоцирует распродажи. Цены падают, что вызывает еще большие распродажи, еще больше снижая цены. Фундаментальные показатели могут казаться привлекательными, но импульс отрицательный. Первоклассный аналитик видит недооцененность и прогнозирует восстановление. Но рынок продолжает падать, потому что импульс не изменился.
      
      В обоих случаях аналитик первого порядка ошибается, потому что игнорирует импульс. Он видит, где находится рынок, но не видит, в каком направлении он движется. Он видит уровень, но не тренд. Рынки обладают инерцией, и эта инерция важна для прогнозирования.
      
      Технические аналитики понимают это интуитивно. Они изучают ценовые тренды, скользящие средние и индикаторы импульса именно потому, что они улавливают информацию, которую упускает фундаментальный анализ. Технический аналитик задается вопросом не только о текущем положении цен, но и о том, куда они движутся и с какой скоростью. Это мышление второго порядка, даже если его обычно так не описывают.
      
      Концепция универсальной ньютоновской динамики предоставляет единый язык для понимания того, что делают технические аналитики. Цена - это позиция. Изменение цены - это скорость. Изменение изменения цены, ускорение или замедление трендов, - это ускорение. Рыночные силы, новости, фундаментальные факторы, настроения действуют, изменяя ускорение, а не скорость напрямую. Положительный сюрприз в отчетности не приводит к немедленному росту цен; он ускоряет восходящий тренд или замедляет нисходящий.
      
      Этот подход проясняет несколько рыночных явлений. Рассмотрим распространенное наблюдение о том, что рынки чрезмерно реагируют на новости в краткосрочной перспективе, но корректируются со временем. В вторичных терминах новости дают импульс, который ускоряет движение цен. Но поскольку рынок обладает инерцией, ускорение не сразу приводит к значительным изменениям цен. Цены движутся постепенно по мере того, как ускорение проявляется. Позже, по мере того, как новости усваиваются и ожидания корректируются, ускорение может измениться на противоположное, замедляя или разворачивая движение цен.
      
      Рассмотрим также феномен устойчивости тренда. Рынки, которые росли, как правило, продолжают расти; рынки, которые падали, как правило, продолжают падать. Стратегии, основанные на импульсе, используют это, покупая растущие акции и продавая падающие. Почему существует импульс? В общих чертах, потому что скорость - это независимая переменная, которая изменяется постепенно. Растущий рынок будет продолжать расти до тех пор, пока не накопится достаточное отрицательное ускорение, чтобы развернуть тренд. На это нужно время.
      
      Концепция рыночной инерции помогает объяснить различия между рынками. Высоколиквидные рынки с большим количеством участников и низкими транзакционными издержками обладают низкой инерцией. Цены быстро реагируют на новости; тренды легко меняются. Неликвидные рынки с небольшим количеством участников и высокими издержками обладают высокой инерцией. Тренды сохраняются дольше; развороты происходят более постепенно. Рынки недвижимости, например, известны своей высокой инерцией. Тренды цен на жилье сохраняются годами, потому что транзакционные издержки высоки, а рынок малочисленен.
      
      Структура рынка также влияет на инерцию. Рынки, на которых доминируют индексные фонды и алгоритмические трейдеры, могут иметь иную инерцию, чем рынки, где преобладают активные инвесторы, принимающие решения по своему усмотрению. Состав участников, доступная информация, нормативно-правовая среда - все это влияет на то, насколько легко меняются тренды.
      
      Для инвесторов и трейдеров эта концепция предлагает несколько практических выводов. Во-первых, обращайте внимание на тренды, а не только на уровни. Две акции по одинаковой цене с противоположным импульсом представляют собой совершенно разные инвестиции. Во-вторых, оценивайте рыночную инерцию, прежде чем прогнозировать скорость изменения трендов. Рынки с низкой инерцией могут быстро развернуться; рынкам с высокой инерцией необходимо устойчивое давление для изменения направления. В-третьих, помните, что рыночные силы действуют на ускорение, а не на скорость. Сильные позитивные новости на падающем рынке могут замедлить падение, прежде чем произойдет разворот; не ожидайте мгновенного разворота.
      
      Для экономистов, занимающихся построением моделей, данная концепция предполагает, что спецификации первого порядка будут систематически давать сбои. Модели, прогнозирующие изменения цен на основе текущих условий, будут упускать динамику, поскольку игнорируют импульс. Добавление трендовых переменных, лагов или членов импульса преобразует модель в структуру второго порядка. Это объясняет, почему такие дополнения часто улучшают производительность: они исправляют структурный недостаток.
      
      Гипотеза эффективного рынка в этом контексте представляет собой интересную загадку. Если рынки эффективны, цены должны полностью отражать имеющуюся информацию. Изменения цен должны быть непредсказуемыми. Это кажется противоречащим инерции и устойчивости тренда. Как рынки могут обладать инерцией, если они эффективны?
      
      Одно из решений заключается в том, что эффективность - это идеализация. На реальных рынках существуют трения, информационные издержки, поведенческие искажения, которые создают временную неэффективность. Импульс возникает из этих несовершенств. Более интересное решение состоит в том, что эффективность касается взаимосвязи между ценами и информацией, в то время как инерция касается динамики корректировки. Рынки могут быть эффективными в том смысле, что цены в конечном итоге отражают информацию, но при этом проявлять инерцию в скорости своей корректировки. Конечная цель может определяться фундаментальными факторами; путь к этой цели может демонстрировать импульс.
      
      Эта концепция применима не только к финансовым рынкам, но и к более широким экономическим процессам. Экономический рост обладает импульсом: растущие экономики, как правило, продолжают расти, а сокращающиеся - сокращаться. Политические меры направлены на ускорение: стимул не приводит к немедленному увеличению роста, а постепенно ускоряет его. Экономическая инерция различается в разных странах: гибкие экономики быстро реагируют на потрясения, жесткие - медленно.
      
      Поведение потребителей демонстрирует схожие закономерности. Потребительские привычки обладают инерцией. Изменения доходов или цен не приводят к немедленному изменению расходов; потребители адаптируются постепенно. Маркетинговые кампании действуют на ускорение, изменяя скорость изменения предпочтений, а не напрямую. Лояльность к бренду - это форма инерции, сопротивления меняющимся потребительским тенденциям.
      
      Экономические применения универсальной ньютоновской динамики многочисленны и разнообразны. Ключевая идея остается неизменной: экономические системы, в которых действуют множественные силы, которые должны суммироваться аддитивно, требуют моделирования второго порядка. Модели первого порядка не учитывают динамику. Понимание этого улучшает как прогнозирование, так и разработку политики.
      ;
      ГЛАВА 7: ЭПИДЕМИИ И ОБЩЕСТВЕННОЕ ЗДРАВООХРАНЕНИЕ
      
      Когда появляется новое заболевание, специалистам в области общественного здравоохранения необходимо предсказать его распространение. Сколько людей будет инфицировано? Как быстро будет расти заболеваемость? Когда наступит пик? Какие меры будут наиболее эффективными? Ответы на эти вопросы определяют политику, которая затрагивает миллионы жизней. Ошибки в прогнозировании могут иметь огромные последствия.
      
      Стандартный подход к моделированию эпидемий использует компартментальные модели. Популяция делится на компартменты: восприимчивые, инфицированные, выздоровевшие, а дифференциальные уравнения описывают перемещение людей между ними. Эти модели совершенствовались на протяжении столетия и отражают многие важные особенности динамики заболевания.
      
      Однако прогнозы эпидемий по-прежнему отличаются крайней ненадежностью. Модели, которые, казалось, работали во время одной вспышки, терпят неудачу в следующей. Прогнозы сильно расходятся в зависимости от допущений. Реальные эпидемии постоянно удивляют разработчиков моделей динамикой, которая не соответствует ожиданиям. Частично это объясняется подлинной неопределенностью: эпидемии включают сложные системы со множеством неизвестных факторов. Но частично, как я полагаю, это структурный фактор.
      
      Стандартные компартментальные модели являются моделями первого порядка. Они прогнозируют скорость распространения инфекции на основе текущих условий: числа восприимчивых, числа инфицированных, частоты контактов, вероятностей передачи. При заданном текущем состоянии модель рассчитывает, насколько быстро растёт или сокращается эпидемия.
      
      Но эпидемии не развиваются изолированно. Поведение людей реагирует на эпидемию. Когда число заражений растет, люди меняют свое поведение. Они носят маски, избегают скопления людей, чаще моют руки. Когда число заражений снижается, они ослабляют меры предосторожности. Эта поведенческая реакция не мгновенна; она имеет инерцию. Привычки меняются медленно и медленно возвращаются к прежнему состоянию.
      
      Модель первого порядка не может это отразить. Она предполагает, что поведение определяется текущим уровнем заражения. Но поведение зависит не только от текущего уровня, но и от тенденций. Если число заражений растет, люди становятся более осторожными еще до того, как уровень заражения станет высоким. Если число заражений падает, люди расслабляются, даже когда уровень заражения остается высоким. Важно направление изменений, а не только сам уровень.
      
      Рассмотрим, что произошло во многих странах во время пандемии COVID-19. Число заражений росло, люди становились осторожнее, затем ситуация стабилизировалась. Модели первого порядка предсказывали, что это новое равновесие сохранится. Но люди, видя стабильные темпы заражения, начали ослаблять меры предосторожности. Число заражений снова начало расти, что удивило модели. Это колебание повторялось неоднократно, и модели неизменно не могли предсказать переломные моменты.
      
      В общих чертах, произошедшее очевидно. Поведение людей обладает инерцией. Осторожное поведение, однажды принятое, сохраняется даже при улучшении условий. Это приводит к перенасыщению : осторожное поведение сохраняется дольше, чем того требуют условия, что приводит к снижению числа заражений ниже ожидаемого уровня. Затем, когда поведение, наконец, ослабевает, число заражений растет быстрее, чем ожидалось, потому что инерция поведения работает в обратном направлении.
      
      Модель второго порядка отслеживала бы не только текущее поведение, но и скорость его изменения. Она учитывала бы, что вмешательства влияют на ускорение поведения, а не на само поведение напрямую. Новая политика не мгновенно меняет действия людей; она меняет скорость изменения их поведения. Это позволяет модели учитывать задержки и колебания, которые являются проблемой для подходов первого порядка.
      
      Концепция поведенческой инерции объясняет несколько эпидемиологических загадок. Почему эпидемии часто демонстрируют несколько волн? Потому что поведенческая релаксация, следующая за каждой волной, создает условия для следующей. Почему пики эпидемий трудно предсказать? Потому что они зависят от времени поведенческих изменений, которые имеют свою собственную динамику. Почему вмешательства имеют отложенный эффект? Потому что они должны сначала изменить ускорение поведенческих процессов, прежде чем повлиять на само поведение.
      
      При разработке политики в области общественного здравоохранения полезно использовать подход второго порядка. Подход первого порядка задает вопрос: какой уровень вмешательства приводит к желаемому уровню поведения? Подход второго порядка задает вопрос: какое вмешательство приводит к желаемому изменению поведенческих тенденций? Вопросы разные и приводят к разным политическим решениям.
      
      Например, рассмотрим сроки введения ограничений. Подход первого порядка предполагает введение ограничений, когда число заражений достигает порогового значения. Подход второго порядка учитывает не только уровень, но и тенденцию. Раннее вмешательство, когда тенденция ускоряется, может быть более эффективным, чем ожидание высоких уровней, когда импульс уже силен.
      
      Аналогично, рассмотрим снятие ограничений. Первый подход предполагает снятие ограничений, когда число заражений снизится ниже порогового значения. Второй подход также учитывает поведенческую динамику. Если осторожное поведение набирает обороты, ограничения можно снять раньше, поскольку поведение не вернется к прежнему состоянию немедленно. Если же поведенческая смягченность уже наблюдается, ограничения, возможно, потребуется продлить, чтобы предотвратить быстрое изменение ситуации в худшую сторону.
      
      Планирование больничных мощностей также выигрывает от подхода второго порядка. Госпитализации отстают от числа инфекций, которые отстают от изменения поведения, а это, в свою очередь, от политических мер. Эта цепочка задержек означает, что потребности в мощностях зависят не от текущего числа инфекций, а от динамики эпидемии несколько дней или недель назад. Модели первого порядка, экстраполирующие текущие тенденции, упускают из виду эту динамику.
      
      Данная концепция выходит за рамки инфекционных заболеваний. Эпидемии хронических заболеваний демонстрируют схожую динамику. Ожирение, диабет, сердечно-сосудистые заболевания - все они распространяются в популяциях посредством инерционных поведенческих моделей. Меры по пропаганде здорового образа жизни сталкиваются с сопротивлением со стороны населения. Достигнутый прогресс, отчасти, сохраняется благодаря инерции.
      
      Динамика психического здоровья также соответствует этой модели. Депрессия, тревога, зависимость - эти состояния имеют траектории, которые постепенно реагируют на вмешательство. Сеанс терапии не меняет настроение мгновенно; он ускоряет или замедляет тенденцию. Восстановление имеет импульс; неудачи также имеют импульс. Первичное мышление, ожидающее немедленной реакции на вмешательство, упускает из виду динамику.
      
      Применение универсальной ньютоновской динамики в сфере общественного здравоохранения выявляет общую закономерность. Когда поведение человека опосредует динамику системы и когда поведение обладает инерцией, модели первого порядка оказываются несостоятельными. Они терпят неудачу, потому что предполагают, что поведение определяется текущими условиями, тогда как на самом деле оно развивается в соответствии со своим собственным импульсом. Понимание этого позволяет создавать более совершенные модели и более эффективную политику.
      
      Для специалистов в области общественного здравоохранения важно отслеживать поведенческие тенденции, а не только уровень поведения. Необходимо спрашивать не только о том, как люди себя ведут, но и о том, насколько быстро меняется их поведение. Следует разрабатывать меры, направленные на изменение скорости изменения поведения, и ожидать задержек по мере того, как эти изменения будут происходить. Необходимо создавать модели, учитывающие инерцию поведения, и скептически относиться к моделям, предполагающим мгновенную реакцию поведения.
      
      Эпидемии - это сложные системы со множеством неопределенностей. Ни одна модель не сможет идеально предсказать их развитие. Однако модели второго порядка, учитывающие инерцию поведения, имеют больше шансов отразить качественную динамику: колебания, отложенные эффекты, поворотные точки, которые модели первого порядка систематически упускают.
      ;
      ГЛАВА 8: МАШИННОЕ ОБУЧЕНИЕ И ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ
      
      Машинное обучение - одна из самых успешных технологий нашего времени. Алгоритмы учатся на данных распознавать изображения, понимать язык, рекомендовать товары и принимать решения. Прогресс впечатляет, возможности быстро развиваются год за годом. Однако практика обучения этих систем полна уловок и эвристик, которым часто не хватает четкого теоретического обоснования. Почему одни методы работают? Почему другие терпят неудачу? Концепция универсальной ньютоновской динамики предлагает удивительные идеи.
      
      Рассмотрим основную проблему обучения нейронной сети. Сеть имеет параметры, миллионы или миллиарды, которые определяют ее поведение. Обучение означает настройку этих параметров таким образом, чтобы сеть хорошо справлялась с определенной задачей. Стандартный подход - градиентный спуск: вычисляется, как изменение каждого параметра улучшит производительность, а затем параметры изменяются в этом направлении.
      
      Простой градиентный спуск - это метод первого порядка. На каждом шаге он вычисляет градиент, направление наибольшего улучшения, и перемещает параметры в этом направлении. Размер шага определяется скоростью обучения, параметром, устанавливаемым инженером. Положение и факторы влияния определяют скорость: текущие параметры и текущий градиент определяют, как изменяются параметры.
      
      Простой градиентный спуск имеет хорошо известные проблемы. Он колеблется в узких долинах ландшафта функции потерь, зигзагообразно перемещаясь туда-сюда вместо плавного движения к минимуму. Он застревает в плоских областях, где градиент мал, и мало продвигается вперед, даже когда поблизости находятся лучшие решения. Он чувствителен к скорости обучения: слишком мала - и прогресс идет крайне медленно; слишком велик - и система перескакивает через точку и становится нестабильной.
      
      Стандартное решение - это импульс. Вместо движения исключительно в направлении градиента, импульс отслеживает скользящее среднее последних значений градиента и движется в этом направлении. Если градиент постоянно направлен в одну сторону, импульс ускоряет движение в этом направлении. Если градиент колеблется, импульс сглаживает эти колебания.
      
      В терминологии универсальной ньютоновской динамики импульс преобразует градиентный спуск из первого порядка во второй. Без импульса скорость, скорость изменения параметров, определяется непосредственно градиентом. С импульсом скорость становится независимой переменной со своей собственной инерцией. Градиент влияет на ускорение, изменение скорости, а не на саму скорость.
      
      Это объясняет, почему работает импульс. Градиентный спуск с импульсом удовлетворяет структурным аксиомам. Параметры остаются на своей текущей траектории, если на них не действует градиент, то есть сохраняется. Множественные вклады градиента суммируются аддитивно, то есть происходит аддитивность. Градиент действует одинаково независимо от текущей скорости параметра, то есть не зависит от скорости. Эти свойства делают динамику второго порядка структурно подходящей.
      
      Проблема колебаний особенно наглядно иллюстрирует несостоятельность динамики первого порядка. В узкой долине градиент круто направлен поперек долины, но лишь плавно вдоль неё. Простой градиентный спуск предполагает большие шаги поперёк и малые шаги вдоль, что приводит к зигзагообразному движению. С появлением импульса колебания поперёк долины компенсируются, а компоненты вдоль долины накапливаются. Система плавно движется вниз по долине, а не отскакивает между стенами.
      
      Практикующие специалисты, разработавшие концепцию импульса, не описывали её в ньютоновских терминах. Они эмпирически заметили, что она работает, и выработали интуитивное понимание причин её действия. Метафора шара, катящегося с горы, часто используемая для объяснения импульса, - это именно та физическая аналогия, которую уточняет данная концепция. Импульс в оптимизации буквально имеет ту же математическую структуру, что и импульс в физике, и работает по тем же структурным причинам.
      
      Современные оптимизаторы, такие как Adam, RMSprop и AdaGrad, являются вариациями на эту тему. Они добавляют адаптивные скорости обучения, которые изменяются для разных параметров, фактически делая параметр инерции зависимым от него. В ньютоновской терминологии разные параметры имеют разные массы. Базовая структура второго порядка остается неизменной: градиенты действуют на ускорение; скорость имеет инерцию; система движется в соответствии с накопленным импульсом, а не с мгновенной силой.
      
      Помимо оптимизации, данная структура освещает и другие аспекты машинного обучения. Рассмотрим динамику обучения: как меняется производительность сети во время обучения. Производительность, как правило, не улучшается плавно. Бывают периоды быстрого улучшения, плато с незначительными изменениями, а иногда и внезапные скачки. Эта динамика предполагает наличие инерции в процессе обучения.
      
      Концепция ландшафта потерь, поверхности, высота которой отражает степень неэффективности сети, по своей природе является концепцией второго порядка. Перемещение по этому ландшафту подобно движению шара по изогнутой поверхности. Гравитация, градиент, ускоряет шар, но шар обладает массой и импульсом. Он не перемещается мгновенно в самую нижнюю точку; он катится, колеблется и в конце концов останавливается. Эта физическая интуиция, должным образом формализованная, - это именно то, что дает универсальная ньютоновская динамика.
      
      Обучение с подкреплением, при котором агенты учатся, взаимодействуя с окружающей средой, также демонстрирует структуру второго порядка. Политика агента, его стратегия выбора действий, развивается на основе вознаграждений и штрафов. Эта эволюция имеет импульс: успешные стратегии закрепляются; неудачные постепенно, а не мгновенно, исчезают. Агент, исследующий новую среду, не сразу знает лучшее действие; он учится постепенно по мере накопления опыта.
      
      Компромисс между исследованием и использованием в обучении с подкреплением можно понять через инерцию. Агент с высокой инерцией медленно меняет свою стратегию; он использует то, что знает, даже когда исследование могло бы выявить лучшие стратегии. Агент с низкой инерцией легко меняет стратегию; он исследует, но может слишком быстро отказаться от хороших стратегий. Баланс между исследованием и использованием - это баланс между инерцией обучения.
      
      Проектирование архитектуры нейронных сетей включает в себя неявные аспекты второго порядка. Такие методы, как пропускные соединения, позволяющие информации обходить слои, можно рассматривать как уменьшение эффективной инерции распространения градиента. Пакетная нормализация, стандартизирующая активации внутри слоев, стабилизирует динамику обучения аналогично демпфированию в физических системах.
      
      Данная концепция предполагает, что практика машинного обучения, разработанная в основном методом эмпирических проб и ошибок, независимо выявляла структурные требования, определенные теорией. Импульс, адаптивные темпы обучения, стабильные архитектуры - это не произвольные приемы, а необходимые адаптации для систем, где факторы суммируются аддитивно и должны действовать независимо от текущей скорости изменения параметров.
      
      Этот подход предлагает практические рекомендации. Когда в процессе обучения наблюдаются характерные сбои динамики первого порядка, такие как колебания, застревание в процессе, чувствительность к скорости обучения, диагноз указывает на структурное несоответствие. Решение состоит не в изменении параметров, а в добавлении импульса или эквивалентной структуры второго порядка. При разработке новых алгоритмов необходимо с самого начала убедиться в наличии у них правильной формы второго порядка, а не исправлять сбои первого порядка позже.
      
      Более глубокий вывод заключается в том, что системы машинного обучения, несмотря на свою новизну и очевидное отличие от физических систем, подчиняются тем же структурным принципам. Когда несколько градиентных составляющих должны суммироваться аддитивно и действовать независимо от текущей скорости параметра, необходима динамика второго порядка. Успех методов импульса - это не случайное открытие, а структурная необходимость.
      ГЛАВА 9: СОЦИАЛЬНАЯ ДИНАМИКА И ФОРМИРОВАНИЕ МНЕНИЙ
      
      Идеи распространяются среди населения подобно волнам. Новая мода подхватывается, набирает обороты и охватывает общество. Возникает политическое движение, завоевывает поддержку и меняет облик общества. Слух начинается с малого, набирает обороты и становится общепринятым мнением. Эти процессы не случайны; они имеют структуру. И эта структура, как я хочу утверждать, по своей сути является ньютоновской.
      
      Рассмотрим, как меняются мнения. В любой момент человек придерживается определённых взглядов с определённой уверенностью. Эти взгляды подвержены влиянию различных факторов: разговоров с друзьями, воздействия СМИ, личного опыта. Эти факторы не меняют взгляды мгновенно; они меняют траекторию формирования мнений. Веские доказательства против убеждения не устраняют его немедленно; доказательства ускоряют тенденцию к сомнению, и убеждение со временем ослабевает.
      
      Это динамика второго порядка. Мнение - это позиция; скорость изменения мнения - это скорость; влияния действуют на ускорение, скорость изменения скорости изменения. Человек, чьи взгляды быстро меняются в одном направлении, будет продолжать менять их, даже если новые влияния прекратятся, до тех пор, пока трение, естественная тенденция к стабильности, не замедлит изменения.
      
      Модели динамики мнений первого порядка предполагают, что текущие факторы влияния определяют текущее изменение мнения. Если человек подвергается воздействию убедительных аргументов, его мнение немедленно меняется в ответ. Эти модели предсказывают, что мнение следует за влиянием напрямую, подобно листу, колеблемому ветром. Но реальное формирование мнений происходит не так. Люди обладают когнитивной инерцией. Сильные априорные представления сопротивляются изменениям. Навыки мышления сохраняются.
      
      Это отражает концепция импульса убеждений. Человек, который все больше убеждается в чем-то, продолжает двигаться по этой траектории, даже когда накопление доказательств прекращается. Человек, который все больше сомневается, продолжает сомневаться. Эта тенденция имеет свою собственную силу, независимую от текущих влияний. Именно это и описывает динамика второго порядка.
      
      Социальные движения наглядно демонстрируют силу инерции. Движение начинается с малого: несколько преданных активистов, ограниченная осведомленность общественности. Затем что-то меняется. Освещение в СМИ расширяется, к движению присоединяется больше людей, успех порождает успех. Движение набирает обороты. На этом этапе оно продолжает расти не только благодаря внешним факторам, но и благодаря собственной накопленной скорости. Новые сторонники присоединяются отчасти потому, что движение растет, создавая положительную обратную связь.
      
      Модели социальных движений первого порядка предсказывают, что движения растут, когда условия им благоприятствуют, и сокращаются, когда условия им противостоят. Но это упускает из виду динамику импульса. Движение с сильным импульсом может продолжать расти даже при ухудшении условий, по крайней мере, некоторое время. Его скорость продвигает его вперед. И наоборот, движение без импульса может не расти даже в благоприятных условиях; ему не хватает накопленной силы, необходимой для преодоления инерции.
      
      Концепция социальной инерции помогает объяснить, почему одни общества меняются быстро, а другие медленно. Общество с низкой инерцией, возможно, общество со слабыми традициями, изменчивой идентичностью и открытой коммуникацией, легко реагирует на новые влияния. Идеи распространяются быстро; движения быстро возникают и исчезают; нормы меняются годами, а не поколениями. Общество с высокой инерцией, возможно, общество с сильными традициями, жесткой иерархией и контролируемой коммуникацией, сопротивляется переменам. Даже сильные влияния вызывают лишь постепенные сдвиги; устоявшиеся модели сохраняются, несмотря на давление.
      
      Структура сети влияет на социальную инерцию. В плотно связанных сетях, где каждый взаимодействует со всеми, влияние распространяется быстро и может стремительно ускоряться. В разреженных сетях с изолированными кластерами влияние должно распространяться через узкие места, создавая эффективную инерцию. Распределение степеней связей, структура сообществ и связующие связи влияют на то, насколько легко социальные тенденции могут изменить направление.
      
      Медийная среда влияет на социальную инерцию. Традиционные СМИ с небольшим количеством источников вещания и медленным новостным циклом создавали высокую инерцию. Сообщениям требовалось время для распространения, а конкурирующих сообщений было мало. Социальные сети с мгновенным обменом информацией и миллионами источников создают меньшую инерцию в некоторых аспектах, поскольку информация распространяется быстро, но большую инерцию в других, когда люди уходят в "эхо-камеры", которые сопротивляются противоположному влиянию.
      
      Теоретическая модель универсальной ньютоновской динамики предлагает язык для анализа подобных явлений. Влияние, вирусный пост, поддержка знаменитости, новостное событие не меняют общественное мнение напрямую. Они ускоряют или замедляют существующую тенденцию. Эффект зависит не только от силы влияния, но и от текущей динамики общественного мнения. Сильное влияние, соответствующее текущей динамике, приводит к резкому ускорению. То же самое влияние, противодействующее динамике, может лишь замедлить тенденцию, не изменив её.
      
      Политические кампании интуитивно понимают динамику импульса, даже если не используют ньютоновскую терминологию. Создание импульса - ключевая цель кампании: формирование ощущения роста поддержки, возрастающей вероятности победы, присоединения к кампании - это присоединение к победоносному движению. Это не просто управление восприятием; импульс реален. Кампания с растущей поддержкой привлекает ещё больше сторонников благодаря положительной обратной связи. Кампания, теряющая поддержку, отталкивает потенциальных сторонников, создавая отрицательную обратную связь.
      
      Динамика поляризации также может быть понята через эту призму. Поляризация включает в себя не только расхождение во мнениях, но и расхождение во взглядах. Одна группа ускоряется в одном направлении, а другая - в противоположном. Ускорение создает дальнейшее разделение, и тенденции становятся самоподдерживающимися. Модели первого порядка, предсказывающие мнение на основе текущих условий, упускают это из виду; они не могут объяснить, почему поляризация сохраняется и углубляется, даже когда лежащие в её основе факторы остаются стабильными.
      
      Для деполяризации необходимо не просто ознакомить людей с различными точками зрения, но и изменить динамику формирования общественного мнения. Это сложнее, чем кажется. Человек, чьи взгляды стремительно поляризуются, не сразу отреагирует на противоположные доказательства; его собственная инерция ведёт его вперёд. Для замедления этой динамики, а затем и для её изменения, необходимо устойчивое противодействие противоположным взглядам. Это требует времени и настойчивости, поэтому краткосрочные вмешательства часто оказываются неэффективными.
      
      Распространение дезинформации происходит по схожей динамике. Ложное утверждение не убеждает сразу всех, кто с ним сталкивается. Но если оно набирает обороты, если им делится больше людей, если оно становится ассоциироваться с социальной идентичностью, то тенденция начинает жить своей собственной жизнью. Усилия по развенчанию дезинформации сталкиваются с проблемой противостояния накопленному импульсу, а не только текущему влиянию.
      
      Для тех, кто стремится влиять на социальные процессы, данная концепция предлагает практические рекомендации. Помните, что воздействие происходит ускорением, а не ускорением. Не ожидайте мгновенных результатов; ожидайте постепенных изменений по мере того, как ваше влияние будет оказываться. Наращивайте импульс целенаправленно: небольшие первоначальные успехи создают скорость, которая поддерживает последующие усилия. Понимайте инерцию вашей целевой группы населения: группам с высокой инерцией необходимы постоянные усилия; группы с низкой инерцией могут быстро меняться, но могут также и отдалиться.
      
      Для тех, кто стремится понять социальную динамику, эта концепция предлагает объединяющую перспективу. Закономерности импульса, инерции и ускорения, которые наблюдаются в физических системах, также проявляются в социальных системах, не случайно, а потому что обе удовлетворяют структурным аксиомам. Когда множество факторов объединяются и должны действовать независимо от текущих тенденций, возникает динамика второго порядка. Социальная динамика не является исключением из этой математической истины.
      ;
      ГЛАВА 10: ОРГАНИЗАЦИИ И ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ
      
      Организации относятся к числу наиболее устойчивых структур в современном обществе. Корпорация, основанная столетие назад, может продолжать функционировать и сегодня, сохраняя свою идентичность, несмотря на полную смену персонала, продукции и стратегий. Государственная бюрократия может пережить несколько политических режимов, а её процессы останутся неизменными после революций. Эта устойчивость свидетельствует о значительной инерции организаций. Изменение их траектории требует постоянных усилий, прилагаемых в течение длительного времени.
      
      В исследованиях организационных изменений это давно признано. Такие термины, как структурная инерция и институциональная инерция, описывают, как организации сопротивляются изменениям. Но эти концепции часто оставались качественными и метафорическими. Концепция универсальной ньютоновской динамики предлагает способ сделать их точными.
      
      Рассмотрим организацию как систему с определенной траекторией развития. В любой момент времени она имеет текущее состояние: ее процессы, культуру, показатели эффективности, стратегическое положение. Это состояние меняется с определенной скоростью: процессы улучшаются или ухудшаются, культура меняется, производительность растет или падает. Скорость изменений имеет свою собственную динамику: скорость, с которой происходит улучшение, ускоряется или замедляется.
      
      Вмешательства руководства, рыночное давление, изменения в законодательстве - все это факторы, влияющие на организацию. Но они не меняют состояние напрямую; они меняют темп изменений. Новая стратегия не мгновенно трансформирует организацию; она ускоряет трансформацию, которая происходит со временем. Конкурентная угроза не сразу повышает эффективность; она ускоряет повышение эффективности, которое накапливается постепенно.
      
      Эта точка зрения объясняет, почему организационные изменения так сложны. Первичное мышление предполагает, что сильное вмешательство приводит к немедленным результатам. Лидеры объявляют о новых стратегиях, запускают инициативы, провозглашают преобразования, а затем разочаровываются, когда мало что меняется быстро. Проблема не в том, что вмешательство было слабым, а в том, что оно воздействовало на ускорение, а не на скорость. Даже сильное ускорение требует времени, чтобы создать существенную скорость, а существенная скорость требует времени, чтобы создать существенное перемещение.
      
      Организационная инерция имеет множество источников. В крупных организациях много людей, чьи привычки и навыки должны меняться; это создает сопротивление. Устоявшиеся процессы оптимизированы для существующих условий; их изменение приводит к краткосрочной неэффективности. Культура воплощает накопленный опыт и общие представления; ее пересмотр требует пересмотра убеждений людей. Каждый из этих источников вносит свой вклад в общую инерцию, сопротивление изменениям в организационной траектории.
      
      Размер организации сильно влияет на её инерцию. В крупных организациях больше людей, больше процессов, больше накопленного опыта. Изменение направления требует координации большего количества элементов, преодоления большего сопротивления, распространения изменений через большее количество уровней. Именно поэтому стартапы могут быстро менять направление, в то время как устоявшиеся корпорации меняют его медленно. Разница не только в бюрократии; это физика. Большая масса означает большую инерцию.
      
      Возраст также влияет на инерцию. Более старые организации обладают более укоренившимися привычками, более прочной культурой и большим накопленным опытом. Молодые организации еще не выработали сильных инерционных сил. Это объясняет, почему молодые организации более адаптивны, но и более уязвимы: низкая инерция делает их восприимчивыми к изменениям, но также и уязвимыми для потрясений.
      
      Успех может усиливать инерцию. Успешная организация обретает уверенность в своих методах. Зачем менять то, что работает? Эта уверенность порождает сопротивление альтернативным подходам. Тот самый успех, который сделал организацию сильной, становится препятствием для адаптации при изменении обстоятельств. Это дилемма новатора в инерционном смысле: успех порождает инерцию, которая препятствует реагированию на разрушительные изменения.
      
      Кризис может снизить инерцию. Когда выживанию угрожает опасность, организации становятся более склонны к изменениям. Обычное сопротивление внедрению новых подходов ослабевает. Люди принимают изменения, которым обычно сопротивлялись бы. Именно поэтому кризис часто является катализатором трансформации: он временно уменьшает эффективную массу организации, позволяя тем же силам создавать более значительные ускорения.
      
      Для руководителей, стремящихся к преобразованиям в организациях, данная концепция предлагает несколько важных моментов. Во-первых, ожидайте задержек. Даже для эффективных мер требуется время, чтобы получить видимые результаты. Не отказывайтесь от стратегии только потому, что немедленные результаты отсутствуют; ускорение может происходить даже тогда, когда скорость еще не очевидна. Во-вторых, измеряйте импульс, а не только положение. Увеличивается ли темп улучшения? Это важнее, чем текущий уровень улучшения.
      
      В-третьих, наращивайте темп целенаправленно. Первые успехи, какими бы незначительными они ни были, создают импульс, который облегчает последующий прогресс. Инициатива перемен с положительным импульсом привлекает поддержку; инициатива с отрицательным импульсом отталкивает ее. Первоначальные инвестиции в наращивание импульса окупаются позже, когда накопленный импульс продвигает перемены вперед.
      
      В-четвертых, необходимо поддерживать усилия в течение длительного времени. Кратковременные интенсивные вмешательства могут на мгновение ускорить изменения, но без постоянного воздействия инерция организации постепенно замедлит изменения и в конечном итоге обратит их вспять. Устойчивая трансформация требует постоянного внимания до тех пор, пока новая траектория не станет новой нормой, пока инерция, которая сопротивлялась изменениям, не начнет их сохранять.
      
      В-пятых, по возможности уменьшите инерцию. Упростите процессы, предоставьте возможность принятия решений на местах, разбейте крупные изменения на более мелкие, которые могут развиваться независимо. Сокращение организационной массы, в смысле уменьшения сложности и координации, необходимых для изменений, позволяет тем же самым силам производить более масштабные результаты.
      
      Данная концепция также проливает свет на причины организационных неудач. Организации терпят неудачу не только потому, что находятся в невыгодном положении, но и потому, что обладают отрицательной инерцией и высоким импульсом. Приходящая в упадок организация продолжает приходить в упадок даже при улучшении обстоятельств, потому что ее траектория ведет вниз. Для того чтобы остановить упадок, необходима устойчивая позитивная сила, достаточная для того, чтобы сначала остановить отрицательный импульс, а затем создать положительный. Это сложнее, чем кажется, поэтому попытки переломить ситуацию так часто терпят неудачу.
      
      Слияния и поглощения можно анализировать с этой точки зрения. Объединение организаций означает объединение их импульсов. Если обе организации имеют положительный импульс в совместимых направлениях, объединение может ускориться. Если же импульсы противоречат друг другу, объединение может привести к путанице и застою, поскольку организации будут сопротивляться согласованию. Проблемы интеграции часто связаны с проблемами импульса: разные части объединенной организации тянут в разных направлениях.
      
      В этой концептуальной модели устойчивость организационной культуры становится более очевидной. Культура - это не просто набор ценностей, а траектория с накопленным импульсом. Изменение культуры означает изменение этой траектории, что требует постоянного воздействия в течение длительного времени. Быстрые изменения культуры - это оксюморон; культура - это именно тот накопленный импульс, который сопротивляется быстрым изменениям.
      
      Для консультантов и агентов перемен эта концепция предоставляет диагностические инструменты. Когда организация сопротивляется изменениям, происходит ли это из-за слишком слабых сил или из-за слишком высокой инерции? Рекомендации разные. Слабые силы необходимо усилить. Высокую инерцию необходимо снизить, или же необходимо скорректировать ожидания в отношении более медленных изменений. Первичное мышление путает эти понятия, предписывая усиление сил, тогда как реальная проблема заключается в инерции.
      
      Данная концепция не решает сложных проблем организационных изменений. Она не указывает, какую стратегию следует выбрать, как мотивировать людей или как ориентироваться в политических интригах. Но она обеспечивает структурное понимание того, почему изменения даются тяжело и какова их динамика. Это понимание помогает диагностировать проблемы, устанавливать реалистичные ожидания и разрабатывать меры, которые работают в соответствии с естественной динамикой организационных систем, а не против нее.
      ;
      ГЛАВА 11: ОБУЧЕНИЕ И ЛИЧНОСТНОЕ РАЗВИТИЕ
      
      Обучение - это траектория. В любой момент человек обладает определенным уровнем навыков или знаний. Этот уровень меняется с определенной скоростью: он улучшается, стагнирует или снижается. Сама скорость изменений имеет свою динамику: улучшение может ускоряться по мере накопления мастерства или замедляться, когда первоначальные достижения сменяются застоем.
      
      Такой взгляд на обучение как на динамику второго порядка позволяет получить ценные сведения, которые упускает мышление первого порядка. Мышление первого порядка задает вопрос: какова скорость обучения при текущих условиях? Если ученик практикуется и получает обратную связь, обучение должно происходить. Если практика прекращается, обучение прекращается. Но это упускает из виду импульс обучения, то, как быстрое улучшение, как правило, продолжается, а стагнация, как правило, сохраняется.
      
      Рассмотрим двух учеников с одинаковым уровнем подготовки. Один быстро прогрессирует; другой застрял на этом уровне на несколько месяцев. Модель первого порядка рассматривает их одинаково: одинаковое положение означает одинаковый прогноз. Но любой учитель знает, что они очень разные. У ученика, который прогрессирует, есть импульс; при постоянной практике он, вероятно, продолжит продвигаться вперед. У ученика, застрявшего на этом уровне, скорость нулевая; даже постоянная практика может не привести к прогрессу без какого-либо вмешательства для возобновления движения.
      
      Концепция инерции обучения отражает сопротивление изменению траектории обучения. Ученик, находящийся на этапе быстрого прогресса, накопил импульс, который продвигает его вперед, даже когда качество практики колеблется. Ученик, застрявший на этапе, накопил сопротивление; чтобы снова заставить его двигаться вперед, необходимо преодолеть эту инерцию. Сила, необходимая для ускорения обучения, зависит от инерционных характеристик обучающегося.
      
      Что определяет инерцию обучения? На это влияют несколько факторов. Предварительные знания создают основу, которая поддерживает или препятствует усвоению новой информации. Плотные, хорошо организованные предварительные знания облегчают усвоение новой информации; скудные или содержащие ошибочные представления предварительные знания создают сопротивление. Когнитивная нагрузка влияет на то, насколько легко обучающийся может обрабатывать новую информацию. Высокая нагрузка создает эффективную инерцию; новая информация не может быть усвоена, когда вычислительные мощности насыщены.
      
      Мотивация сложным образом влияет на инерцию обучения. Высокая мотивация может снизить эффективную инерцию, увеличивая силу, которую обучающийся прикладывает к собственному развитию. Высокомотивированный обучающийся активно ищет вызовы, глубоко обрабатывает обратную связь и упорствует, преодолевая трудности. Эта приложенная им самим сила ускоряет обучение сверх того, что могло бы дать только внешнее обучение. Низкая мотивация увеличивает эффективную инерцию, снижая приложенную им самим силу, в результате чего обучающийся становится зависимым от внешнего обучения, которое может оказаться недостаточным.
      
      Привычки способствуют инерции в обучении. У студента с хорошо сформированными учебными привычками в распорядке дня заложен положительный импульс. Даже без особых усилий эти привычки продвигают обучение вперед. Студенту без таких привычек приходится постоянно прилагать усилия, чтобы просто поддерживать процесс обучения; любая ошибка приводит к замедлению. Формирование хороших привычек - это создание импульса в обучении; избавление от плохих привычек - это преодоление отрицательного импульса.
      
      Феномен плато в процессе освоения навыков становится более понятным на втором уровне. В начале обучения наблюдается быстрый прогресс: новые навыки и концепции вызывают интерес, прогресс очевиден, мотивация высока. Затем прогресс замедляется. Плато - это не отсутствие обучения, а нулевая скорость: обучающийся поддерживает свой уровень, но не продвигается вперед. Проблема в том, что нулевая скорость имеет тенденцию сохраняться; инерция удерживает обучающегося на плато, если не приложить достаточную силу.
      
      Для преодоления застоя требуется ускорение, а не просто продолжение усилий. Практика, которая поддерживала застой, не поможет его преодолеть. Для позитивного ускорения необходимо что-то изменить: новые методы обучения, новые задачи, новые перспективы. Эти новые силы должны преодолеть инерцию, удерживающую обучающегося на нулевом уровне, и создать позитивный импульс для дальнейшего совершенствования.
      
      Правило десяти тысяч часов, идея о том, что для достижения экспертного уровня требуется примерно десять тысяч часов целенаправленной практики, может быть понята в рамках этой модели. Часы накапливают не только навыки, но и импульс. Начальная практика создает скорость; дальнейшая практика увеличивает эту скорость. Общий уровень мастерства, конечный уровень навыков, зависит как от вложенного времени, так и от скорости, достигнутой на этом пути. Просто тратить время недостаточно; практика должна ускорять обучение.
      
      Для учителей и тренеров данная концепция предлагает сосредоточиться на ускорении, а не просто на обучении. Хорошее преподавание не просто передает информацию; оно ускоряет процесс обучения. Оно создает импульс, который продвигает ученика вперед между уроками. Оно уменьшает эффективную инерцию, организуя материал для легкой интеграции. Оно признает, что один и тот же контент, преподаваемый учащимся с разным импульсом, дает разные результаты.
      
      Обратная связь играет решающую роль в динамике обучения. В более широком смысле, обратная связь - это сила, которая ускоряет или замедляет обучение. Положительная обратная связь подкрепляет эффективные модели поведения в процессе обучения, ускоряя прогресс. Отрицательная обратная связь корректирует неэффективное поведение, замедляя негативные тенденции. Время предоставления обратной связи имеет значение: обратная связь, поступающая, когда обучающийся еще находится в неправильном направлении, более эффективна, чем обратная связь после того, как он уже достиг нового стабильного состояния.
      
      Понятие потока, состояние активного погружения в сложную деятельность, связано с динамикой обучения. Поток обычно возникает, когда навыки и сложность задачи соответствуют друг другу, и когда деятельность сопровождается немедленной обратной связью. В более широком смысле, поток - это состояние устойчивого позитивного ускорения: обучающийся совершенствуется, чувствует это улучшение, и это улучшение мотивирует к дальнейшему вовлечению, которое приводит к дальнейшему прогрессу. Поток - это наиболее позитивная динамика обучения.
      
      В более широком смысле, личностное развитие подчиняется схожей динамике. Изменение привычек, развитие характера, формирование навыков - все это предполагает траектории, обладающие импульсом и инерцией. Быстрые решения редко работают, поскольку они оказывают кратковременное воздействие на системы с высокой инерцией. Устойчивые изменения требуют постоянных усилий, которые со временем создают позитивный импульс.
      
      Предложенная концепция вселяет надежду наряду с реализмом. Да, перемены даются нелегко из-за инерции. Но инерция работает в обе стороны. Как только позитивный импульс нарастает, он, как правило, сохраняется. То же сопротивление, которое затрудняло начало, помогает поддерживать прогресс после его начала. Ключ к успеху - вложить усилия на начальном этапе в создание импульса, а не ожидать немедленных результатов. Терпеливые, постоянные усилия, наращивающие темп, в конечном итоге приведут к большим переменам, чем интенсивные, кратковременные усилия, которые не могут преодолеть инерцию.
      
      Для тех, кто стремится к самосовершенствованию, практический посыл ясен. Отслеживайте не только свой текущий уровень, но и свою траекторию. Вы улучшаетесь? С какой скоростью? Эта скорость увеличивается или уменьшается? Вырабатывайте привычки и системы, которые поддерживают позитивное ускорение даже при изменении мотивации. Когда вы застряли, осознайте, что вам нужно изменить свое ускорение, а не просто продолжать делать то, что вы делали раньше. Ищите силы, учителей, вызовы, среду, которые могут преодолеть вашу инерцию и возобновить движение.
      
      Обучение и развитие - это непрерывный процесс, длящийся всю жизнь. Концепция универсальной ньютоновской динамики не упрощает его, но делает понятным. Те же принципы, которые управляют физическим движением, управляют движением навыков и знаний на протяжении всей жизни. Понимание этих принципов помогает ориентироваться на этом пути.
      ;
      ГЛАВА 12: СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ И ИНЖЕНЕРНЫЕ РЕШЕНИЯ
      
      Инженеры занимаются динамикой второго порядка уже более века, хотя и не всегда используют эту терминологию. В области теории управления, изучающей способы регулирования систем для достижения желаемого поведения, давно было обнаружено, что стратегии управления первого порядка неэффективны для систем с инерцией. Решения, разработанные инженерами-управленцами, обеспечивают практическое подтверждение теоретической основы и предлагают уроки для других областей.
      
      Рассмотрим простейшую задачу управления: поддержание переменной на заданном значении. Термостат поддерживает температуру. Круиз-контроль поддерживает скорость. Регулятор напряжения поддерживает уровень напряжения питания. Контроллер измеряет текущее значение, сравнивает его с желаемым значением и применяет корректирующие действия на основе разницы.
      
      Наиболее интуитивно понятной стратегией управления является пропорциональное регулирование: корректировка применяется пропорционально ошибке. Если температура на два градуса ниже заданного значения, нагревайте вдвое сильнее, чем если бы она была на один градус ниже. Это принцип первого порядка: текущая ошибка определяет текущую корректировку.
      
      Пропорциональное управление неэффективно для систем со значительной инерцией. По мере приближения температуры к заданному значению коррекция уменьшается. Но тепло, уже находящееся в системе, продолжает повышать температуру. Система выходит за пределы заданного значения, затем чрезмерно корректирует его, колеблясь вокруг него вместо того, чтобы плавно стабилизироваться. Чем быстрее реагирует контроллер, тем сильнее колебания, поскольку более быстрая реакция означает меньше времени для рассеивания импульса системы.
      
      Классическое решение - ПИД-регулирование: пропорциональное, интегральное, дифференциальное. Пропорциональный член реагирует на текущую ошибку. Интегральный член реагирует на накопленную ошибку во времени, корректируя постоянные смещения. Производный член, что крайне важно, реагирует на скорость изменения ошибки.
      
      В производной члене явно проявляется мышление второго порядка. Реагируя на скорость изменения ошибки, а не только на её величину, контроллер предвидит, куда движется система. Если ошибка быстро уменьшается, производная члена снижает корректирующие действия, предотвращая перерегулирование. Если ошибка быстро растёт, производная члена увеличивает корректирующие действия, ускоряя реакцию.
      
      В терминологии универсальной ньютоновской динамики производная часть вводит скорость в поле зрения контроллера. Пропорциональный контроллер видит только положение, то есть ошибку. ПИД-контроллер видит как положение, так и скорость, ошибку и скорость её изменения. Такое понимание второго порядка позволяет ему учитывать импульс системы и применять соответствующую коррекцию.
      
      История ПИД-регулирования весьма поучительна. Инженеры разработали его эмпирическим путем, методом проб и ошибок, в начале ХХ века. Они не выводили его из фундаментальных принципов; на практике они обнаружили, что производная предотвращает колебания и повышает стабильность. Теоретическое понимание пришло позже, когда теоретики управления проанализировали, почему работает ПИД-регулирование. Практика предшествовала теории.
      
      Эта закономерность, когда специалисты эмпирически обнаруживают поправки второго порядка раньше, чем теоретики их объясняют, повторяется в разных областях. Исследователи в области машинного обучения открыли понятие импульса, прежде чем понять, почему он полезен. Экономисты открыли понятие корректировки тренда, прежде чем формализовать его необходимость. Инженеры-программисты открыли понятие управления производными, прежде чем полностью проанализировать его стабилизирующий эффект. Одно и то же структурное требование проявляется во всех областях, приводя к аналогичным решениям, найденным независимо друг от друга.
      
      Современная теория управления выходит за рамки ПИД-регулятора и использует более сложные подходы. Методы пространства состояний моделируют системы с точки зрения переменных состояния и их динамики, явно представляя положение, скорость и производные более высоких уровней как независимые компоненты состояния системы. Оптимальное управление находит стратегии управления, которые минимизируют целевые функции, учитывая при этом динамику системы. Модель прогнозирующего управления использует модели динамики системы для прогнозирования будущего поведения и соответствующей оптимизации управления.
      
      Все эти передовые методы учитывают структуру второго порядка. Они признают, что системами с инерцией нельзя управлять, реагируя только на текущее положение. Контроллер должен моделировать динамику системы, включая ее импульс, и учитывать этот импульс при внесении корректировок. Стратегии управления первого порядка подходят только для систем без значительной инерции, которые являются скорее исключением, чем правилом в инженерных приложениях.
      
      Концепция устойчивости занимает центральное место в теории управления. Устойчивая система возвращается к заданному значению после возмущений; неустойчивая система расходится. Системы второго порядка могут демонстрировать сложное поведение устойчивости: колебания вокруг заданного значения, медленный дрейф или взрывное расхождение. Понимание устойчивости требует понимания инерции системы и того, как управляющие силы взаимодействуют с ней.
      
      Для других областей техники управления является наглядным примером работы с динамикой второго порядка. Полученные знания применимы и в других сферах: системы с инерцией требуют контроллеров, учитывающих скорость, а не только положение; прогнозирование направления движения системы предотвращает перерегулирование; устойчивость зависит от согласования динамики контроллера с динамикой системы.
      
      Робототехника предоставляет наглядные примеры. Роботизированная рука должна перемещаться в желаемые положения, избегая колебаний и перерегулирования. Простое управление положением, указывающее руке, куда двигаться, без учета ее текущей скорости, приводит к рывкам и нестабильности. Правильное управление требует моделирования динамики руки, включая инерцию ее звеньев, и приложения сил, учитывающих импульс.
      
      Динамика транспортных средств напрямую иллюстрирует законы физики второго порядка. Автомобили, самолеты и корабли обладают массой и импульсом, которые необходимо учитывать при управлении. Остановка автомобиля требует прогнозирования его дальнейшего движения во время торможения. Поворот корабля требует планирования траектории с учетом его импульса. Системы управления в современных транспортных средствах используют сложные модели динамики транспортного средства для обеспечения плавного и безопасного управления, несмотря на инерцию системы.
      
      Управление технологическими процессами в производстве сталкивается со схожими проблемами. Химические реакции обладают тепловой инерцией; регулирование температуры требует времени. Системы с потоками обладают гидравлической инерцией; изменение скорости потока требует преодоления накопленного импульса. Механические системы обладают физической инерцией; ускорение или замедление оборудования требует силы и времени. Инженеры-технологи используют теорию управления для управления этой динамикой, проектируя контроллеры, которые стабилизируют процессы, несмотря на их присущую инерцию.
      
      Главный вывод из теории управления заключается в том, что динамика второго порядка - это не теоретическая абстракция, а практическая реальность. Инженеры сталкиваются с ней каждый день. Разработанные ими решения, ПИД-регулирование и его производные, работают, потому что они корректно учитывают структуру систем второго порядка. Эти решения могут быть полезны в других областях, где действует аналогичная динамика, но она менее явно учитывается.
      
      Для специалистов в любой области подход инженерного управления предлагает практическую основу. Определите заданное значение: какого состояния вы хотите достичь или поддерживать? Измерьте текущую ошибку: насколько вы далеки от заданного значения? Измерьте скорость изменения: в каком направлении вы движетесь и с какой скоростью? Разработайте свою стратегию вмешательства с учетом обоих факторов: исправьте ошибку, одновременно предвидя, куда вас приведет текущий импульс. Эта структура применима независимо от того, управляете ли вы температурой, рыночной позицией, организацией или личной привычкой.
      ГЛАВА 13: ДИАГНОСТИЧЕСКИЙ ПРОТОКОЛ НА ПРАКТИКЕ
      
      Теория ценна только тогда, когда её можно применить на практике. Концепция универсальной ньютоновской динамики предлагает не только понимание, но и практический диагностический протокол для оценки и улучшения моделей. В этой главе я хочу сделать этот протокол конкретным, показав, как использовать его при решении реальных задач моделирования.
      
      Протокол начинается с фундаментального вопроса: какие факторы влияют на эту систему и как их следует комбинировать? Это не вопрос математики; это вопрос о природе моделируемой системы. Ответ на него определяет, необходима ли структура второго порядка.
      
      Рассмотрим практический пример. Вы строите модель для прогнозирования продаж продукта. На продажи влияют множество факторов: расходы на рекламу, действия конкурентов, сезонные колебания, экономические условия, качество продукции. Первый диагностический вопрос: должны ли эти факторы суммироваться? То есть, если реклама вносит определенный вклад в рост продаж, а экономические условия - другой, должен ли совокупный эффект быть суммой этих вкладов?
      
      Во многих случаях ответ приблизительно положительный. Удвоение рекламных расходов примерно удваивает их эффект при прочих равных условиях. Добавление благоприятных экономических условий примерно суммирует их эффект с тем, что уже вносила реклама. Могут быть некоторые взаимодействия, но в первом приближении эффекты суммируются. Если это так, то первое условие для структуры второго порядка выполняется.
      
      Второй диагностический вопрос: должны ли эти факторы действовать независимо от текущей тенденции продаж? То есть, должна ли рекламная кампания иметь одинаковый эффект независимо от того, быстро ли растут продажи, быстро падают или остаются на прежнем уровне? Этот вопрос затрагивает суть проблемы.
      
      Внимательно подумайте, что это значит. В модели первого порядка факторы напрямую влияют на скорость изменения продаж. Модель гласит: при текущих продажах и текущих факторах вот с какой скоростью меняются продажи. Но это подразумевает, что влияние фактора зависит от текущего состояния, которое включает в себя любую информацию о скорости, неявно заложенную в спецификации модели. Фактор не может иметь действительно независимого влияния, поскольку скорость не является свободной переменной.
      
      В модели второго порядка факторы влияют на ускорение роста продаж. Успешная рекламная кампания ускоряет рост продаж: если продажи растут, они растут быстрее; если продажи падают, спад замедляется. Одна и та же кампания оказывает одинаковое ускоряющее воздействие независимо от текущей траектории. Это независимость от скорости: сила одинакова независимо от того, движется объект быстро или медленно.
      
      Если оба условия выполнены, и присутствуют аддитивные факторы, не зависящие от скорости, то система требует структуры второго порядка. Модель первого порядка будет демонстрировать характерные недостатки: неспособность различать системы одного уровня с разными тенденциями, систематические ошибки в точках перегиба, необходимость постоянной перекалибровки по мере изменения условий.
      
      Таким образом, диагностический протокол состоит из четырех шагов. Шаг первый: определить факторы или воздействия, действующие на систему. Шаг второй: выяснить, должны ли эти факторы суммироваться аддитивно. Шаг третий: выяснить, должны ли эти факторы действовать независимо от текущей тенденции. Шаг четвертый: если оба ответа "да", использовать структуру второго порядка; если хотя бы один из ответов "нет", может быть достаточно структуры первого порядка.
      
      Позвольте мне привести несколько примеров, чтобы показать, как это работает на практике.
      
      Пример первый: прогнозирование температуры в помещении с системами отопления и охлаждения. Факторы включают мощность обогревателя, мощность охладителя, температуру наружного воздуха и количество находящихся в помещении людей. Должны ли они суммироваться аддитивно? Примерно да: тепло от обогревателя добавляется к теплу от находящихся в помещении людей; охлаждение уменьшает его. Должны ли они действовать независимо от текущей тенденции изменения температуры? Да: обогреватель добавляет одинаковое количество тепла независимо от того, нагревается или охлаждается помещение в данный момент. Эта система требует структуры второго порядка, поэтому термостаты используют дифференциальное управление.
      
      Пример второй: прогнозирование концентрации химического вещества в реакции. К факторам относятся скорости различных реакций, приток и отток веществ. Должны ли они суммироваться аддитивно? Часто да, для разбавленных систем, где реакции протекают независимо друг от друга. Должны ли они действовать независимо от текущей тенденции изменения концентрации? Это зависит от химических процессов. В простых реакциях первого порядка скорость реакции зависит от концентрации, а это значит, что факторы не действуют независимо от состояния системы. Такие системы могут быть адекватно смоделированы с помощью динамики первого порядка.
      
      Третий пример: прогнозирование цен акций. Факторы включают фундаментальные показатели компании, рыночные настроения, макроэкономические условия, отраслевые тенденции. Должны ли они суммироваться? Приблизительно, учитывая их влияние на ускорение роста цен. Должны ли они действовать независимо от текущей ценовой тенденции? Это ключевой вопрос. Ускоряет ли позитивные новости о прибыли рост цен одинаково, независимо от того, растут акции или падают? Эмпирически ответ, похоже, приблизительно положительный, что предполагает целесообразность использования структуры второго порядка и объясняет, почему работают стратегии импульса.
      
      Протокол диагностики - это не механическая процедура, автоматически генерирующая правильные модели. Он требует оценки природы моделируемой системы. Но он фокусирует внимание на правильных вопросах. Вместо вопроса "как подогнать эти данные?" он спрашивает, какую структуру должна иметь эта модель, учитывая принцип работы системы. Вопрос о структуре логически предшествует вопросу о подгонке.
      
      Когда протокол указывает на необходимость структуры второго порядка, преобразование выполняется прямолинейно. Возьмем исходную переменную состояния, назовем ее x. Введем скорость v в качестве независимой переменной, представляющей скорость изменения x. Запишем два уравнения вместо одного: одно описывает, как x изменяется в зависимости от v, другое - как v изменяется в зависимости от факторов. Теперь факторы влияют на ускорение, а не непосредственно на скорость.
      
      Для этого преобразования необходимо задать начальные условия как для положения, так и для скорости. Модели первого порядка достаточно знать только текущее состояние; модели второго порядка достаточно знать текущее состояние и текущий тренд. Это дополнительное требование к информации не является ошибкой, а преимуществом: оно отражает тот факт, что системы, находящиеся в одном и том же состоянии, но имеющие разные тренды, будут развиваться по-разному. Для корректных прогнозов модели необходимо знать тренд.
      
      Преобразование также требует определения или оценки инерции: того, насколько сильно система сопротивляется изменениям тренда. В физических системах это масса, измеряемая в килограммах. В других системах ее необходимо оценивать на основе данных или структурных характеристик. Отношение величины воздействия к наблюдаемому ускорению дает эффективную инерцию. Высокая инерция означает, что воздействия вызывают малые ускорения; низкая инерция означает, что воздействия вызывают большие ускорения.
      
      Протокол диагностики можно применять ретроспективно к существующим моделям. Возьмем модель, которая работает плохо, демонстрирует перерегулирование, колебания или плохую экстраполяцию. Зададим вопрос, должны ли факторы в модели комбинироваться аддитивно и действовать независимо от тренда. Если да, и если модель является моделью первого порядка, вы выявили структурную проблему. Решение состоит не в корректировке параметров, а в расширении пространства состояний для включения скорости.
      
      Практическая ценность протокола заключается в замене метода проб и ошибок принципиальной диагностикой. Вместо того чтобы пробовать различные формы моделей и выяснять, какая из них лучше всего подходит, мы можем определить подходящую форму, исходя из основных принципов. На диагностические вопросы не всегда легко ответить, но их постановка позволяет сосредоточить внимание на том, что действительно важно: структуре влияния и взаимодействия в моделируемой системе.
      ;
      ГЛАВА 14: ОГРАНИЧЕНИЯ И РАСШИРЕНИЯ
      
      Ни одна модель не подходит для всего. Универсальная ньютоновская динамика, несмотря на свое название, имеет свои границы. Понимание этих границ имеет важное значение для правильного использования данной модели. В этой главе я хочу подробно рассказать о том, где данная модель неприменима и как ее можно расширить для обработки более сложных случаев.
      
      Наиболее существенное ограничение касается самих аксиом. Данная модель применима, когда выполняются условия устойчивости, аддитивности и независимости от скорости. Когда эти аксиомы не выполняются, выводы не следуют из неё. Рассмотрим пример нарушения каждой из этих аксиом.
      
      Принцип устойчивости может нарушиться, когда системы обладают сильными аттракторами или точками равновесия. Шар в чаше не сохраняет постоянную скорость; он колеблется и в конце концов оседает на дне. В помещении с термостатом температура не остается постоянной; она возвращается к заданному значению. Рынок с сильным возвратом к среднему значению не движется свободно; его тянет обратно к справедливой стоимости. В таких системах заложены восстанавливающие силы, и принцип чистой устойчивости не работает.
      
      Однако даже системы с аттракторами часто демонстрируют динамику второго порядка вокруг этих аттракторов. Шар в чаше обладает инерцией; он перескакивает через дно и колеблется, прежде чем стабилизироваться. Температура превышает заданное значение. Рынок может вернуться к среднему значению, но с импульсом, который вызывает перескакивание. Таким образом, отказ от устойчивости не обязательно делает модель недействительной; может потребоваться ее модификация для включения восстанавливающих сил наряду с инерцией.
      
      Эффект аддитивности может исчезнуть, когда факторы взаимодействуют нелинейно. Лекарство, безопасное само по себе, может быть опасно в сочетании с другим лекарством. Рекламная кампания может быть неэффективной до тех пор, пока осведомленность рынка не достигнет определенного порога, а затем внезапно стать эффективной. Социальному движению может потребоваться критическая масса, прежде чем оно сможет распространиться; ниже этого порога увеличение усилий не дает дополнительных результатов.
      
      Эти нелинейные взаимодействия реальны и важны. Когда они доминируют, аддитивная модель перестаёт работать. Но во многих системах взаимодействия являются вторичными. Эффекты приблизительно аддитивны в нормальных рабочих диапазонах, а нелинейность проявляется только в крайних случаях. Модель может быть применима в нормальных условиях, даже если она перестаёт работать при экстремальных нагрузках.
      
      Независимость от скорости может нарушаться, когда эффект воздействия действительно зависит от текущего движения. Классическим примером является трение: сила трения, действующая на движущийся объект, зависит от его скорости и противодействует движению. Сопротивление воздуха увеличивается со скоростью. Влияние на рынок, то есть воздействие сделок на цены, может зависеть от скорости текущего движения рынка. Эти эффекты, зависящие от скорости, распространены в физических системах и могут проявляться и в других областях.
      
      Интересно, что силы, зависящие от скорости, могут быть включены во вторую модель, не отказываясь от неё. Трение появляется в уравнении как член, пропорциональный скорости, но основная структура второго порядка сохраняется. Модель может обрабатывать силы, зависящие от скорости; она просто не может обрабатывать полное отсутствие скорости в качестве независимой переменной. Таким образом, зависимость некоторых сил от скорости не является фатальной для модели.
      
      Более серьёзное ограничение касается стохастических систем. Представленная модель предполагает детерминированную динамику: зная текущее положение и скорость, определяется будущая траектория. Реальные системы часто подвержены случайным воздействиям: рыночному шуму, ошибкам измерений, непредсказуемым событиям. Применима ли данная модель в случаях, когда случайность существенна?
      
      Ответ - да, с оговорками. Стохастические версии динамики второго порядка существуют и хорошо изучены. Уравнение Ланжевена добавляет случайное воздействие к ньютоновской динамике, создавая системы, которые обладают импульсом и инерцией, а также подвергаются воздействию шума. Такие системы обладают четко определенными статистическими свойствами: они не следуют детерминированным траекториям, но следуют вероятностным распределениям, которые эволюционируют в соответствии с принципами второго порядка.
      
      Дискретные системы представляют собой еще одно ограничение. Предложенная модель предполагает непрерывные пространства состояний с плавной динамикой. Но многие системы являются дискретными: популяция индивидов, сеть узлов, рынок с дискретными сделками. Когда дискретные системы достаточно велики, они часто ведут себя приблизительно как непрерывные системы. Рынок с миллионами сделок можно аппроксимировать как непрерывный. Модель непрерывных систем применяется в качестве аппроксимации, причем аппроксимация улучшается по мере увеличения размера системы.
      
      Квантовая механика представляет собой наиболее фундаментальное ограничение. На квантовом уровне классические понятия положения и скорости становятся проблематичными. Принцип неопределенности Гейзенберга гласит, что невозможно одновременно точно знать и то, и другое. Квантовые системы эволюционируют в соответствии с уравнением Шрёдингера, которое является уравнением первого порядка по времени, а не второго порядка, как уравнение Ньютона.
      
      Однако квантовая и классическая механика не просто противоречат друг другу. При рассмотрении среднего поведения квантовых систем часто возникают классические уравнения. Это теорема Эренфеста: ожидаемые значения квантовых наблюдаемых подчиняются уравнениям, подобным классическим. Таким образом, на уровне средних значений и макроскопического поведения часто применяется подход второго порядка, даже когда лежащая в основе квантовая механика является первого порядка в своем собственном пространстве состояний.
      
      Для обработки более сложных случаев возможно несколько расширений данной структуры. Зависимость инерции от состояния позволяет параметру массы изменяться в зависимости от положения или скорости. Это позволяет описывать системы, где сопротивление изменениям варьируется в зависимости от текущего состояния. Рынки могут иметь более высокую эффективную инерцию в периоды затишья и более низкую эффективную инерцию во время кризисов.
      
      Нелинейное воздействие позволяет взаимодействиям комбинироваться нелинейно, сохраняя при этом структуру второго порядка. Линейность комбинации воздействий ослабляется, но независимость скорости как переменной состояния сохраняется. Это позволяет учитывать насыщение, пороговые значения и другие нелинейные эффекты, сохраняя при этом структурное понимание импульса.
      
      Взаимодействующие системы включают в себя множество компонентов, каждый из которых имеет собственное положение, скорость и динамику. Компоненты влияют друг на друга, создавая сложное коллективное поведение. Данная модель применима к каждому компоненту в отдельности, но взаимосвязь создает возникающую динамику на уровне системы.
      
      Эти расширения сохраняют основную идею, одновременно учитывая большую сложность. Суть идеи заключается в том, что скорость должна быть независимой, чтобы аддитивное взаимодействие, не зависящее от скорости, имело смысл. Эта идея остается в силе даже при обобщении или модификации других аспектов структуры.
      
      Знание ограничений той или иной модели так же важно, как и знание её сильных сторон. Универсальная ньютоновская динамика применима не ко всему. Но в рамках своей области применения она предоставляет ценные идеи. Задача специалистов - оценить, когда их подход соответствует их возможностям, а когда нет, применяя модель там, где она уместна, и ища альтернативы там, где она не подходит.
      ;
      ГЛАВА 15: МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЙ ИМПЕРАТИВ
      
      На протяжении всей книги я утверждал, что одни и те же структурные принципы проявляются в совершенно разных областях. Рынки, эпидемии, системы обучения, социальные движения, организации - все они демонстрируют динамику, которую можно понять через призму универсальной ньютоновской динамики. Это происходит не потому, что эти области по сути одинаковы, а потому, что они сталкиваются со схожими структурными ограничениями, которые приводят к формированию схожих структур.
      
      Это наблюдение имеет глубокие последствия для того, как мы организуем знания и проводим исследования. Если одни и те же принципы действуют в разных областях, то границы между академическими дисциплинами в важном смысле являются искусственными. Они отражают исторические случайности организации университетов, а не естественную структуру реальности.
      
      Я хочу уточнить, что имею в виду. Я не говорю, что все знания следует объединить в одну недифференцированную массу. Специализация имеет огромную ценность. Глубокий эксперт в одной области может видеть то, чего не видит специалист широкого профиля. Накопленные знания в рамках различных дисциплин представляют собой столетия кропотливой работы, которую нельзя отбрасывать.
      
      Я имею в виду, что междисциплинарные границы могут стать препятствием для понимания, когда они мешают распознаванию междисциплинарных закономерностей. Физик, глубоко разбирающийся в динамике импульса, может обладать знаниями, актуальными для экономиста, изучающего динамику рынка, но междисциплинарные барьеры препятствуют диалогу. Инженер-теоретик, решивший проблемы устойчивости, может обладать методами, применимыми к организационному управлению, но эти области не говорят на одном языке.
      
      Наиболее ярким свидетельством этой проблемы является закономерность независимого повторного открытия. Импульс в машинном обучении, управление производными в инженерии, корректировка трендов в экономике - это одно и то же структурное понимание, облеченное в разные термины. Каждая область открыла его независимо, потому что каждая столкнулась с одной и той же структурной преградой: модели первого порядка не работают для систем с инерцией. Решение было одинаковым, потому что проблема была одинаковой. Но области не знали, что решают одну и ту же проблему.
      
      Это огромная трата интеллектуальных усилий. Сколько времени можно было бы сэкономить, если бы экономисты раньше поняли, что их проблемы прогнозирования похожи на проблемы управления, которые уже решили инженеры? Насколько быстрее могло бы развиваться машинное обучение, если бы исследователи начали с зрелого понимания систем второго порядка в теории управления? Колесо постоянно изобретается заново, потому что изобретатели не знают, что колесо уже существует в другой области.
      
      Решение заключается не в упразднении дисциплин, а в создании большего количества мостов между ними. Для этого нужны люди, готовые глубоко изучать различные области, чтобы распознавать структурные сходства. Необходимы форумы, где исследователи из разных дисциплин могут встречаться и находить общие проблемы. Необходимы системы поощрения, которые вознаграждают как синтез, так и специализацию.
      
      В настоящее время академические стимулы препятствуют междисциплинарному синтезу. Комитеты по присвоению званий хотят видеть публикации в ведущих журналах собственной области. Грантовые агентства финансируют проекты в рамках устоявшихся областей. Комитеты по найму ищут экспертов в признанных специальностях. Эти стимулы подталкивают исследователей к углублённому изучению узких областей и отдаляют их от широкого охвата различных дисциплин.
      
      В результате люди, наиболее склонные к выявлению междисциплинарных закономерностей, зачастую наименее вероятно получают за это вознаграждение. Молодой исследователь, заметивший, что теория управления может пролить свет на экономику, сталкивается с выбором: либо следовать этому открытию, рискуя своей карьерой, либо оставаться в рамках своей дисциплины. Большинство выбирают безопасность, и это открытие остается неиспользованным.
      
      Я считаю, что это одна из важнейших проблем, стоящих перед современной наукой. Основные задачи внутри отдельных дисциплин уже практически решены. Наибольшие возможности остаются на стыке, в связях между областями знаний, которые ещё никто не установил. Но наши институциональные структуры плохо приспособлены для того, чтобы воспользоваться этими возможностями.
      
      Что нужно сделать, чтобы изменить ситуацию? Несколько реформ могли бы помочь. Во-первых, подготовка аспирантов могла бы включать в себя знакомство с различными дисциплинами, а не только поверхностные обзорные курсы, но и серьезное изучение методов и идей смежных областей. Аспирант-экономист мог бы посвятить семестр изучению теории управления; студент, изучающий машинное обучение, мог бы изучать экономическую динамику.
      
      Во-вторых, финансирующие организации могли бы создавать программы, специально предназначенные для междисциплинарного синтеза. Не междисциплинарные проекты, которые применяют методы одной области к проблемам другой, которые уже существуют, а проекты, направленные на выявление структурных общих черт в разных областях. Такие проекты не дадут новых эмпирических результатов, а создадут новые теоретические концепции, объединяющие существующие знания.
      
      В-третьих, университеты могли бы создавать должности и кафедры, специально ориентированные на синтез. Подобно тому, как одни должности предназначены для преподавания, а другие для исследований, некоторые могли бы быть предназначены для интеграции: для ученых, чья задача - находить связи между областями знаний и делать их доступными.
      
      В-четвертых, издательская деятельность могла бы развиваться таким образом, чтобы больше ценить синтез. В настоящее время статья, связывающая две области, может быть воспринята скептически рецензентами из обеих: экономисты считают, что это не настоящая экономика; теоретики управления считают, что это не настоящая теория управления. Журналы, специально посвященные структурному синтезу, могли бы стать площадкой для таких работ.
      
      Эти реформы встречают сопротивление, потому что они бросают вызов устоявшимся интересам. Дисциплинарные кафедры охраняют свою территорию. Ведущие ученые, построившие карьеру в одной области, могут не приветствовать предположения о том, что их экспертные знания являются частью более широкой закономерности, которую они не заметили. Изменения будут происходить медленно.
      
      Однако интеллектуальные аргументы в пользу междисциплинарного синтеза сильны и становятся всё сильнее. По мере накопления знаний внутри отдельных областей, отдача от них начинает снижаться. В то же время возможности на стыке областей растут. В конце концов, давление в пользу реформ станет непреодолимым.
      
      Эта книга - мой скромный вклад в решение этой проблемы. Показав, что один и тот же структурный принцип лежит в основе явлений во многих областях, я надеюсь продемонстрировать, что междисциплинарный синтез не только интеллектуально интересен, но и практически ценен. Те же самые идеи, которые помогают обучать нейронные сети, также помогают прогнозировать рынки, разрабатывать политику и управлять организациями. Осознание этого многократно увеличивает отдачу от интеллектуальных вложений.
      
      Междисциплинарный подход не является призывом к дилетантизму. Поверхностные знания во многих областях менее ценны, чем глубокие знания в одной. Цель состоит в глубоких знаниях в нескольких областях, достаточных для распознавания того, когда одна и та же структура проявляется в разных обличьях. Это сложно, и немногие могут этого достичь. Но те, кто это делает, имеют возможность внести вклад, недоступный для отдельных специалистов.
      
      Будущее принадлежит тем, кто способен увидеть единство, скрывающееся за кажущимся разнообразием. Одни и те же закономерности действительно повторяются в разных областях. Научиться их видеть - одно из величайших интеллектуальных приключений нашего времени.
      ;
      ГЛАВА 16: ВЗГЛЯД В БУДУЩЕЕ
      
      Наше путешествие по универсальной ньютоновской динамике подошло к концу. Но каждый конец - это также и начало. Идеи, изложенные в этой книге, не являются окончательными ответами; это отправные точки для дальнейших исследований. В этой заключительной главе я хочу наметить некоторые направления для будущей работы и пригласить читателей внести свой вклад в продолжающееся исследование.
      
      Наиболее насущная потребность - эмпирическое тестирование. Я утверждал на теоретических основаниях, что системы, удовлетворяющие определенным аксиомам, требуют структуры второго порядка, и что модели первого порядка для таких систем будут давать сбои характерным образом. Эти утверждения проверяемы. Можно взять модели из различных областей, применить диагностический протокол и сравнить производительность спецификаций первого и второго порядка. Если теория верна, модели второго порядка должны превосходить модели первого порядка именно тогда, когда диагностический протокол указывает на это.
      
      Подобное тестирование требует сотрудничества между теоретиками и практиками. Теоретик предоставляет диагностическую основу; практик - экспертные знания в предметной области и доступ к реальным системам. Вместе они могут оценить, оправдывает ли эта основа возложенные на нее ожидания. Я надеюсь, что эта книга найдет отклик у читателей из разных областей, готовых проводить подобные тесты в своих сферах деятельности.
      
      Второе направление - теоретическое расширение. Представленная структура рассматривает простейший случай: детерминированную динамику на непрерывных пространствах состояний с постоянной инерцией и аддитивными влияниями. Реальные системы более сложны. Они содержат шум, нелинейность, инерцию, зависящую от состояния, дискретные элементы и связь с другими системами. Расширение структуры для систематического решения этих сложностей является важной теоретической работой.
      
      Некоторые расширения просты. Добавление шума посредством стохастического воздействия хорошо изучено математически. Инерцию, зависящую от состояния, можно включить без изменения базовой структуры. Но другие расширения сложнее. Сильно нелинейные системы могут демонстрировать качественно иную динамику, которую линейная модель не может описать. Дискретные системы в малых масштабах могут потребовать принципиально иных подходов. Границы модели необходимо определить более точно.
      
      Третье направление - практическое применение. Описанный мной диагностический протокол - это инструмент для практиков. Но инструменты нуждаются в совершенствовании в процессе использования. Применяя протокол на практике, специалисты обнаружат случаи, когда он работает безупречно, и случаи, когда его необходимо модифицировать. Они разработают эмпирические правила для ответа на диагностические вопросы в своих областях. Они создадут специфические для своей области варианты общей структуры, которые будут говорить на языке их сферы деятельности.
      
      Я представляю себе сообщество практиков, объединенных вокруг универсальной ньютоновской динамики, охватывающее множество областей, обменивающееся опытом и идеями. То, что работает в одной области, может выявить проблемы в другой. Взаимопроникновение идей, которое становится возможным благодаря этой концепции, само по себе должно стать источником прогресса.
      
      Четвёртое направление - образовательное. Идеи, изложенные в этой книге, в настоящее время не входят в стандартную образовательную программу ни в одной области. Экономисты не изучают структурную необходимость динамики второго порядка. Студенты, изучающие машинное обучение, открывают для себя импульс, не понимая его теоретической основы. Теоретики организации говорят об инерции метафорически, не зная, что её можно уточнить.
      
      Включение этих идей в образовательный процесс могло бы ускорить их внедрение и совершенствование. Курс по динамическому моделированию мог бы включать модуль по универсальной ньютоновской динамике, обучающий студентов применению диагностического протокола перед выбором структуры модели. Такая подготовка позволила бы подготовить специалистов, которые начинают с подходящей структуры, а не обнаруживают её методом проб и ошибок.
      
      Пятое направление - философское. Предложенная концепция поднимает глубокие вопросы о природе научного объяснения. Почему одни и те же структуры встречаются в разных областях? Является ли это фактом о реальности или фактом о том, как мы её моделируем? Что означает необходимость динамической структуры при соблюдении определённых аксиом? Как структурные объяснения соотносятся с причинно-следственными объяснениями?
      
      Эти вопросы связаны с давними дебатами в философии науки о природе законов, единстве науки и роли математики в физическом объяснении. Предложенная концепция представляет собой конкретный пример для изучения этих вопросов, обосновывая абстрактные философские дискуссии конкретным математическим содержанием.
      
      В заключение я хочу сказать несколько слов о духе исследования, который, как я надеюсь, эта книга будет поощрять. Идеи, представленные здесь, возникли из простых вопросов и следования за ними, куда бы они ни привели. Почему модели первого порядка терпят неудачу? Почему импульс помогает? Почему аналогичные поправки появляются в несвязанных областях? Эти вопросы привели к созданию концептуальной основы, которая объединяет явления в разных областях.
      
      Подобные вопросы могут привести к иным открытиям. Несомненно, существуют и другие структурные принципы, действующие в разных областях, которые ждут своего признания. Несомненно, есть и другие случаи, когда специалисты из разных областей решают одну и ту же проблему, используя разные термины, не зная о работе друг друга. Выявление таких случаев и установление явных связей - ценная интеллектуальная работа.
      
      Я призываю читателей развивать привычку искать междисциплинарные закономерности. Когда вы сталкиваетесь с хорошо работающим методом, спросите, почему. Когда вы видите похожие решения в разных областях, спросите, что у них общего. Когда модель дает сбой характерным образом, спросите, какой структурной особенности ей не хватает. Эти вопросы - семена синтеза.
      
      Мир гораздо более взаимосвязан, чем предполагают наши дисциплинарные категории. Осознание этих связей приносит как интеллектуальное удовлетворение, так и практическую пользу. Оно превращает отдельные факты в примеры общих принципов. Оно позволяет знаниям распространяться за пределы границ, многократно увеличивая их ценность. Оно раскрывает глубокое единство, скрывающееся за кажущимся разнообразием.
      
      Ньютон видел дальше, потому что стоял на плечах гигантов. Мы можем видеть еще дальше, признавая, что гиганты разных областей часто смотрели на одно и то же с разных сторон. Объединение их взглядов - великий интеллектуальный проект нашего времени.
      
      Я не знаю, куда приведет этот проект. В этом отчасти и заключается его захватывающий характер. Концепция универсальной ньютоновской динамики - это лишь один из вкладов в проект, но это не конец. Предстоит еще многое открыть, установить множество связей, обнаружить множество новых идей. Я надеюсь, эта книга вдохновит других присоединиться к исследованию.
      
      Путешествие продолжается.
      ;
      ЗАКЛЮЧЕНИЕ
      
      Мы прошли долгий путь вместе. От законов движения Ньютона до динамики рынка, от распространения эпидемий до машинного обучения, от социальных движений до организационных изменений. На каждой остановке мы сталкивались с одним и тем же фундаментальным выводом: системы, в которых множество факторов объединяются и воздействуют на тенденции, требуют особого типа модели. Они требуют от нас отслеживания не только того, где находятся объекты, но и того, в каком направлении они движутся и с какой скоростью.
      
      Это не просто технический нюанс. Он отражает нечто более глубокое в структуре самого взаимодействия. Когда влияния суммируются аддитивно, когда их эффекты не зависят от текущей траектории, когда системы сохраняют свои текущие тенденции, если на них ничего не воздействует, тогда становится необходимой специфическая математическая структура. Не удобная, не полезная, но необходимая. Модели первого порядка, игнорирующие скорость как независимую переменную, будут давать сбои не время от времени или непредсказуемо, а систематически и по поддающимся определению причинам.
      
      Я назвал эту концепцию "Универсальной ньютоновской динамикой" не для того, чтобы утверждать, что Ньютон предвидел всё, а чтобы признать, что его концепция отражает структурные истины, выходящие за рамки физики. Те же закономерности, которые управляют падающими яблоками, управляют и растущими рынками, распространением идей и алгоритмами обучения. Не потому, что эти системы состоят из одного и того же материала, а потому, что они организованы в соответствии со схожими принципами.
      
      Что мы узнали? Позвольте мне кратко изложить основные выводы.
      
      Во-первых, мир проще, чем кажется. Несмотря на кажущуюся сложность рынков, эпидемий, нейронных сетей и социальных движений, во всех этих областях действуют схожие принципы. Это не выдача желаемого за действительное, а следствие математической структуры. Когда системы удовлетворяют определенным аксиомам, они должны демонстрировать определенное поведение. Аксиомы не универсальны, но они достаточно распространены, чтобы сделать междисциплинарные знания ценными.
      
      Во-вторых, теперь у нас есть практический диагностический инструмент. Прежде чем строить или проверять какую-либо динамическую модель, мы можем задать простой вопрос: суммируются ли воздействия на эту систему аддитивно, и должны ли они действовать независимо от текущего направления изменения системы? Если да, и если модель отслеживает только текущие состояния без скорости, то модель структурно неполна. Она выйдет из строя предсказуемым образом, который никакая настройка параметров не сможет исправить.
      
      Во-третьих, закономерность независимых открытий в разных областях не случайна. Инженеры обнаружили, что системам управления необходимы производные члены. Исследователи в области машинного обучения обнаружили, что оптимизации необходим импульс. Экономисты обнаружили, что прогнозированию необходима корректировка тренда. Эпидемиологи обнаружили, что поведение обладает инерцией. Это были не отдельные открытия, а одно и то же открытие, проявляющееся в разных терминах. Понимание общей структуры помогает нам более эффективно передавать знания.
      
      В-четвертых, междисциплинарное мышление - это не роскошь, а необходимость. Границы между академическими областями - это лишь административные удобства. Они помогают организовывать университеты и журналы, но не отражают того, как устроена реальность. Одни и те же структурные принципы действуют во всех областях, и признание этого открывает новые возможности для прогресса. Прорыв в физике может пролить свет на экономику. Прозрение из теории управления может преобразовать эпидемиологию. Наиболее значительные достижения происходят благодаря тем, кто готов смотреть за пределы границ.
      
      В-пятых, и, пожалуй, самое важное, понимание структуры меняет наше представление о содержании. Принцип структурной диагностики различает форму динамических законов и их содержание. Форма, структура второго порядка, ограничена аксиомами. Содержание, конкретные воздействия и их величины, остаются эмпирическими. Это различие важно, потому что оно показывает, что можно узнать из первых принципов, а что необходимо измерить. Оно указывает, где искать универсальные идеи, а где ожидать специфических для конкретной области деталей.
      
      Я хочу вернуться к методологической теме, с которой началась эта книга. Я предположил, что одна из наиболее плодотворных стратегий в науке - это взять успешные концепции из одной области и задаться вопросом, применимы ли они в более широком контексте. Не путем поверхностных аналогий, а путем тщательного изучения того, выполняются ли структурные условия, обеспечившие работу концепции в одном месте, в других местах.
      
      Именно это я и пытался сделать с законами Ньютона. Я задавался вопросом не о том, состоят ли рынки из частиц или имеют ли мнения массу, а о том, могут ли структурные аксиомы, делающие ньютоновскую механику необходимой в физике, также выполняться в других областях. Ответ, как я утверждал, - да, по крайней мере, иногда. Когда эти аксиомы выполняются, ньютоновская модель применяется не по аналогии, а по математической необходимости.
      
      Этот подход имеет значение не только для конкретного случая универсальной ньютоновской динамики. Он предлагает общую программу научного объединения. Вместо того чтобы рассматривать каждую область как изолированный остров, мы должны искать структурные мосты, которые их соединяют. Мы должны задаться вопросом, какие условия делают необходимыми те или иные концептуальные основы, а затем искать эти условия в разных областях.
      
      Конечно, у этой программы есть ограничения. Не каждая концептуальная модель является обобщающей. Не каждая аналогия между областями отражает глубинную структуру. Главная сложность заключается в различении подлинных структурных связей от поверхностных сходств. Это требует математической строгости для установления связей и эмпирических исследований для проверки выполнения условий. Я надеюсь, эта книга продемонстрировала, как может выглядеть такая работа.
      
      Что еще предстоит сделать? Идеи, изложенные в этой книге, открывают множество вопросов для будущих исследований. Как измерить инерцию в нефизических системах? Как поступать в случаях, когда аддитивность является приблизительной, а не точной? Можно ли расширить эту концепцию на стохастические системы, где случайность играет значительную роль? Можно ли связать ее с квантовой механикой, где классические понятия положения и скорости становятся проблематичными? Это не возражения против предложенной концепции, а приглашения к дальнейшим исследованиям.
      
      Я также надеюсь, что специалисты в различных областях возьмутся за решение этой диагностической задачи. Посмотрите на свои модели. Спросите себя, отслеживают ли они скорость как независимую переменную. Если нет, и если структурные условия соблюдены, подумайте, может ли расширение пространства состояний улучшить их производительность. Это проверяемое предсказание, и я был бы рад увидеть его проверку во многих областях.
      
      В заключение я хотел бы сказать несколько слов о духе, в котором я излагаю эти идеи. Я не претендую на создание окончательной теории или полного понимания. Наука так не работает. Я надеюсь, что мне удалось предложить полезную перспективу, способ мышления о системах, который освещает явления во многих областях. Если мне это удалось, то некоторые читатели обогатят свое понимание, улучшат свои модели и пробудят любопытство.
      
      Самый важный урок, пожалуй, самый простой: факторы влияют на тенденции, а не на уровни. Силы изменяют скорость, а не положение. Ускоряет процесс, меняет скорость изменений то, где происходит действие. Это понимание, если его правильно усвоить, преобразует наше представление о причинно-следственных связях, прогнозировании и контроле во всех областях, где сочетаются многочисленные факторы.
      
      Ньютон дал нам не только законы движения. Он дал нам шаблон для понимания взаимодействия. Этот шаблон применим далеко за пределами физики, к любой системе, где воздействия суммируются и действуют независимо от текущих тенденций. Осознание этого превращает отдельные, специфические для конкретной области идеи в главы более масштабной истории.
      
      Эта история еще не закончена. Эта книга - мой вклад в нее. Я надеюсь, что она не станет последним словом, но вдохновит других продолжить исследования, найти новые применения, выдвинуть новые возражения и углубить наше понимание структурных принципов, управляющих сложными системами.
      
      Мир взаимосвязан таким образом, что мы только начинаем это понимать. Одни и те же закономерности повторяются в разных обличьях. Одни и те же принципы действуют под разными названиями. Наблюдение за этими связями - одно из величайших удовольствий интеллектуальной жизни, и я благодарен за возможность поделиться тем, что я увидел.
      
      Спасибо, что прошли этот путь вместе со мной.
      
      ГЛОССАРИЙ ТЕРМИНОВ
      
      Этот глоссарий содержит определения ключевых терминов, используемых в книге. Определения призваны быть доступными для широкого круга читателей, оставаясь при этом достаточно точными для практического применения. Термины объясняются в контексте универсальной ньютоновской динамики и ее применения в различных областях.
      
      Ускорение: скорость изменения скорости во времени. В универсальной ньютоновской динамике ускорение - это то, на что действуют факторы. Когда вы толкаете что-либо, вы не меняете напрямую его положение или даже скорость; вы меняете скорость изменения этой скорости. Ускорение - это вторая производная положения по времени, то есть оно измеряет, как изменяется сама скорость изменения. В нефизических системах ускорение показывает, как тенденция изменения величины ускоряется или замедляется.
      Аддитивность: Одна из трех основных аксиом универсальной ньютоновской динамики. Аддитивность означает, что когда на систему одновременно действуют несколько воздействий, их эффекты суммируются простым сложением. Если воздействие А вызывает ускорение определенной величины, а воздействие В - ускорение другой величины, то А и В вместе создают ускорение, равное их сумме. Это свойство имеет важное значение для данной модели, поскольку позволяет анализировать сложные ситуации, понимая отдельные воздействия по отдельности, а затем комбинируя их.
      Агентная модель: вычислительная модель, которая имитирует действия и взаимодействия отдельных агентов для оценки их влияния на систему в целом. В отличие от непрерывных моделей, описывающих совокупное поведение с помощью дифференциальных уравнений, агентные модели отслеживают каждого участника отдельно. Эти модели полезны, когда важна индивидуальная неоднородность и когда непрерывное приближение не работает, особенно для небольших популяций или дискретных решений.
      Аттрактор: состояние или набор состояний, к которым система стремится эволюционировать с течением времени, независимо от начальных условий. У шара в чаше есть аттрактор на дне; куда бы вы его ни поместили, он в конечном итоге там и остановится. Системы с сильными аттракторами могут нарушать аксиому устойчивости, поскольку они притягиваются к определенным состояниям, а не продолжают свои текущие траектории. Однако динамика второго порядка все еще может применяться вокруг аттракторов, вызывая колебания и перерегулирование.
      Аксиома: основополагающее предположение, принимаемое за отправную точку для рассуждений. В этой книге три аксиомы определяют область применения универсальной ньютоновской динамики: устойчивость, аддитивность и компенсация. Эти аксиомы не претендуют на звание универсальных истин; это структурные условия, которые либо выполняются, либо не выполняются для любой данной системы. Данная концепция применима, когда эти условия выполняются, и неприменима, когда они не выполняются.
      Поведенческая инерция: тенденция к сохранению моделей поведения человека даже при изменении обстоятельств. Люди не мгновенно корректируют свои привычки, распорядок дня или реакции при изменении условий. Вместо этого изменения в поведении происходят постепенно, при этом старые модели сохраняются благодаря инерции. Эта концепция имеет решающее значение для понимания того, почему эпидемиологические модели, предполагающие немедленную поведенческую реакцию на темпы распространения инфекции, часто оказываются несостоятельными.
      Пузырь: На финансовых рынках это ситуация, когда цены быстро растут выше фундаментальных значений, движимые импульсом и спекуляциями, а не реальной стоимостью. Пузыри иллюстрируют динамику второго порядка: цены обладают импульсом, который несёт их вверх, даже когда фундаментальные показатели указывают на снижение. Пузырь продолжает существовать до тех пор, пока не накопится достаточное отрицательное ускорение, чтобы изменить тенденцию, что часто приводит к быстрому обвалу.
      Калибровка: процесс корректировки параметров модели в соответствии с наблюдаемыми данными. В контексте универсальной ньютоновской динамики калибровка включает в себя оценку параметров инерции, определение силы различных воздействий и установку начальных условий как для положения, так и для скорости. Правильная калибровка требует понимания того, соответствует ли структура модели структуре системы.
      Причинно-следственная структура: модель причинно-следственных связей в системе. В рамках этой модели различают причинно-следственную структуру первого порядка, где факторы напрямую определяют темпы изменений, и причинно-следственную структуру второго порядка, где факторы определяют темпы изменений. Понимание причинно-следственной структуры имеет важное значение для прогнозирования того, как вмешательства повлияют на поведение системы.
      Компартментальная модель: подход к моделированию, который делит популяцию на отдельные категории или компартменты и отслеживает потоки между ними. Классическим примером является модель SIR в эпидемиологии: Восприимчивые, Инфицированные, Выздоровевшие. Стандартные компартментальные модели являются моделями первого порядка, предсказывая скорости переходов из текущих популяций компартментов. Добавление поведенческого импульса требует расширения до структуры второго порядка.
      Компенсация: Одна из трёх основных аксиом универсальной ньютоновской динамики. Компенсация гласит, что в замкнутой системе сохраняется полный импульс. Внутренние взаимодействия перераспределяют импульс между компонентами, не изменяя его общий. Эта аксиома является наиболее специфичной с физической точки зрения из трёх, хотя у неё есть аналоги в других областях, таких как сохранение стоимости в замкнутых экономических транзакциях.
      Конфигурационное пространство: пространство всех возможных положений или состояний, которые может занимать система, независимо от скоростей. В физике конфигурационное пространство для отдельной частицы представляет собой обычное трехмерное пространство. Для более сложных систем конфигурационное пространство может быть многомерным. Ключевое различие заключается между конфигурационным пространством, которое включает только положение, и фазовым пространством, которое включает как положение, так и скорость.
      Теория управления: раздел инженерии, занимающийся регулированием систем для достижения желаемого поведения. Теория управления разработала сложные методы для работы с системами, обладающими инерцией, включая ПИД-регулирование и методы пространства состояний. Эта область обеспечивает практическую проверку принципов динамики второго порядка и предлагает методы, применимые к другим областям.
      Ковариантная производная: математическая операция, обобщающая обычную производную на искривлённые пространства. В римановой геометрии ковариантная производная учитывает, как сама система координат изменяется от точки к точке. Это необходимо для корректного определения ускорения на искривлённых многообразиях, где простого дифференцирования компонент скорости недостаточно.
      Критическая масса: минимальное количество чего-либо, необходимое для запуска или поддержания процесса. В социальных процессах критическая масса относится к числу первых последователей, необходимых для того, чтобы идея или поведение распространились самостоятельно. Ниже критической массы система не обладает достаточной скоростью для поддержания роста; выше нее распространение происходит за счет инерции.
      Затухание: сила или воздействие, которое противодействует движению и вызывает уменьшение скорости с течением времени. В физических системах трение является силой затухания. В других системах затухание может представлять собой сопротивление изменениям, регулирующее трение или естественное затухание тенденций. Затухание - это сила, зависящая от скорости, которую можно включить в модель второго порядка.
      Дифференциальное управление: компонент системы управления, который реагирует на скорость изменения ошибки, а не только на саму ошибку. Буква D в ПИД-регулировании. Дифференциальное управление предвидит направление движения системы и соответствующим образом корректирует её работу, предотвращая перерегулирование в системах с инерцией. Оно представляет собой внедрение учета скорости в стратегию управления.
      Детерминированная система: Система является детерминированной, если ее будущее поведение полностью определяется ее текущим состоянием и законами, управляющими ее эволюцией. При одинаковых начальных условиях детерминированная система всегда развивается одинаковым образом. Базовая структура универсальной ньютоновской динамики предполагает детерминированную динамику, хотя существуют и стохастические расширения.
      Дифференциальное уравнение: уравнение, содержащее производные, которые описывают скорость изменения. Дифференциальные уравнения первого порядка содержат первые производные; уравнения второго порядка содержат вторые производные. Порядок дифференциального уравнения определяет, включает ли состояние системы только положение или также скорость.
      Смещение: Изменение положения во времени. В рамках данной модели смещение представляет собой суммарный эффект скорости. Система с постоянной положительной скоростью будет иметь возрастающее смещение от начальной точки. Понимание взаимосвязи между ускорением, скоростью и смещением имеет важное значение для прогнозирования поведения системы.
      Динамика: наука об изменении систем во времени под воздействием сил или взаимодействий. Динамика описывает не только статические состояния, но и законы, управляющие переходами между состояниями. Универсальная ньютоновская динамика конкретно рассматривает динамику второго порядка, где состояние включает в себя как положение, так и скорость.
      Эхо-камера: социальная среда, где люди сталкиваются только с информацией и мнениями, которые подкрепляют их существующие убеждения. Эхо-камеры влияют на социальную инерцию, уменьшая воздействие противоположных факторов. Внутри эхо-камера может бесконтрольно нарастать волна мнений, приводя к поляризации. Выход из эхо-камер требует преодоления инерции устоявшихся моделей коммуникации.
      Эффективность: В рыночных условиях это степень, в которой цены отражают всю доступную информацию. Гипотеза эффективного рынка предполагает, что цены мгновенно включают в себя новую информацию, что может показаться противоречащим динамике. Однако эффективность касается взаимосвязи между ценами и информацией, в то время как инерция касается динамики корректировки. Рынки могут быть эффективными в достижении цели, но демонстрировать динамику на пути к ней.
      Собственное значение: математическое понятие из линейной алгебры, характеризующее поведение систем, описываемых матрицами. В контексте динамических систем собственные значения определяют устойчивость: растут ли возмущения или затухают, и с какой скоростью. Системы с определенными конфигурациями собственных значений демонстрируют колебания, характерные для слабозатухающих систем второго порядка.
      Эластичность: показатель того, насколько чувствительна одна переменная к изменениям другой. В экономике ценовая эластичность спроса измеряет, насколько изменяется объем спроса при изменении цены. Высокая эластичность означает низкую инерцию: система сильно реагирует на изменения. Низкая эластичность означает высокую инерцию: система сопротивляется изменениям.
      Эмерджентность: появление сложных закономерностей или моделей поведения в результате взаимодействия более простых компонентов. Динамика второго порядка может возникать из правил микроуровня первого порядка при соответствующем агрегировании. Понимание эмерджентности помогает объяснить, почему динамика ньютоновской формы появляется в системах, которые, очевидно, не подчиняются законам Ньютона.
      Равновесие: состояние, при котором система остается неизменной во времени, и все силы уравновешиваются. Системы могут иметь стабильные состояния равновесия, к которым они возвращаются после возмущения, или нестабильные состояния равновесия, от которых они отдаляются. Системы второго порядка могут колебаться вокруг состояний равновесия из-за импульса, чего не могут демонстрировать системы первого порядка.
      Эргодичность: свойство систем, в которых усредненные по времени значения равны усредненным по ансамблю значениям. В эргодических системах наблюдение одной траектории в течение длительного времени дает те же статистические данные, что и наблюдение множества траекторий в течение короткого времени. Это свойство важно для сопоставления теоретических предсказаний с эмпирическими наблюдениями в стохастических системах.
      Эволюция: изменение во времени в соответствии с некоторым динамическим законом. В контексте этой книги эволюция относится к тому, как изменяется состояние системы, описываемое дифференциальными уравнениями, которые описывают её динамику. Понимание формы уравнений эволюции имеет центральное значение для данной концепции.
      Экспоненциальный рост: рост, при котором темп увеличения пропорционален текущему размеру. Экспоненциальный рост характерен для систем первого порядка с положительной обратной связью. В отличие от этого, рост второго порядка включает ускорение: темп роста может увеличиваться или уменьшаться независимо от текущего размера.
      Экстраполяция: прогнозирование будущих значений путем продолжения прошлых тенденций. Модели первого порядка экстраполируют, сохраняя текущие темпы изменений. Модели второго порядка экстраполируют, учитывая ускорение: темп изменений сам по себе может меняться. Это делает экстраполяцию второго порядка более точной для систем с импульсом.
      Обратная связь: процесс, при котором выходной сигнал системы влияет на её собственный входной сигнал. Положительная обратная связь усиливает изменения; отрицательная обратная связь их ослабляет. Петли обратной связи играют центральную роль во многих динамических системах и могут создавать сложное поведение, включая колебания и хаос во вторичных системах.
      Динамика первого порядка: динамика, в которой состояние полностью определяется только положением, а уравнение эволюции напрямую определяет скорость. В системах первого порядка скорость напрямую зависит от положения: при заданном положении и воздействии скорость определяется однозначно. Эта структура не может поддерживать аддитивный, независимый от скорости отклик на воздействия, поэтому она не работает для систем, удовлетворяющих аксиомам.
      Поток: В психологии - состояние полного погружения в деятельность. В динамическом плане поток представляет собой устойчивое позитивное ускорение: человек совершенствуется, чувствует это улучшение, и это улучшение мотивирует к дальнейшему участию. Поток - это наиболее позитивный импульс обучения.
      Сила: В физике это то, что вызывает ускорение. В более общем смысле, это любое воздействие, изменяющее скорость или тенденцию системы . Данная концепция обобщает понятие силы на любую область, где воздействия суммируются и действуют на ускорение. Понимание роли силы в каждой области является ключом к применению данной концепции.
      Трение: сила, противодействующая движению и зависящая от скорости. Трение заставляет движущиеся объекты замедляться и в конечном итоге останавливаться. Во второй динамике трение - это сила, зависящая от скорости, которую можно учитывать без изменения базовой структуры. Трение объясняет, почему системы в конечном итоге стабилизируются, а не продолжают существовать бесконечно.
      Геодезическая: кратчайший путь между двумя точками на искривленной поверхности, или, в более общем случае, путь с нулевым ускорением в римановой геометрии. В отсутствие сил объекты следуют по геодезическим. В плоском евклидовом пространстве геодезические - это прямые линии. Аксиома персистентности гласит, что не подверженные воздействию системы следуют по геодезическим.
      Градиент: вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции. В оптимизации градиент показывает, как корректировать параметры для улучшения производительности. Градиентный спуск движется в направлении отрицательного градиента. Градиент действует как сила в ландшафте оптимизации, и методы импульса рассматривают эту силу в соответствии с динамикой второго порядка.
      Градиентный спуск: алгоритм оптимизации, который итеративно корректирует параметры в направлении, противоположном градиенту. Простой градиентный спуск - это алгоритм первого порядка: текущий градиент определяет текущую скорость параметра. Добавление момента импульса преобразует его в оптимизацию второго порядка, где градиент влияет на ускорение, а скорость накапливается.
      Гамильтониан: функция, представляющая полную энергию системы, используемая в гамильтоновой механике. Гамильтоновы формулировки переформулируют динамику второго порядка в конфигурационном пространстве как динамику первого порядка в фазовом пространстве. Эта переформулировка не противоречит основной концепции; скорее, она иллюстрирует необходимость удвоения фазового пространства.
      Гильбертово пространство: бесконечномерное обобщение евклидова пространства, фундаментальное для квантовой механики. Состояние квантовой системы представляет собой вектор в гильбертовом пространстве, а эволюция описывается уравнением Шрёдингера, которое является уравнением первого порядка по времени. Классическая динамика второго порядка возникает для ожидаемых значений благодаря теореме Эренфеста.
      Гистерезис: зависимость состояния системы от её истории, а не только от текущих условий. Системы с гистерезисом ведут себя по-разному в зависимости от того, приближаются ли они к состоянию сверху или снизу. Это своего рода память, которую динамика второго порядка фиксирует посредством скорости: системы, находящиеся в одном и том же положении с разными скоростями, имеют разную историю.
      Импульс: сила, приложенная в течение короткого времени и вызывающая внезапное изменение импульса. Импульс мгновенно изменяет скорость, но не положение. В динамике второго порядка импульсы представляют собой идеализированные силы, которые являются полезными аналитическими инструментами. На практике все силы действуют в течение конечного времени, вызывая постепенные изменения скорости.
      Инерция: Сопротивление изменениям скорости или тенденции. В физике инерция количественно определяется массой: для ускорения более массивных объектов требуется большая сила. В общем смысле инерция представляет собой то, что делает систему устойчивой к изменениям скорости её развития. Рыночная инерция, инерция обучения, организационная инерция - все они отражают специфические для данной области формы этого сопротивления.
      Информационная геометрия: область, которая применяет дифференциальную геометрию к вероятностным распределениям. Информационная геометрия предоставляет инструменты для понимания того, как развиваются состояния убеждений, потенциально связываясь с этой концепцией через метрику информации Фишера. Эта связь предполагает, что рациональная корректировка убеждений может демонстрировать структуру второго порядка.
      Начальные условия: исходное состояние системы, на основе которого рассчитывается дальнейшая эволюция. Для систем первого порядка требуется только начальное положение; для систем второго порядка требуются как начальное положение, так и начальная скорость. Это различие отражает тот факт, что системы второго порядка могут находиться в одном и том же положении, но двигаться по разным траекториям.
      Неустойчивость: состояние, при котором малые возмущения со временем нарастают, а не затухают. Неустойчивые системы отдаляются от своих начальных состояний под воздействием малых возмущений. Системы второго порядка могут проявлять различные типы неустойчивости, включая осцилляционную неустойчивость, при которой возмущения нарастают, одновременно колеблясь.
      Интегральное управление: компонент системы управления, реагирующий на накопленную ошибку во времени. Буква I в ПИД-регулировании. Интегральное управление корректирует устойчивые смещения, которые пропорциональное управление не может устранить. Оно представляет собой накопление исторической ошибки, дополняя дифференциальный член, который предвосхищает будущую ошибку.
      Междисциплинарный: включающий или объединяющий две или более академические дисциплины. Междисциплинарные исследования стремятся к пониманию, выходящему за рамки традиционных границ областей. Концепция универсальной ньютоновской динамики по своей сути является междисциплинарной, определяя структурные принципы, применимые в физике, экономике, эпидемиологии, машинном обучении и социальных науках.
      Итерация: Многократное применение процесса. В оптимизации итерация означает многократную корректировку параметров на основе текущего градиента. Каждая итерация перемещает систему вдоль ее траектории. Количество необходимых итераций зависит как от ландшафта, так и от динамики, при этом методы с использованием момента часто требуют меньшего количества итераций для достижения хороших решений.
      Кинетическая энергия: энергия, связанная с движением, пропорциональная произведению массы на квадрат скорости. Кинетическая энергия представляет собой способность системы продолжать движение даже при наличии сопротивления. Это понятие обобщается на способность к изменению в нефизических системах: накопленная способность к продолжению изменений, обусловленная текущей скоростью.
      Лагранжиан: функция, используемая в лагранжевой механике, обычно представляющая собой разницу между кинетической и потенциальной энергией. Лагранжева формулировка обеспечивает альтернативный вывод динамики второго порядка через принцип стационарного действия. Это показывает, что структура второго порядка может возникать из разных исходных точек.
      Уравнение Ланжевена: стохастическое дифференциальное уравнение, добавляющее случайное воздействие к ньютоновской динамике. Уравнение Ланжевена описывает системы, обладающие как инерцией, так и шумом, например, частицу, подверженную тепловым флуктуациям. Оно показывает, что структура второго порядка может сохраняться даже в стохастических условиях.
      Скорость обучения: В машинном обучении это параметр, определяющий, насколько сильно изменяются параметры в ответ на градиент. Высокая скорость обучения приводит к большим изменениям скорости; низкая скорость обучения - к малым изменениям. Скорость обучения взаимодействует с моментом инерции, определяя эффективную динамику оптимизации.
      Предельный цикл: замкнутая траектория в фазовом пространстве, к которой система приближается со временем. Системы, находящиеся на предельных циклах, колеблются бесконечно с фиксированной амплитудой и периодом. Предельные циклы представляют собой форму динамического равновесия, при которой система никогда не устанавливается в определенной точке, а вместо этого повторяет определенный паттерн.
      Линейная зависимость: соотношение, при котором выходной сигнал пропорционален входному, а эффекты суммируются. Линейные системы удовлетворяют принципу суперпозиции: реакция на комбинированные входные сигналы равна сумме реакций на отдельные входные сигналы. Аксиома аддитивности требует линейности в том, как эффекты суммируются, вызывая ускорение.
      Функция потерь: В машинном обучении это функция, измеряющая, насколько плохо работает модель. Оптимизация направлена на минимизацию потерь. Ландшафт потерь, поверхность, образованная значениями потерь в пространстве параметров, определяет динамику обучения. Импульс помогает преодолевать сложные ландшафты потерь.
      Ландшафт функции потерь: поверхность в пространстве параметров, высота которой представляет значение функции потерь. Оптимизация перемещается по этому ландшафту в поисках минимумов. Топология ландшафта, его долины, хребты и седловые точки, взаимодействуют с динамикой оптимизации, определяя траектории обучения.
      Многообразие: математическое пространство, локально напоминающее евклидово пространство, но обладающее глобальной кривизной или топологией. Римановы многообразия - это многообразия, снабженные метрикой, позволяющей измерять расстояния и углы. Данная концепция предполагает, что пространство состояний является римановым многообразием, что обеспечивает структуру, необходимую для четко определенной динамики.
      Масса: В физике это мера инерции и гравитационного взаимодействия. В более общем смысле, в этой системе координат масса представляет собой пропорциональность между силой и ускорением. Большая масса означает, что большие силы вызывают малые ускорения; малая масса означает, что малые силы вызывают большие ускорения. Масса может быть скалярной или тензорной в зависимости от того, является ли система изотропной.
      Возврат к среднему значению: тенденция переменной с течением времени приближаться к своему историческому среднему значению. Рынки с сильным возвратом к среднему значению нарушают принцип чистой устойчивости, поскольку их тянет обратно к центральному значению. Однако возврат к среднему значению с перерегулированием указывает на динамику второго порядка с восстанавливающей силой.
      Метрика: функция, определяющая расстояние между точками в пространстве. В римановой геометрии метрика представляет собой тензорное поле, изменяющееся от точки к точке, что позволяет рассматривать искривленные пространства. Метрика определяет геодезические, то есть пути нулевого ускорения, по которым движутся невозмущенные системы.
      Модель прогнозирующего управления (MPC): стратегия управления, использующая модель динамики системы для прогнозирования будущего поведения и соответствующей оптимизации управления. MPC явно учитывает импульс и инерцию системы при планировании управляющих воздействий. Она представляет собой сложное применение мышления второго порядка к задачам управления.
      Импульс: В физике - масса, умноженная на скорость. В более общем смысле, это накопленная скорость, которая перемещает систему вперед. Импульс отличает динамику второго порядка от динамики первого порядка: системы с импульсом продолжают двигаться даже после снятия сил, пока трение или другие факторы демпфирования не замедлят их. В оптимизации и машинном обучении импульс относится к методам, которые накапливают информацию о градиенте.
      Нейронная сеть: вычислительная модель, вдохновленная биологическими нейронными сетями, состоящая из взаимосвязанных узлов, организованных в слои. Обучение нейронных сетей осуществляется путем корректировки весовых коэффициентов связей для минимизации потерь. Динамика оптимизации при обучении нейронной сети выигрывает от использования методов импульса, учитывающих структуру ландшафта потерь.
      Нелинейная зависимость: это зависимость, при которой выходной сигнал не пропорционален входному, или эффекты не суммируются. Нелинейные системы могут демонстрировать сложное поведение, включая хаос, бифуркацию и множественные равновесия. Хотя базовая модель предполагает линейность комбинации воздействий, расширения позволяют учитывать нелинейное воздействие.
      Численные методы: вычислительные методы для решения математических задач, которые не могут быть решены аналитически. Численное интегрирование дифференциальных уравнений имеет важное значение для моделирования сложных динамических систем. Выбор численного метода влияет на устойчивость и точность, особенно для систем второго порядка.
      Оптимизация: процесс поиска наилучшего решения в соответствии с определенным критерием. В машинном обучении оптимизация обычно означает минимизацию функции потерь путем корректировки параметров. Динамика оптимизации может быть понята с помощью данной модели, объясняющей, почему методы с использованием момента импульса превосходят простой градиентный спуск.
      Колебание: повторяющееся движение взад-вперед вокруг точки равновесия или заданного значения. Колебание характерно для слабозатухающих систем второго порядка: импульс уносит систему за пределы точки равновесия, которая затем возвращает ее обратно, создавая циклы. Системы первого порядка не могут колебаться; они монотонно приближаются к равновесию.
      Перерегулирование: ситуация, когда система выходит за пределы целевой точки, прежде чем вернуться. Перерегулирование происходит в системах второго порядка, поскольку импульс уносит их за пределы намеченного пункта назначения. Контроллеры должны предвидеть и компенсировать перерегулирование. Тенденция к перерегулированию является характерной чертой инерционной динамики.
      Параметр: числовое значение, характеризующее модель или систему. Параметры могут включать инерцию, начальные условия, коэффициенты силы и другие. Оценка параметров на основе данных является ключевой практической задачей. В моделях второго порядка параметр инерции особенно важен, поскольку он определяет реакцию на воздействие.
      Принцип устойчивости: одна из трех основных аксиом универсальной ньютоновской динамики. Принцип устойчивости гласит, что при отсутствии внешнего воздействия системы следуют геодезическим: они сохраняют свою текущую скорость. Изменение скорости требует наличия причины. Эта аксиома абстрагирует первый закон Ньютона до общих пространств состояний.
      Фазовое пространство: пространство всех возможных состояний системы, включая как положение, так и скорость. Для трехмерной частицы фазовое пространство является шестимерным: три координаты положения и три координаты скорости. Динамика второго порядка в конфигурационном пространстве эквивалентна динамике первого порядка в фазовом пространстве.
      ПИД-регулирование: пропорционально-интегрально-дифференциальное управление, наиболее распространенная стратегия управления в промышленности. Пропорциональный член реагирует на текущую ошибку, интегральный член - на накопленную ошибку, а дифференциальный член - на скорость изменения ошибки. Именно дифференциальный член делает ПИД-регулирование эффективным для систем с инерцией, обеспечивая учет скорости.
      Плато: В обучении или оптимизации это период незначительного прогресса, несмотря на постоянные усилия. Плато возникает, когда скорость близка к нулю: система не снижается, но и не развивается. Преодоление плато требует положительного ускорения, что означает изменение подхода, а не просто его продолжение.
      Поляризация: разделение населения на противоборствующие группы с всё более экстремальными позициями. Поляризация предполагает расхождение во взглядах: группы ускоряются в противоположных направлениях. Для понимания динамики поляризации необходимо отслеживать не только текущие позиции, но и тенденции и ускорения.
      Положение: Текущее состояние системы, независимо от скорости его изменения. Положение является первой компонентой состояния во вторичной динамике. В физических системах положение - это пространственное местоположение. В других системах положение представляет собой любую изменяющуюся величину: рыночную цену, уровень квалификации, распределение мнений.
      Потенциальная энергия: энергия, запасенная благодаря положению в силовом поле. Мяч, удерживаемый высоко, обладает потенциальной энергией, которая преобразуется в кинетическую энергию при падении. В оптимизации функция потерь играет роль потенциальной энергии, а градиент выступает в качестве соответствующей силы.
      Прогнозирование: предсказание будущих состояний на основе имеющейся информации и законов динамики. Прогнозирование второго порядка требует знания как текущего положения, так и текущей скорости. Точность прогнозирования зависит от того, соответствует ли структура модели фактической динамике системы.
      Пропорциональное управление: стратегия управления, которая применяет коррекцию, пропорциональную текущей ошибке. Пропорциональное управление является управлением первого порядка: оно реагирует только на текущее состояние системы, а не на ее движение. Для систем со значительной инерцией одно лишь пропорциональное управление приводит к колебаниям и перерегулированию.
      Квантовая механика: физика очень малых систем, где классические понятия положения и скорости становятся проблематичными. Квантовая механика описывается уравнением Шрёдингера, которое является уравнением первого порядка по времени. Однако классическая динамика второго порядка возникает для макроскопических средних значений благодаря теореме Эренфеста.
      Скорость изменения: то, насколько быстро величина изменяется относительно времени. Первая скорость изменения - это скорость: то, насколько быстро изменяется положение. Вторая скорость изменения - это ускорение: то, насколько быстро изменяется скорость. Динамика второго порядка включает оба уровня.
      Перекалибровка: корректировка параметров модели для поддержания точности при изменении условий. Модели первого порядка для систем второго порядка требуют частой перекалибровки, поскольку их структурное несоответствие вызывает систематический дрейф. Правильно структурированные модели второго порядка требуют перекалибровки реже.
      Обучение с подкреплением: машинное обучение, в котором агенты учатся, получая вознаграждения и штрафы за действия в окружающей среде. Эволюция стратегий в обучении с подкреплением имеет импульс: успешные стратегии сохраняются и укрепляются. Компромисс между исследованием и эксплуатацией связан с инерцией обновлений стратегий.
      Возвратная сила: сила, которая возвращает систему в состояние равновесия. Пружины оказывают возвратные силы, пропорциональные перемещению. Системы, обладающие возвратными силами и инерцией, колеблются вокруг точки равновесия. Сочетание возвратной силы и инерции характерно для многих природных и искусственных систем.
      Риманова геометрия: геометрия искривленных пространств, разработанная Бернхардом Риманом. Риманова геометрия обеспечивает математическую основу для обобщения ньютоновской динамики на произвольные пространства состояний. Ключевые понятия включают метрический тензор, геодезические и ковариантные производные.
      Динамика второго порядка: динамика, в которой состояние включает как положение, так и скорость, а воздействия действуют на ускорение. Динамика второго порядка характеризуется импульсом: системы продолжают двигаться в отсутствие воздействия. Данная концепция утверждает, что такая структура необходима для систем, удовлетворяющих аксиомам.
      Чувствительность: насколько сильно система реагирует на изменения входных данных или условий. Высокая чувствительность означает, что небольшие изменения приводят к большим последствиям; низкая чувствительность означает, что большие изменения приводят к малым последствиям. Чувствительность обратно пропорциональна инерции для реакции на ускорение.
      Заданное значение: Целевое значение, которое система управления стремится достичь или поддерживать. Контроллеры регулируют свои выходные сигналы, чтобы приблизить систему к заданному значению. Системы второго порядка могут колебаться вокруг заданного значения перед стабилизацией, что требует сложного управления для минимизации перерегулирования.
      Привязанная переменная: переменная, значение которой определяется другими переменными, не имеющая независимых степеней свободы. В динамике первого порядка скорость привязана к положению: при заданном положении и воздействии переменных скорость определяется однозначно. Это структурная особенность, которая делает модели первого порядка непригодными для систем, удовлетворяющих аксиомам.
      Стабильность: свойство возвращаться в равновесие после возмущения. Стабильные системы сопротивляются возмущениям; нестабильные системы усиливают их. Анализ стабильности имеет решающее значение для понимания долговременного поведения системы. Системы второго порядка могут обладать сложными свойствами стабильности, включая колебательное затухание.
      Состояние: Полное описание системы в данный момент времени, достаточное для определения ее будущей эволюции. В динамике первого порядка состоянием является только положение. В динамике второго порядка состояние включает в себя как положение, так и скорость. Выбор пространства состояний имеет фундаментальное значение для структуры модели.
      Пространство состояний: множество всех возможных состояний, которые может занимать система. Для динамики второго порядка пространство состояний представляет собой фазовое пространство: произведение конфигурационного пространства и пространства скоростей. Размерность пространства состояний определяет, сколько информации необходимо для описания состояния системы.
      Расширение пространства состояний: преобразование модели первого порядка в модель второго порядка путем перевода скорости в качестве независимой переменной состояния. Это расширение является рекомендуемым методом, когда диагностический протокол указывает на необходимость структуры второго порядка.
      Стохастические: Включающие случайность или вероятность. Стохастические системы развиваются в соответствии с вероятностными, а не детерминистическими законами. Данная концепция может быть расширена до стохастических условий с помощью уравнений, подобных уравнению Ланжевена, которые сохраняют структуру второго порядка, добавляя при этом шум.
      Структурное ограничение: ограничение на поведение системы, возникающее из математической или логической необходимости, а не из эмпирической случайности. Аксиомы универсальной ньютоновской динамики накладывают структурные ограничения, которые приводят к динамике второго порядка. Такие ограничения объясняют, почему определенные закономерности проявляются в разных областях.
      Принцип структурной диагностики: центральный практический результат данной концепции: если система допускает аддитивные воздействия, которые должны действовать независимо от текущей тенденции, то любая модель первого порядка является структурно неполной. Этот принцип обеспечивает диагностику для оценки и улучшения динамических моделей.
      Принцип суперпозиции: принцип, согласно которому суммарные эффекты равны сумме индивидуальных эффектов. Суперпозиция эквивалентна линейности и требуется аксиомой аддитивности. Системы, демонстрирующие суперпозицию, можно анализировать, разлагая сложные ситуации на простые компоненты.
      Синтез: объединение идей из разных источников в единое целое. Междисциплинарный синтез стремится выявить структурные сходства между различными областями. Универсальная ньютоновская динамика представляет собой синтез идей из физики, теории управления и других областей.
      Система: совокупность взаимодействующих компонентов, которые можно изучать как единое целое. Системы имеют состояния, развиваются в соответствии с динамическими законами и реагируют на внешние воздействия. Данная концепция применима к системам, удовлетворяющим определенным структурным условиям, независимо от того, из чего они состоят.
      Касательное расслоение: математическое пространство, состоящее из всех пар положение-скорость для многообразия. Для конфигурационного пространства S касательное расслоение TS имеет удвоенную размерность: каждой точке в S соответствует пространство скоростей. Динамика второго порядка на S эквивалентна динамике первого порядка на TS.
      Касательное пространство: пространство возможных скоростей в данной точке. В каждой точке многообразия касательное пространство представляет собой векторное пространство той же размерности, что и само многообразие. Векторы скорости существуют в касательных пространствах, а ускорение включает сравнение скоростей в разных точках.
      Технический анализ: В финансах это изучение ценовых трендов, закономерностей и импульса для прогнозирования будущих движений цен. Технический анализ неявно использует мышление второго порядка, фокусируясь на трендах, а не только на уровнях. Скользящие средние, индикаторы импульса и линии тренда отражают информацию о скорости движения цены.
      Пороговое значение: критическое значение, которое необходимо превысить для возникновения эффекта. Явления, связанные с пороговым значением, нарушают аксиому аддитивности, поскольку малые воздействия ниже порогового значения не оказывают никакого эффекта, в то время как воздействия выше порогового значения оказывают значительное воздействие. Такие нелинейности требуют расширения базовой модели.
      Временной ряд: последовательность точек данных, индексированных по времени. Анализ временных рядов направлен на понимание и прогнозирование временных закономерностей. Динамика второго порядка подразумевает, что полезные модели временных рядов должны включать не только текущие значения, но и темпы изменений.
      Траектория: путь, по которому система движется в пространстве состояний во времени. В динамике второго порядка траектории определяются начальным положением, начальной скоростью и силами, действующими в процессе эволюции. Понимание траекторий имеет важное значение для прогнозирования и управления.
      Трансформация: изменение одной формы или структуры на другую. Ключевая трансформация в этой концепции - переход от моделей первого порядка ко моделям второго порядка, достигаемый путем преобразования скорости в независимую переменную состояния. Эта трансформация исправляет структурную неполноту.
      Тренд: общее направление движения или изменения чего-либо. В рамках данной модели тренд синонимичен скорости: темпу изменения положения. Динамика второго порядка позволяет различать системы одного уровня с разными трендами.
      Переломный момент: момент, когда тенденция меняет направление. Именно в переломных моментах модели первого порядка наиболее явно терпят неудачу: они не могут отличить систему, приближающуюся к переломному моменту, от системы, которая продолжит тенденцию. Модели второго порядка могут предсказывать переломные моменты, отслеживая ускорение.
      Универсальная ньютоновская динамика: разработанная в этой книге концепция основана на признании того, что математическая структура законов Ньютона представляет собой необходимую модель для моделирования систем, где воздействия суммируются аддитивно и действуют независимо от текущих тенденций. Универсальность подразумевает независимость от области применения: концепция применима везде, где выполняются структурные условия.
      Скорость: скорость изменения положения относительно времени. Во второй динамике скорость является независимой переменной состояния, не определяемой только положением. Две системы могут находиться в одном и том же положении с разными скоростями, и их эволюция будет происходить по-разному. Скорость - это то, что переносит импульс.
      Независимость от скорости: свойство, согласно которому воздействие на ускорение не зависит от текущей скорости. Одна и та же сила вызывает одинаковое ускорение независимо от того, движется объект быстро или медленно. Это свойство подразумевается аксиомой аддитивности и недостижимо в моделях первого порядка.
      Волна: Возмущение, распространяющееся в среде или пространстве. Волнообразное поведение наблюдается во многих системах, включая эпидемии, социальные движения и динамику рынка. Волны естественным образом возникают из динамики второго порядка с пространственной связью.
      
      ИСТОРИЧЕСКАЯ ХРОНОЛОГИЯ
      От древних интуитивных представлений к универсальной ньютоновской динамике
      
      Эта хронологическая таблица прослеживает интеллектуальный путь от самых ранних человеческих исследований движения и изменений до формального изложения универсальной ньютоновской динамики. Она показывает, как знания накапливались на протяжении тысячелетий, причем каждое поколение опиралось на предыдущее, пока, наконец, не были признаны и объединены структурные принципы, лежащие в основе всех динамических систем.
      
      Древний мир: первые вопросы о движении
      
      ок. 600 г. до н.э. - Фалес Милетский
      Фалес был первым известным философом, который искал естественные, а не сверхъестественные объяснения явлений. Он предположил, что вода является фундаментальной субстанцией всего сущего, положив начало традиции поиска универсальных принципов, лежащих в основе разнообразных явлений. Это положило начало научному подходу: что под кажущейся сложностью скрывается структурная простота.
      
      ок. 540 г. до н.э. - Пифагор и пифагорейцы
      Было обнаружено, что музыкальные гармонии соответствуют математическим соотношениям. Это революционное открытие предполагало, что природа функционирует в соответствии с математическими принципами - тема, которая в конечном итоге привела к математической физике Ньютона и, в конечном счете, к структурной математике универсальной ньютоновской динамики. Пифагорейский девиз "Всё есть число" предвосхищает современное представление о том, что структурные ограничения определяют динамическую форму.
      
      ок. 450 г. до н.э. - Зенон из Элеи
      Зенон выдвинул знаменитые парадоксы движения, включая парадокс Ахиллеса и черепахи. Эти парадоксы выявили глубокие концептуальные проблемы в понимании непрерывных изменений и не были полностью разрешены до развития дифференциального и интегрального исчисления два тысячелетия спустя. Работа Зенона подчеркнула, что наивных интуитивных представлений о движении недостаточно; требуется строгий математический подход.
      
      ок. 350 г. до н.э. - Аристотель
      Аристотель разработал первую всеобъемлющую физику, различая естественное движение (движение объектов, стремящихся занять своё место) и насильственное движение (движение, вызванное внешней силой). Аристотель считал, что для поддержания движения необходима постоянная сила, и что более тяжёлые объекты падают быстрее. Хотя позже его точка зрения оказалась неверной, систематический подход Аристотеля к пониманию движения утвердил физику как дисциплину. Его концепция потенциальности и актуальности предвосхитила более поздние идеи о состоянии и изменении.
      
      ок. 250 г. до н.э. - Архимед Сиракузский
      Применив строгую математику к физическим задачам, Архимед установил закон рычага и принципы гидростатики. Он показал, что физические явления подчиняются точным математическим законам, а не просто качественным тенденциям. Его работы о центрах тяжести и равновесии заложили основы для последующей механики. Архимедовский подход, направленный на поиск количественной точности, стал основополагающим для всей последующей физики.
      
      ок. 150 г. н.э. - Клавдий Птолемей
      Создана всеобъемлющая математическая модель небесных движений с использованием эпициклов и деферентов. Хотя она геоцентрична и в конечном итоге неверна, система Птолемея продемонстрировала, что сложные движения можно разложить на комбинации более простых круговых движений. Этот принцип разложения, расчленения сложных явлений на аддитивные компоненты, стал центральным для ньютоновской механики и для аксиомы аддитивности универсальной ньютоновской динамики.
      
      Средневековье: сохранение и постепенный прогресс
      
      ок. 500-1000 гг. н.э. - Золотой век ислама
      Ученые, в том числе Аль-Хорезми, Аль-Бируни и Ибн Сина, сохранили и расширили греческие знания. Разработанная Аль-Хорезми алгебра предоставила необходимые математические инструменты. Ибн Сина (Авиценна) предположил, что снаряды продолжают движение благодаря приложенной силе (кольцу), что стало предшественником концепции импульса и, в конечном итоге, момента импульса. Исламская передача греческих текстов в средневековую Европу сделала возможной научную революцию.
      
      ок. 1330 г. - Жан Буридан
      Разработал теорию импульса, утверждая, что движущая сила придает снаряду свойство (импульс), которое поддерживает его движение. В отличие от теории Аристотеля, требующей непрерывного контакта с движущей силой, теория импульса допускала сохранение движения после прекращения действия первоначальной причины. Это был решающий шаг к концепции инерции и аксиоме сохранения: системы продолжают свою текущую траекторию, если на них не оказывается воздействие.
      
      ок. 1350 г. - Оксфордские калькуляторы и Николь Орем.
      Учёные из Мертонского колледжа разработали теорему о средней скорости, связывающую постоянное ускорение с пройденным расстоянием. Николь Оресме представила движение графически, построив график зависимости скорости от времени, по сути, изобретя концепцию графика функции. Эти нововведения предоставили концептуальные инструменты для размышлений о темпах изменения и их накоплении, предвосхитив появление математического анализа и различие между скоростью и ускорением, имеющее центральное значение для динамики второго порядка.
      
      Научная революция: рождение современной динамики
      
      1543 - Николай Коперник
      Опубликовав труд "De Revolutionibus Orbium Coelestium", Коперник предложил гелиоцентрическую модель Солнечной системы. Удалив Землю из центра, Коперник открыл возможность того, что земная и небесная физика могут подчиняться одним и тем же законам. Это объединение неба и земли было завершено Ньютоном и находит отражение в универсальных утверждениях ньютоновской динамики: одни и те же структурные принципы применимы ко всем областям.
      
      1609-1619 - Иоганнес Кеплер
      Он открыл три закона движения планет: эллиптические орбиты, равные площади за равные промежутки времени и зависимость между периодом обращения и расстоянием. Кеплер показал, что движение планет подчиняется точным математическим законам, а не аристотелевским тенденциям или птолемеевским усложнениям. Его законы впоследствии были выведены из более фундаментальных принципов Ньютона, демонстрируя, как структурные ограничения на глубинном уровне определяют наблюдаемые закономерности на поверхности.
      
      1632 - Галилео Галилей
      Опубликовал "Диалог о двух главных системах мира", в котором отстаивал коперниканизм и развивал концепцию инерции. Эксперименты Галилео с наклонными плоскостями показали, что шар, катящийся по гладкой горизонтальной поверхности, будет продолжать движение вечно с постоянной скоростью. Это было первое четкое изложение того, что впоследствии стало первым законом Ньютона и аксиомой инерции универсальной ньютоновской динамики. Галилео также установил, что все объекты падают с одинаковым ускорением независимо от веса, отделив инерцию от гравитации.
      
      1644 - Рене Декарт
      Опубликовал "Начала философии", в которых предложил законы движения, включая принцип сохранения всего объема движения во Вселенной. Хотя его конкретные законы были неверны, Декарт заложил основу для поиска универсальных механических законов, выраженных математически. Его координатная геометрия предоставила необходимые инструменты для представления движения в пространстве, а его принцип сохранения предвосхитил аксиому компенсации.
      
      1656-1673 - Христиан Гюйгенс.
      Разработал математические основы движения маятника и центробежной силы, а также правильно сформулировал законы упругих столкновений. Гюйгенс показал, что импульс (масса, умноженная на скорость) сохраняется при столкновениях, исправив ошибку Декарта. Его работа над маятником выявила взаимосвязь между положением, скоростью и возвращающей силой, которая характеризует колебательные системы второго порядка. Сохранение импульса при столкновениях воплощает аксиому компенсации в ее наиболее ясной форме.
      
      1687 - Исаак Ньютон
      В своих "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" Ньютон опубликовал наиболее влиятельный научный труд в истории. Он объединил земную и небесную механику в рамках трех законов движения и закона всемирного тяготения. Первый закон сформулировал принцип инерции (устойчивости). Второй закон установил, что сила вызывает ускорение, а не скорость напрямую, что делает динамику принципиально второго порядка. Третий закон гласит, что силы действуют парами, равными по величине и противоположными по знаку (компенсация). Ньютон также является соавтором дифференциального и интегрального исчисления, предоставив математический язык для выражения скоростей изменения. "Principia Mathematica" заложила основу, которая, как показывает теория универсальной ньютоновской динамики, структурно необходима для любой системы, удовлетворяющей аксиомам.
      
      XVIII век: аналитические переформулировки
      
      1736 - Леонард Эйлер
      Опубликовал "Механику", переформулировав механику Ньютона на языке дифференциальных уравнений. Эйлер систематизировал использование дифференциального и интегрального исчисления в механике, что позволило решать задачи, к которым Ньютон мог подходить только геометрически. Он разработал концепцию точечных масс и распространил механику на твердые тела и жидкости. Аналитический подход Эйлера сделал структуру механики второго порядка явной и обобщаемой.
      
      1744-1746 - Пьер Луи Мопертюи и Леонард Эйлер.
      Сформулировал принцип наименьшего действия, предположив, что природа действует путем минимизации величины, называемой действием. Этот вариационный принцип обеспечил альтернативное основание для механики: вместо того, чтобы определять, как силы вызывают ускорение, он определял, что траектории экстремумизуют определенный интеграл. Уравнения Эйлера-Лагранжа, выведенные из этого принципа, являются уравнениями второго порядка, показывая, что динамика второго порядка возникает из разных отправных точек, что указывает на структурную необходимость.
      
      1788 - Жозеф-Луи Лагранж
      Опубликовал "Аналитическую механику", в которой механика представлена исключительно посредством анализа без использования геометрических диаграмм. Лагранж ввёл обобщённые координаты, что позволило применять механику к системам с ограничениями и произвольными конфигурационными пространствами. Его формулировка показала, что динамика второго порядка не является специфичной для декартовых координат, а появляется в любой системе координат. Лагранжева структура впоследствии стала необходимой для понимания механики на искривлённых многообразиях.
      
      XIX век: Расширение и новые владения.
      
      1834-1835 - Уильям Роуэн Гамильтон
      Переформулированная механика с использованием гамильтоновой функции и фазового пространства. Гамильтон показал, что динамика второго порядка в конфигурационном пространстве эквивалентна динамике первого порядка в удвоенном фазовом пространстве положений и импульсов. Эта переформулировка показала, что удвоение переменных, рассматривающее скорость или импульс как независимые, является существенной особенностью, обеспечивающей работу ньютоновской механики. Это понимание имеет центральное значение для универсальной ньютоновской динамики: скорость должна быть независимой, чтобы аксиомы были удовлетворены.
      
      1854 - Бернхард Риман
      Он представил свою хабилитационную лекцию по основам геометрии, введя понятия, которые впоследствии станут римановой геометрией. Риман показал, как определять расстояние, угол и кривизну на абстрактных многообразиях, а не только на плоском евклидовом пространстве. Эта математическая модель стала основополагающей для общей теории относительности и заложила основу для универсальной ньютоновской динамики: геодезические на римановых многообразиях являются естественным обобщением прямолинейного инерциального движения.
      
      1867 - Джеймс Клерк Максвелл
      В своих работах по кинетической теории газов Максвелл ввел понятие фазового пространства и статистических распределений. Он показал, что отслеживание как положения, так и скорости имеет важное значение для понимания статистического поведения многочастичных систем. Распределение Максвелла-Больцмана описывает равновесие в фазовом пространстве, подтверждая, что скорость является фундаментальной независимой переменной, не выводимой из положения.
      
      1892 - Анри Пуанкаре
      Пуанкаре опубликовал "Новые методы небесной механики", заложив основу качественной теории динамических систем. Он показал, что даже простые детерминированные системы могут демонстрировать сложное, непредсказуемое поведение (хаос), но эта сложность всё ещё подчиняется структуре второго порядка гамильтоновой механики. Его работы по устойчивости, периодическим орбитам и топологии фазового пространства предоставили инструменты для понимания динамических систем за пределами явных решений.
      
      XX век: революции и их применение.
      
      1905 - Альберт Эйнштейн (Специальная теория относительности)
      Опубликовал теорию специальной относительности, пересмотрев ньютоновские концепции пространства и времени, сохранив при этом динамическую структуру второго порядка. В релятивистской механике по-прежнему присутствует ускорение, вызванное силой; изменено лишь соотношение между силой, массой и ускорением. Существенная ньютоновская структура сохраняется даже после этого революционного изменения, что позволяет предположить, что она отражает нечто более глубокое, чем любая конкретная физическая теория.
      
      1908 - Герман Минковский
      Специальная теория относительности была переформулирована геометрически как четырехмерное пространство-время с метрикой Минковского. Этот геометрический подход объединил пространство и время и обеспечил основу для общей теории относительности. Инерционное движение в пространстве-времени Минковского следует геодезическим (прямым линиям в четырех измерениях), расширяя аксиому персистентности на релятивистские условия.
      
      1915 - Альберт Эйнштейн (Общая теория относительности)
      Опубликовал общую теорию относительности, описывающую гравитацию как искривление пространства-времени. Свободно падающие объекты следуют геодезическим на искривленном пространстве-времени, обобщая инерциальное движение на неевклидову геометрию. Уравнение геодезических является уравнением второго порядка, и общая теория относительности может быть выведена из вариационного принципа. Теория Эйнштейна подтвердила физическую значимость римановой геометрической модели, той же самой модели, которая используется в универсальной ньютоновской динамике.
      
      1922-1927 - Квантовая механика
      Гейзенберг, Шрёдингер, Дирак и другие разработали квантовую механику, в основе которой лежит уравнение Шрёдингера. Уравнение Шрёдингера является уравнением первого порядка по времени, что, казалось бы, противоречит структуре второго порядка классической механики. Однако это уравнение первого порядка описывает волновую функцию в гильбертовом пространстве, а не частицы в физическом пространстве. Теорема Эренфеста показывает, что средние значения положения и импульса приблизительно подчиняются классическим уравнениям второго порядка, объясняя, как классическая динамика возникает из квантовой механики.
      
      ;
      XX век: теория управления и инженерные разработки.
      
      1922 - Николай Минорский
      Опубликовал статью по управлению судном, в которой был представлен трехкомпонентный регулятор (ПИД-регулятор). Минорский признал, что одного лишь пропорционального управления недостаточно для систем с инерцией; необходимы производная и интегральная составляющие. Производная составляющая, реагирующая на скорость изменения ошибки, явно ввела в управление учет скорости. Это стало независимым переоткрытием необходимости мышления второго порядка для систем с импульсом.
      
      1942 - Зиглер и Николс
      Они опубликовали свои правила настройки ПИД-регуляторов, предоставив практические методы установки коэффициентов усиления регулятора. Эти правила, выведенные эмпирическим путем, неявно кодировали знания о том, как системы с различными инерционными характеристиками реагируют на управление. Широкое распространение ПИД-регулирования означало, что мышление второго порядка стало стандартной практикой в инженерии, даже если оно не было явно теоретически обосновано.
      
      1960 - Рудольф Кальман
      Опубликовал свою работу о фильтре Калмана, оптимальной оценке состояния для линейных динамических систем. Фильтр Калмана явно рассматривает как положение, так и скорость как переменные состояния, подлежащие оценке, признавая, что для прогнозирования поведения системы необходимо отслеживать обе переменные. Этот подход к пространству состояний, рассматривающий скорость как независимую переменную, стал основополагающим для современной теории управления и подтверждает структурные идеи универсальной ньютоновской динамики.
      
      XX век: экономика и социальные науки
      
      1939 - Пол Самуэльсон
      Опубликовал свой анализ взаимодействия мультипликатора и акселератора в экономической динамике, показав, как уравнения второго порядка порождают деловые циклы. Самуэльсон признал, что экономическое ускорение (изменение темпов роста) реагирует на текущие условия, создавая колебательную динамику, аналогичную механическим системам. Это было раннее применение теории второго порядка в экономике.
      
      1950-е - 1960-е годы - Рациональные ожидания и адаптивные ожидания
      Экономисты разработали модели, в которых агенты формируют ожидания относительно будущего. Модели адаптивных ожиданий предполагали, что люди постепенно корректируют свои ожидания на основе прошлых ошибок, вводя инерцию в экономическую динамику. Признание того, что ожидания обладают импульсом, а не реагируют мгновенно на новую информацию, параллельно физическому понятию инерции.
      
      1978 - Марк Грановеттер
      Он опубликовал свою пороговую модель коллективного поведения, показывающую, как индивидуальные пороги суммируются, порождая социальную динамику. Модель показала, что социальные изменения обладают собственной инерцией: как только достаточное количество людей принимает определенное поведение, другие следуют за ними, создавая каскады. Эта концепция количественно отражает социальную инерцию и импульс.
      
      Конец XX века: Вычислительные открытия
      
      1964 - Борис Поляк
      Предложен метод тяжелого шара для оптимизации, в который добавлен член импульса к градиентному спуску. Поляк признал, что простой градиентный спуск, являющийся методом первого порядка, плохо работает для многих задач оптимизации. Добавление импульса преобразовало оптимизатор в систему второго порядка, что значительно улучшило сходимость. Это стало независимым повторным открытием в вычислительной области структурной необходимости динамики второго порядка.
      
      1983 - Юрий Нестеров
      Разработаны ускоренные градиентные методы с доказанно оптимальными скоростями сходимости. Нестеров теоретически показал, почему методы с использованием момента импульса превосходят простой градиентный спуск: они достигают информационно-теоретической нижней границы скорости сходимости для гладкой выпуклой оптимизации. Это математическое доказательство подтвердило, что структура второго порядка не просто полезна, но и необходима для оптимальной производительности.
      
      1986 - Румельхарт, Хинтон и Уильямс
      Опубликовал алгоритм обратного распространения ошибки для обучения нейронных сетей, обычно используемый с моментом. Комбинация обратного распространения ошибки и момента стала стандартным подходом к обучению нейронных сетей, что позволило совершить революцию в глубоком обучении. Практики эмпирически обнаружили, что момент необходим; структурные причины этого были выяснены позже.
      
      2013 - Суцкевер, Мартенс, Даль и Хинтон
      Опубликована влиятельная работа о важности инициализации и момента инерции в глубоком обучении, демонстрирующая, что момент инерции не просто полезен, но и критически важен для обучения глубоких нейронных сетей. Их анализ показал, что ландшафт функции потерь глубоких нейронных сетей имеет характеристики, которые делают оптимизацию первого порядка принципиально неэффективной.
      
      2015 - Кингма и Ба (Адам Оптимизатор)
      Опубликован оптимизатор Adam, сочетающий в себе импульс и адаптивные скорости обучения. Adam стал оптимизатором по умолчанию для большинства приложений глубокого обучения, подтверждая, что структура второго порядка (через импульс) в сочетании с адаптивной инерцией имеет важное значение для практического машинного обучения.
      
      ;
      XXI век: На пути к объединению
      
      2010 - Карл Фристон (Принцип свободной энергии)
      Опубликовал влиятельную работу по принципу свободной энергии, предложив единую концепцию понимания функций мозга с точки зрения минимизации вариационной свободной энергии. Концепция Фристона включает как состояния, так и скорости их изменения, демонстрируя структуру второго порядка. Принцип свободной энергии предполагает, что биологические системы могут подчиняться аналогичным структурным ограничениям, что и физические системы.
      
      2016 - Шун-ичи Амари (Информационная геометрия)
      Опубликовал всеобъемлющую работу по информационной геометрии, применив дифференциальную геометрию к вероятностным распределениям. Амари показал, что статистический вывод можно понимать как движение на римановом многообразии, где расстояния определяются метрикой информации Фишера. Эта геометрическая перспектива связана с римановой структурой универсальной ньютоновской динамики, предполагая, что динамика убеждений может демонстрировать структуру второго порядка.
      
      2017 - Габриэль Го (Почему импульс действительно работает)
      Опубликовано наглядное объяснение того, почему импульс работает в оптимизации, с использованием физической интуиции и интерактивных демонстраций. Работа Гоха явно показала связь между импульсом оптимизации и физическим импульсом, продемонстрировав идентичность математических структур. Это помогло преодолеть разрыв между вычислительной практикой и физической теорией.
      
      2018 - Борис Кригер (Возникновение ньютоновской динамики)
      Опубликована работа "Возникновение ньютоновской динамики из метрических инерциальных систем", доказывающая, что динамика второго порядка структурно необходима для систем, удовлетворяющих условиям устойчивости, аддитивности и компенсации. Эта работа заложила математическую основу для универсальной ньютоновской динамики, показав, что ньютоновская форма не является эмпирическим открытием, а математическим следствием структурных аксиом. В работе продемонстрировано, что динамика первого порядка не может поддерживать аддитивный отклик, не зависящий от скорости, поскольку скорость не является независимой переменной в таких системах.
      
      2018 - Борис Кригер (Принцип структурной диагностики)
      Опубликована работа "Принцип структурной диагностики динамических моделей", расширяющая теоретические результаты на практические применения в различных областях. В этой статье представлен диагностический протокол для оценки структурной корректности моделей, объяснено, почему модели первого порядка систематически не работают для систем, удовлетворяющих аксиомам, и показано, как независимые открытия в разных областях (импульс в машинном обучении, управление производными в технике, корректировка тренда в экономике) являются проявлениями одного и того же структурного принципа. Работа завершила объединение, показав, что одно и то же структурное понимание было обнаружено и заново обнаружено в несвязанных областях.
      
      Продолжение истории
      
      Эта хронологическая таблица выявляет закономерность: от самых ранних вопросов о движении до последних достижений в области машинного обучения, мыслители неоднократно сталкивались с необходимостью существования структуры второго порядка. Понимание того, что скорость должна быть независимой, что силы действуют на ускорение, что импульс сохраняется, было открыто и вновь открыто на протяжении тысячелетий и в различных областях.
      
      То, что раньше подразумевалось, теперь стало явным. Структурные принципы, которые Ньютон сформулировал для физики, универсально применимы к любой системе, удовлетворяющей условиям устойчивости, аддитивности и компенсации. Независимые открытия в разных областях - это не случайность, а неизбежные последствия столкновения с одними и теми же структурными ограничениями.
      
      История еще не закончена. Универсальная ньютоновская динамика предоставляет основу, но многое еще предстоит исследовать. Как эти принципы распространяются на стохастические системы, на сильно нелинейную динамику, на квантовый и релятивистский режимы? Как можно усовершенствовать диагностический протокол для практического использования в различных областях? Как можно способствовать междисциплинарному сотрудничеству для ускорения передачи структурных знаний?
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      ВОЗНИКНОВЕНИЕ НЬЮТОНОВСКОЙ ДИНАМИКИ ИЗ МЕТРИЧЕСКИХ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
      Структурный вывод детерминированной эволюции второго порядка
      Борис Кригер
      Институт интегративных и междисциплинарных исследований
      boriskriger@interdisciplinary-institute.org
      АБСТРАКТНЫЙ
      Мы доказываем, что в рамках конкретной аксиоматической структуры динамика второго порядка возникает как единственная минимальная форма, совместимая с тремя структурными ограничениями: персистентностью, аддитивностью и компенсацией. Пусть (S, d) - метрическое пространство с достаточной дифференциальной структурой. Мы показываем, что любой динамический закон первого порядка dx/dt = f(x, F) на конфигурационном пространстве S обязательно нарушает по крайней мере одно ограничение, устанавливая, что скорость должна быть преобразована в независимую переменную состояния, приводящую к динамике второго порядка на S (эквивалентно, к динамике первого порядка на касательном расслоении TS). Классическая ньютоновская динамика в евклидовом пространстве восстанавливается как частный случай. Мы тщательно различаем форму динамических законов (которая, как мы утверждаем, структурно ограничена) и их содержание (конкретные потенциалы, константы связи), которое остается эмпирическим.
      
      Область исследования: В классе гладких детерминированных динамических систем на римановых пространствах состояний, удовлетворяющих условиям персистентности, аддитивности и компенсации, любая нетривиальная динамика должна быть второго порядка на конфигурационном пространстве. Системы вне этого класса, включая стохастические, дискретные или сильно нелинейные системы, требуют отдельного рассмотрения. Наш результат не противоречит существованию гамильтоновых формулировок первого порядка на фазовом пространстве; скорее, он объясняет, почему необходимо удвоение переменных в фазовом пространстве.
      
      1 ВВЕДЕНИЕ
      Ньютон разработал метод: определить состояние, определить изменение, выявить причины, вывести эволюцию. Полученная в результате структура оказалась чрезвычайно успешной. Однако остается вопрос: является ли вторичный характер этих законов случайным или отражает структурные ограничения на когерентные динамические системы?
      
      Мы доказываем последнее, но с важными оговорками. Мы показываем, что при соблюдении определенных аксиом динамика второго порядка необходима - не как физическое открытие, а как математическое следствие этих аксиом. Наше утверждение условно: если система удовлетворяет условиям персистентности, аддитивности и компенсации, то ее эволюция должна быть второго порядка. Сами аксиомы абстрагируются от физической интуиции, и вопрос о том, удовлетворяет ли им какая-либо данная система, является эмпирическим.
      
      Мы проводим различие между:
      Форма: Математическая структура динамических законов (первого порядка и второго порядка)
      Содержание: Удельные потенциалы, массы, константы связи (определенные эмпирическим путем)
      
      Наше утверждение касается только формы. То, что гравитация подчиняется закону обратных квадратов с константой связи G, является эмпирическим; то, что когерентные динамические системы допускают описание второго порядка, является (как мы утверждаем) структурным.
      
      1.1 Связь с существующей работой
      Вывод уравнений движения из структурных принципов имеет долгую историю. Мопертюи, Эйлер, Лагранж и Гамильтон показали, что динамика второго порядка следует из стационарного действия. Предложенный подход отличается отправной точкой: вместо принципов действия мы начинаем с ограничений на то, как эволюционируют состояния и как объединяются взаимодействия.
      
      Наш постулат устойчивости абстрагирует первый закон Ньютона; аддитивность абстрагирует суперпозицию; компенсация абстрагирует третий закон и закон сохранения импульса. Мы не утверждаем, что это чисто логические необходимости - это абстракции физических интуиций, возведенные в ранг аксиом. Вклад заключается в демонстрации их совместной взаимосвязи: динамики второго порядка.
      
      К смежным концепциям относятся геометрическая механика Абрахама и Марсдена, динамика форм Барбура, принцип свободной энергии Фристона и информационная геометрия Амари. Наш подход наиболее близок к последним двум по духу, хотя технически отличается.
      
      1.2 Структурное и динамическое объяснение
      Наш результат вносит вклад в продолжающиеся дискуссии в философии физики относительно структурных и динамических объяснений физических законов. Вариационные принципы (принцип Гамильтона, геодезические формулировки) показывают, что уравнения второго порядка следуют из экстремизации действия; это структурный вывод из другой отправной точки. Формулировка Гамильтона-Якоби переписывает динамику как дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для функции действия, а геодезические уравнения могут быть переформулированы как гамильтоновы потоки на кокасательных расслоениях - все это формулировки первого порядка, которые кодируют одну и ту же физику.
      
      Наш вклад ортогонален: мы задаемся вопросом, какие структурные ограничения заставляют скорость стать независимой переменной состояния. Существование переформулировок первого порядка на фазовом пространстве (TS или T*S) не противоречит нашему результату, а, скорее, иллюстрирует его. Дополнительные переменные в этих формулировках (импульсы, скорости) - это именно то, что требуют наши аксиомы. Наша теорема объясняет, почему удвоение фазового пространства необходимо: потому что персистентность, аддитивность и компенсация не могут быть одновременно удовлетворены только на конфигурационном пространстве.
      
      2. ФОРМАЛЬНАЯ СТРУКТУРА
      2.1 Пространство состояний
      Пусть (S, d) - метрическое пространство. Мы накладываем дополнительную структуру:
      
      Аксиома 2.1 (Дифференциальная структура). S допускает вложение в гладкое многообразие M такое, что метрика d выводится из римановой метрики g на M. То есть, d(x, y) = inf{L( ; ) : ; - гладкий путь от x к y}, где L( ; ) = ;;g( ; ;, ; ;) dt.
      
      Эта аксиома ограничивает нашу модель метрическими пространствами с геодезической структурой и четко определенными касательными пространствами. Чистые метрические пространства без дифференциальной структуры (например, дискретные графы с расстоянием до кратчайшего пути) выходят за рамки нашей задачи.
      
      Определение 2.2. Состояние - это точка x ; S. Касательное пространство в точке x, обозначаемое T;S, - это пространство векторов скорости в точке x.
      
      2.2 Эволюция и траектории
      Определение 2.3. Эволюция - это дважды дифференцируемая кривая x : I ; S, где I ; ; - интервал.
      
      Определение 2.4. Скорость в момент времени t равна v(t) = dx/dt ; T;;;;S. Ускорение равно a(t) = ; ; v, ковариантной производной скорости вдоль траектории.
      
      В римановом многообразии ускорение включает в себя члены связности: в локальных координатах,
      a; = d;x;/dt; + ; ; ; ; (dx;/dt)(dx ; /dt)
      где ; ; ; ; - символы Кристоффеля. В плоском евклидовом пространстве они обращаются в нуль, и мы получаем a = d;x/dt;.
      
      Лемма 2.5 (Независимость от скорости в системах второго порядка). В системе второго порядка ;;v = F/m две системы, находящиеся в одной и той же точке x, но с разными скоростями v; ; v;, могут испытывать одинаковую силу F и получать одинаковое ускорение a = F/m. Реакция на взаимодействие не зависит от текущей скорости.
      
      Лемма 2.6 (Зависимость от скорости в системах первого порядка). В системе первого порядка dx/dt = f(x, ...) скорость определяется положением (и любыми внешними параметрами). Невозможно, чтобы две системы находились в одном и том же положении с разными скоростями - это понятие не определено. Следовательно, не может быть независимой от скорости реакции на взаимодействие.
      
      Возникновение динамики второго порядка - это именно возникновение этой независимости: скорость становится свободной переменной состояния, что позволяет взаимодействию действовать универсально независимо от текущего движения.
      
      2.3 Динамические законы
      Определение 2.7. Закон первого порядка в конфигурационном пространстве имеет вид dx/dt = f(x, F) для некоторой функции f на S, где F представляет любые внешние параметры или взаимодействия.
      
      Определение 2.8. Закон второго порядка в конфигурационном пространстве имеет вид ; ; v = g(x, v) для некоторой функции g : TS ; TS (сохраняющей слой).
      
      Замечание 2.9 (Переформулировки фазового пространства). В дифференциальной геометрии и гамильтоновой механике любое уравнение второго порядка на конфигурационном пространстве S можно переписать как систему первого порядка на касательном расслоении TS (или кокасательном расслоении T*S), рассматривая (x, v) как состояние. Например, m; ; v = F становится системой первого порядка:
      dx/dt = v, dv/dt = F/m ; ; (v, v)
      
      Это стандартная формулировка гамильтониана или лагранжиана в фазовом пространстве.
      
      Наша теорема касается другого вопроса: мы спрашиваем, можно ли сформулировать динамику, используя в качестве переменной состояния только положение - то есть, первого порядка на самом S, а не на TS. Возникновение динамики второго порядка - это в точности возникновение скорости как независимой переменной состояния, требуемое аксиомами. Дополнительные переменные в гамильтоновых формулировках (v или p) - это именно то, что наши аксиомы вводят в онтологию.
      
      В данной работе под "законом первого порядка" понимается закон, пространство состояний которого равно S, а эволюция описывается уравнением dx/dt = f(x, F); мы не считаем переформулировки уравнений второго порядка в фазовом пространстве законами первого порядка в этом смысле.
      
      3 СТРУКТУРНЫХ ПОСТУЛАТА
      Мы формулируем три постулата, а затем доказываем их совместную несовместимость с динамикой первого порядка.
      
      Аксиома 3.1 (Сохранение). В отсутствие взаимодействия геодезические сохраняются: ; ; v = 0, когда F = 0.
      
      Интерпретация: Невозмущенные системы следуют геодезическим - траекториям постоянной скорости в римановом смысле. В плоском пространстве геодезические представляют собой прямые линии с постоянной скоростью. Изменение скорости требует причины. Это абстрагирует первый закон Ньютона.
      
      Аксиома 3.2 (Аддитивность). При одновременном воздействии нескольких факторов их влияние на ускорение суммируется линейно: если F; вызывает ускорение a;, а F; вызывает a; (каждый из которых действует самостоятельно), то F; + F; вызывает a; + a;.
      
      Формальное утверждение: Пусть L : {поля взаимодействия} ; {поля ускорения} - отображение взаимодействия в результирующее ускорение. Тогда L является линейным: L(F; + F;) = L(F;) + L(F;) и L( ; F) = ; L(F) для ; ; ;.
      
      Интерпретация: Принцип суперпозиции верен. Совокупность причин порождает совокупное следствие. Это абстрагирует физический принцип векторного сложения сил.
      
      Аксиома 3.3 (Компенсация). В замкнутой системе полный импульс сохраняется: ;; m ; v ; = константа вдоль траекторий.
      
      Формальное утверждение: Для системы из n компонентов с положениями x;, ..., x; и массами m;, ..., m; определим полный импульс P = ;; m ; v ; . Тогда dP/dt = 0 для внутренних взаимодействий.
      
      Интерпретация: Односторонних изменений не происходит. Внутренние взаимодействия перераспределяют импульс, не изменяя его суммарного значения. Это абстрагирует третий закон Ньютона: действие равно противодействию.
      
      4. ТЕОРЕМА О НЕСОВМЕСТИМОСТИ
      Теорема 4.1 (Несовместимость динамики первого порядка). Пусть (S, g) - риманово многообразие с dim(S) ; 1. Любой закон динамики первого порядка на конфигурационном пространстве S, удовлетворяющий условиям персистентности, аддитивности и компенсации, должен быть тривиальным (не иметь динамики).
      
      Основная мысль: Прежде чем перейти к формальному доказательству, мы сформулируем главное наблюдение:
      
      В любой системе первого порядка dx/dt = f(x, F) будущая траектория полностью определяется, как только задано положение. Внешнее взаимодействие не может изменять ускорение независимо от текущей скорости, поскольку сама скорость не является свободной переменной - это производная величина, зависящая от положения.
      
      Это структурная причина, по которой динамика первого порядка не может поддерживать аддитивность в том виде, в котором мы её определили.
      
      Доказательство. Далее мы рассмотрим ряд лемм.
      
      Определение 4.2 (Динамика первого порядка, общая форма). Закон динамики первого порядка на S - это любое правило вида: dx/dt = f(x, F), где x ; S - положение, а F представляет любые внешние параметры, поля или взаимодействия. Ключевая особенность заключается в том, что скорость v = dx/dt определяется этим уравнением, а не задается независимо.
      
      Лемма 4.3 (Скорость задана). В любом законе первого порядка, как только заданы x и F, скорость v = f(x, F) определяется однозначно. Нет возможности задать v независимо от x.
      
      Доказательство. Непосредственно следует из формы уравнения. Пространство состояний - S, а не TS.
      
      Лемма 4.4 (Ускорение зависит от скорости). Согласно любому закону первого порядка, ускорение равно: a = dv/dt = (d/dt)f(x, F) = (;f/;x)"v + (;f/;F)";. В частности, когда F постоянно или отсутствует: a = (;f/;x)"f(x, F). Ускорение зависит от v = f(x, F) по правилу цепочки. Его нельзя определить независимо от текущей скорости.
      
      Доказательство. Прямое дифференцирование.
      
      Лемма 4.5 (Отсутствие реакции, не зависящей от скорости). В системе первого порядка не существует отображения L : F ; a такого, что: (1) L определено корректно (одна и та же F приводит к одному и тому же a), и (2) L не зависит от текущей скорости v.
      
      Доказательство. Предположим, что такое L существует. Рассмотрим две траектории, проходящие через одну и ту же точку x; в один и тот же момент времени и подверженные одному и тому же взаимодействию F. Согласно закону первого порядка, обе траектории имеют одинаковую скорость в точке x; (а именно v = f(x;, F)), поэтому они фактически являются одной и той же траекторией. Невозможно, чтобы две системы находились в одной и той же точке с разными скоростями - это понятие не определено в рамках закона первого порядка.
      
      Однако аддитивность требует именно этого: универсального отображения взаимодействия на ускорение, применимого независимо от скорости системы. Реакция ускорения на заданную силу должна быть одинаковой независимо от того, движется ли система быстро или медленно, влево или вправо. В системе первого порядка этот вопрос бессмысленен, поскольку скорость не является свободным параметром.
      
      Основной аргумент:
      
      Шаг 1 (Аддитивность требует независимости от скорости): Постулат 3.2 (Аддитивность) утверждает, что существует линейное отображение L : F ; ; ; v от взаимодействий к ускорениям. Крайне важно, чтобы это отображение было универсальным: одно и то же взаимодействие приводит к одному и тому же ускорению независимо от состояния системы.
      
      В динамике второго порядка это просто: a = F/m, где F обозначает F. Две системы, находящиеся в одной и той же точке x с разными значениями v, испытывают одинаковое ускорение под действием одной и той же силы.
      
      Шаг 2 (динамика первого порядка этого не поддерживает): Согласно лемме 4.5, динамика первого порядка не может обеспечить отклик, не зависящий от скорости. Ускорение в любой точке зависит от скорости в этой точке, которая, в свою очередь, определяется законом первого порядка - свободы нет.
      
      Точнее: в системе первого порядка вопрос "какое ускорение создает F в точке (x, v)?" является некорректным, поскольку v не является свободной переменной. Единственный осмысленный вопрос - "какое ускорение создает F в точке x?", но тогда ответ обязательно зависит от v = f(x, F), что нарушает принцип универсальности.
      
      Шаг 3 (Компенсация независимо накладывает ограничения): Даже если отбросить аддитивность, компенсация требует сохранения импульса: (d/dt)( ;; m ; v ; ) = 0 для внутренних взаимодействий.
      
      При динамике первого порядка v ; = f(x ; , F) это принимает вид: ;; m ; (;f/;x)|; ; " f(x ; , F) + ;; m ; (;f/;F)|; ; " ; = 0
      
      Для того чтобы это выполнялось для всех конфигураций (x;, ..., x;) и всех масс (m;, ..., m;), члены должны по отдельности обращаться в нуль. В сочетании с Шагом 2 это не оставляет места для нетривиальной динамики.
      
      Вывод: Динамика первого порядка в конфигурационном пространстве не может удовлетворять постулату аддитивности (который требует независимой от скорости реакции на взаимодействие), поскольку скорость не является независимой переменной. Только путем преобразования скорости в независимую переменную состояния - что приводит к динамике второго порядка в пространстве S - могут быть удовлетворены оба постулата.
      
      Замечание 4.6 (Суть дела). Теорема не зависит от способа кодирования взаимодействия (как ;f , как внешний параметр и т. д.). Она зависит только от структурного факта, что в системах первого порядка скорость привязана к положению, что делает невозможным отклик, не зависящий от скорости. В этом заключается логическая суть несовместимости.
      
      5. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ДИНАМИКИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
      Теорема 5.1 (Необходимость формы второго порядка). В соответствии с постулатами 3.1-3.3, эволюция системы подчиняется закону второго порядка вида:
      ; ; v = F(x, v)/m(x)
      где m : S ; ;; - положительное значение, а F : TS ; TS - поле взаимодействия.
      
      Доказательство.
      
      Шаг 1 (Закон сохранения равновесия подразумевает законы, основанные на ускорении): Закон сохранения равновесия требует, чтобы невозмущенные траектории были геодезическими: ;;v = 0 при F = 0. Это означает, что динамический закон должен связывать ускорение (а не скорость) с взаимодействием: ;;v = G(x, v, F) для некоторой функции G, которая обращается в нуль при F = 0.
      
      Шаг 2 (Аддитивность подразумевает линейность по F): Пусть L : F ; ; ; v - отображение взаимодействия в ускорение. Аддитивность утверждает, что L является линейным: G(x, v, F) = L;, ; (F), где L;, ; - линейное отображение сил в ускорения в каждой точке (x, v).
      
      В общности, L;, ; : T;S ; T;S может быть любым линейным оператором. Наиболее общая форма: L;, ; (F) = M(x);;F, где M(x) : T;S ; T;S - положительно определённый линейный оператор (тензор массы). Это даёт: M(x); ; v = F(x, v)
      
      Аксиома (изотропия): Если система не имеет предпочтительных направлений, то M(x) = m(x)"I для некоторой скалярной функции m(x) > 0, что дает: m(x); ; v = F(x, v)
      
      Замечание (расширение тензорной массы): Полный вывод справедлив для тензорного случая M(x); ; v = F с положительно определенной массой M. Существенный момент - что динамика должна быть второго порядка - не зависит от того, является ли масса скалярной или тензорной.
      
      Шаг 3 (Компенсационные ограничения F): Для внутренних взаимодействий сохранение полного импульса требует: ;; m ; ; ;; v ; = ;; F ; = 0. Это условие выполняется, если F ;; = ;F ;; (третий закон Ньютона).
      
      5.1 О положительности m(x)
      Для обеспечения выполнения условия m(x) > 0 необходимо, чтобы:
      1. Корректность определения: уравнение невырожденное.
      2. Конечный отклик: Конечные силы приводят к конечным ускорениям.
      3. Невырожденность и корректность постановки задачи: задача Коши имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начальных данных.
      4. Гиперболичность: уравнение сохраняет причинно-следственную структуру.
      
      6. НЬЮТОНОВСКАЯ ДИНАМИКА КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ
      6.1 Евклидова специализация
      Пусть S = ;; с евклидовой метрикой g = ;;; . Тогда:
      • Символы Кристоффеля исчезают: ; ; ; ; = 0
      • Ковариантная производная сводится к обычной производной: ; ; v = dv/dt = d;x/dt;
      • Геодезические линии - это прямые линии, движущиеся с постоянной скоростью.
      
      Уравнение движения принимает следующий вид:
      m d;x/dt; = F(x, v)
      Поскольку F = ;; ; для гравитационного потенциала ; = ;GM/r, это и есть закон всемирного тяготения Ньютона.
      
      6.2 Что остается эмпирическим
      Наш вывод устанавливает форму динамического закона. Следующие положения остаются эмпирическими:
      • Размерность пространства (3)
      • Конкретная метрика (евклидова или криволинейная)
      • Значения констант (G, m, c, ;)
      • Форма потенциалов (обратноквадратичный и другие)
      • Выполняются ли постулаты для данной физической системы?
      
      6.3 Связь с теорией относительности и квантовой теорией
      Общая теория относительности: заменяет евклидово пространство S = ;; искривленным пространством-временем. Уравнение геодезической по-прежнему имеет характер второго порядка, причем кривизна кодирует гравитационную силу. Наша модель совместима: искривленные метрические пространства удовлетворяют аксиоме 2.1.
      
      Квантовая теория: Уравнение Шрёдингера является уравнением первого порядка по времени: i;; ; /;t = H ; . Однако это описывает эволюцию в гильбертовом пространстве (другом пространстве состояний), а динамика ожидаемых значений ; x ; подчиняется уравнениям второго порядка согласно теореме Эренфеста. В бомовской механике траектории частиц явно описываются уравнениями второго порядка, что позволяет предположить, что наша модель может быть непосредственно применима к уравнению управления.
      
      7. ПРИМЕР: ДИНАМИКА УБЕЖДЕНИЙ В ЭПИСТЕМИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
      Чтобы проиллюстрировать потенциальное применение за пределами физики, рассмотрим модель пересмотра убеждений.
      
      Пространство состояний: Пусть S - вероятностный симплекс ; ; = {p ; ;;;;; : ;; p ; = 1}, представляющий распределения вероятностей по n + 1 гипотезам.
      
      Метрика: Информационная метрика Фишера: g ;; (p) = ; ; (1/p;)(;p;/; ; ;)(;p;/; ; ;), где ; - координаты на ; ;. Эта метрика тесно связана со статистическим выводом и информационной геометрией.
      
      Согласно постулатам, эволюция убеждений удовлетворяла бы уравнению второго порядка:
      m(p); ; v = ;;D_KL(p;q)
      где D_KL - дивергенция Кульбака-Лейблера от целевого распределения q, определяемого на основе имеющихся данных, а m(p) представляет собой эпистемическую инерцию.
      
      Замечание 7.1. Это лишь предварительный набросок, а не доказательство того, что системы убеждений удовлетворяют аксиомам. Обращение к сохранению эпистемического импульса является аналогией; стандартная байесовская теория, очевидно, не подразумевает такого ограничения. Полная теория потребовала бы выведения постулатов из информационных теоретических основ.
      
      8. ОБСУЖДЕНИЕ
      8.1 Область применения и ограничения
      Наша теорема применима к системам, удовлетворяющим всем аксиомам:
      • S - риманово многообразие (Аксиома 2.1)
      • Траектории гладкие (дважды дифференцируемые).
      • Принципы устойчивости, аддитивности и компенсации выполняются.
      
      Системы, нарушающие какие-либо аксиомы, выходят за рамки нашей компетенции: дискретные системы, стохастические системы, сильно нелинейные взаимодействия и открытые системы.
      
      Замечание 8.1 (Стохастические расширения). Хотя стохастичность нарушает детерминированную устойчивость, форма второго порядка может быть сохранена. Динамика Ланжевена является динамикой второго порядка, но стохастической:
      m d;x/dt; = ;; ; ; ; (dx/dt) + ;(2 ; k_BT) ; (t)
      где ; (t) - белый шум. Стохастичность входит в содержание F, не изменяя форму второго порядка.
      
      8.2 Философские соображения
      Одно из возможных возражений: наши аксиомы воплощают классическую концепцию причинности (силы как причины ускорения), которая может быть неприменима во всех областях. В термодинамике, эволюционной динамике или экономических системах понятия устойчивости, аддитивности и компенсации требуют нетривиальной переинтерпретации.
      
      Мы признаем это ограничение. Сила теоремы заключается в ее условной структуре: если система удовлетворяет постулатам, то из этого следует динамика второго порядка.
      
      8.3 Открытые вопросы
      1. Минимальная структура: Можно ли ослабить аксиому 2.1?
      2. Стохастическое расширение: Можно ли переформулировать понятие персистентности вероятностным образом?
      3. Квантование: существует ли квантовый аналог?
      4. Эмпирические проверки: Можно ли с помощью моделирования проверить, возникает ли динамика ньютоновской формы, когда выполняются постулаты?
      
      9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
      Мы показали, что при соблюдении определенных аксиом (риманово пространство состояний, персистентность, аддитивность, компенсация) динамика второго порядка является не случайной особенностью, а структурной необходимостью.
      
      Ключевая идея: в системе первого порядка скорость подчинена положению - это производная величина, а не независимая переменная. Эта структурная особенность делает невозможным определение независимого от скорости отклика на взаимодействие, что требуется для аддитивности. Возникновение динамики второго порядка как раз и является превращением скорости в независимую переменную состояния, необходимую для существования когерентного аддитивного взаимодействия.
      
      Это не просто технический результат, касающийся дифференциальных уравнений. Он объясняет, почему возникает ньютоновская форма: не как эмпирическое открытие о физическом мире, а как структурная необходимость для любой системы, где взаимодействия суммируются аддитивно и действуют универсально.
      
      Для существования взаимодействия в когерентной аддитивной системе скорость должна быть преобразована в независимую переменную состояния.
      
      В рамках заданной структурной модели - гладких римановых пространств состояний, удовлетворяющих условиям персистентности, аддитивности и компенсации - динамика второго порядка в ньютоновской форме является не выбором, а необходимостью.
      
      ССЫЛКИ
      [1] Р. Абрахам и Дж. Э. Марсден, Основы механики, 2-е изд. (Бенджамин/Каммингс, Рединг, Массачусетс, 1978).
      [2] С. Амари, Информационная геометрия и ее приложения (Springer, Токио, 2016).
      [3] VI Арнольд, Математические методы классической механики, 2-е изд. (Springer, Нью-Йорк, 1989).
      [4] Н. Ай, Дж. Йост, Х. В. Ле и Л. Шваххофер, Информационная геометрия (Springer, Cham, 2017).
      [5] Дж. Барбур, Конец времени: следующая революция в физике (Oxford University Press, Оксфорд, 2001).
      [6] Д. Дюрр, С. Гольдштейн и Н. Занги, Квантовая физика без квантовой философии: бомовская механика (Springer, Берлин, 2013).
      [7] К. Фристон, Принцип свободной энергии: единая теория мозга? Nat. Rev. Neurosci. 11, 127-138 (2010).
      [8] Х. Голдштейн, К. Пул и Дж. Сафко, Классическая механика, 3-е изд. (Аддисон-Уэсли, Сан-Франциско, 2002).
      [9] К. Ланцош, Вариационные принципы механики, 4-е изд. (Dover, Нью-Йорк, 1970).
      [10] Дж. Э. Марсден и Т. С. Ратиу, Введение в механику и симметрию, 2-е изд. (Springer, Нью-Йорк, 1999).
      ПРИНЦИП СТРУКТУРНОЙ ДИАГНОСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
      На основе возникновения универсальной ньютоновской динамики из метрических инерциальных систем.
      Борис Кригер
      Институт интегративных и междисциплинарных исследований
      boriskriger@interdisciplinary-institute.org
      АБСТРАКТНЫЙ
      В данной работе выводится общий принцип моделирования из структурной теоремы, доказанной в работе "Возникновение ньютоновской динамики из метрических инерциальных систем" [Кригер, 2018]. В этой работе было установлено, что в рамках конкретной аксиоматической структуры - гладких римановых пространств состояний, удовлетворяющих условиям персистентности, аддитивности и компенсации - динамика второго порядка возникает как структурная необходимость, а не как эмпирическая случайность. Мы вводим концепцию универсальной ньютоновской динамики (УНД) - точнее, понимаемой как структурное требование второго порядка для аддитивных систем - признавая, что эта математическая структура представляет собой необходимый шаблон для моделирования систем, где влияния суммируются аддитивно и действуют независимо от текущих тенденций.
      
      Важно отметить, что наш принцип носит диагностический, а не предписывающий характер. Прежде чем применять принцип структурной диагностики, специалисты должны сначала проверить, удовлетворяет ли их система аксиомам: действительно ли влияния суммируются аддитивно? Должны ли их эффекты быть независимыми от текущего направления изменений системы? Только если оба ответа утвердительные, теорема применима, и только тогда моделирование первого порядка является структурно неполным. Мы предлагаем принцип структурной диагностики и практический протокол, позволяющий специалистам (1) проверять применимость аксиом, (2) выявлять структурную неполноту и (3) систематически корректировать модели посредством расширения пространства состояний.
      
      Ключевые слова: универсальная ньютоновская динамика, динамические модели, аддитивное взаимодействие, разложение в пространстве состояний, структурная диагностика, динамика второго порядка, принцип моделирования.
      
      1. ПРОБЛЕМА: ПОЧЕМУ МНОГИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМАТИЧЕСКИ ТЕРПЯТ НЕУДАЧУ.
      В количественных дисциплинах наблюдается распространенная закономерность: модели, прогнозирующие будущие состояния на основе только текущих, демонстрируют систематическую нестабильность, несоответствия или требуют обширных корректировок. В экономике простая экстраполяция тренда не позволяет учесть динамику рынка. В эпидемиологии модели, прогнозирующие показатели инфицирования на основе текущей распространенности, испытывают трудности с поведенческой обратной связью. В машинном обучении градиентный спуск без импульса неэффективно работает. В организационной динамике прогнозирование эффективности на основе текущих показателей не учитывает траекторию изменений.
      
      Эти сбои имеют общую структуру. Каждый из них включает в себя систему, подверженную множеству воздействий, которые, в принципе, должны в совокупности определять ее эволюцию. Фирма одновременно сталкивается с рыночными условиями, конкурентным давлением и внутренними возможностями. Эпидемия реагирует на скорость передачи, изменения в поведении и политические меры одновременно. Алгоритм оптимизации одновременно использует градиенты, регуляризацию и графики скорости обучения.
      
      Традиционный подход рассматривает каждую область отдельно, разрабатывая специализированные корректировки: члены импульса в оптимизации, корректировки ожиданий в прогнозировании, механизмы обратной связи в теории управления. Однако сохранение схожих проблем в несвязанных областях указывает на более глубокую структурную проблему. Какая особенность отсутствует в этих моделях, что приводит к систематическим сбоям?
      
      Ответ кроется в математическом результате, полученном Кригером [2018]. Хотя эта работа касалась основ механики, ее значение выходит далеко за рамки физики. В данной статье извлекается общий принцип моделирования, неявно заложенный в этой теореме, и предоставляется практиков диагностическая основа для выявления и исправления структурно неполных моделей.
      
      2. ЧТО БЫЛО УСТАНОВЛЕНО В ПРЕДЫДУЩЕМ ДОКУМЕНТЕ?
      В работе "Возникновение ньютоновской динамики из метрических инерциальных систем" Кригер [2018] доказал теорему с четко определенной областью применения: в рамках определенного класса систем - гладкой детерминированной динамики на римановых пространствах состояний - три структурных ограничения совместно требуют динамики второго порядка. Эти ограничения были формализованы следующим образом:
      
      Принцип устойчивости: В отсутствие взаимодействия система следует геодезическим - траекториям постоянной скорости в римановом смысле. Изменение скорости требует наличия причины.
      
      Аддитивность: При одновременном взаимодействии нескольких факторов их влияние на ускорение суммируется линейно. Совокупные причины приводят к совокупным последствиям.
      
      Компенсация: В замкнутых системах полный импульс сохраняется. Внутренние взаимодействия перераспределяют импульс, не изменяя его суммарного значения.
      
      Примечание о компенсации в нефизических областях: В то время как принципы персистентности и аддитивности напрямую применимы к немеханическим системам, компенсация требует интерпретации. В экономике она может проявляться как сохранение стоимости в закрытых транзакциях; в социальной динамике - как сохранение общей интенсивности мнения в чистом убеждении (без внешней информации). Важно отметить, что основной результат теоремы о несовместимости - что динамика первого порядка не может поддерживать аддитивный ответ, не зависящий от скорости, - следует в основном из принципов персистентности и аддитивности. Компенсация накладывает дополнительные ограничения на внутренние взаимодействия, но не является обязательной для базовой диагностики. Системы, удовлетворяющие только принципам персистентности и аддитивности, уже требуют формы второго порядка для согласованного моделирования.
      
      Теорема о несовместимости (теорема 4.1 в [Кригер, 2018]) показала, что любой динамический закон первого порядка в конфигурационном пространстве - то есть любой закон вида dx/dt = f(x, F), где x представляет положение, а F - внешние воздействия - нарушает по крайней мере одно из этих ограничений, если динамика не является тривиальной.
      
      Ключевое открытие носило структурный характер: в системе первого порядка скорость не является независимой переменной, а представляет собой производную величину, определяемую самим уравнением. Это делает невозможным существование двух систем в одной и той же точке с разными скоростями - само понятие не определено. Следовательно, не может быть независимой от скорости реакции на взаимодействие, чего требует аддитивность.
      
      Для решения этой задачи потребовалось преобразовать скорость в независимую переменную состояния, что привело к динамике второго порядка в конфигурационном пространстве (или, эквивалентно, к динамике первого порядка в касательном расслоении). Только тогда система могла бы поддерживать универсальное отображение от взаимодействия к ускорению, применимое независимо от текущей скорости системы.
      
      Важно отметить, что в статье проводилось различие между формой (математической структурой динамических законов) и содержанием (конкретными потенциалами и константами связи). Теорема касается только формы: динамика второго порядка ньютоновского типа возникает структурно, в то время как конкретные силы остаются эмпирически определенными.
      
      3. ОБОБЩЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТА ЗА ПРЕДЕЛАМИ МЕХАНИКИ
      Теорема в [Кригер, 2018] была доказана в механических терминах - положениях, скоростях, силах. Однако ничто в математической структуре не ограничивает её применимость к физике. Основные понятия обобщаются напрямую:
      
      Позиция может принимать любое значение переменной состояния - рыночные условия, распределение мнений, уровень квалификации, конфигурация системы.
      
      Скорость становится темпом изменения состояния - темпами роста, изменениями мнений, темпами обучения, системными тенденциями.
      
      Взаимодействием считается любое воздействие на систему - рыночные силы, социальное давление, сигналы обучения, управляющие воздействия.
      
      Ускорение превращается в изменение темпа изменений - то, как факторы влияют на тенденцию, а не на уровень изменений.
      
      В соответствии с этой интерпретацией теорема гласит: если система допускает множественные воздействия, которые должны суммироваться аддитивно и действовать независимо от текущего направления изменения системы, то любая модель, сформулированная исключительно на основе текущих переменных состояния, не может достоверно отразить, как эти воздействия суммируются.
      
      Это не аналогия; это та же самая математическая структура. Доказательство в [Кригер, 2018] основано на структурном факте, что в системах первого порядка скорость привязана к положению. В любой области, где мы моделируем dx/dt = f(x, множители), скорость изменения определяется текущим состоянием - она не является свободной. Любое воздействие, которое должно действовать на систему одинаково независимо от ее текущей тенденции, не может быть корректно представлено.
      
      4. УНИВЕРСАЛЬНАЯ НЬЮТОНОВСКАЯ ДИНАМИКА: КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ОСНОВА
      Представленное в предыдущем разделе обобщение обосновывает введение объединяющей концепции: универсальной ньютоновской динамики (УНД) . Эта концепция признает, что математическая структура, лежащая в основе законов движения Ньютона - дифференциальные уравнения второго порядка, возникающие из-за устойчивости, аддитивности и компенсации, - представляет собой необходимую основу для моделирования систем с аддитивными взаимодействиями, независимо от области, в которой они проявляются.
      
      Замечание 1 (О терминологии). Название "Универсальная ньютоновская динамика" может изначально наводить на мысль о чрезмерности - утверждении, что все системы являются тайно ньютоновскими. Это категорически не наше утверждение. Более точное (хотя и менее выразительное) название - "Структурное требование второго порядка для аддитивных систем". "Ньютоновское" обозначение отражает возникающую математическую форму (дифференциальные уравнения второго порядка с аддитивным воздействием), а не утверждение о физическом содержании. "Универсальное" относится к независимости теоремы от области применения: если система удовлетворяет аксиомам, то требование выполняется независимо от того, включает ли система частицы, цены или мнения. Данная концепция универсальна по своему охвату, но условна в применении.
      
      4.1 Определение
      Мы определяем универсальную ньютоновскую динамику как класс динамических систем, характеризующихся следующими структурными свойствами:
      
      • Состояние системы включает в себя как переменную конфигурации x, так и скорость ее изменения v в качестве независимых компонентов.
      • Эволюция регулируется динамикой второго порядка: воздействия действуют на dv/dt (ускорение), а не непосредственно на dx/dt (скорость).
      • Множественные факторы суммируются, оказывая аддитивное воздействие на ускорение.
      • В отсутствие внешнего воздействия система сохраняет свою текущую траекторию (устойчивость/инерция).
      • Внутренние взаимодействия сохраняют общий импульс (компенсация).
      
      Каноническая форма универсальной ньютоновской динамики выглядит следующим образом:
      dx/dt = v
      m " dv/dt = ;; F ;
      
      где m представляет собой инерцию системы (сопротивление изменению тренда), а F; - различные воздействия, действующие на систему. Ключевая идея заключается в том, что эта структура не является специфичной для физической механики - это необходимая форма для любой системы, удовлетворяющей структурным постулатам.
      
      Важное замечание: удовлетворяет ли какая-либо конкретная немеханическая система этим постулатам - это эмпирический вопрос, а не предположение, лежащее в основе данной модели. Теорема говорит нам, что следует из этого, если аксиомы верны; она не утверждает, что они верны в какой-либо заданной области.
      
      4.2 Уточненная ньютоновская аналогия
      Универсальная ньютоновская динамика обеспечивает точное соответствие между механическими понятиями и их обобщениями:
      
      Масса ; Инерция: Сопротивление изменениям темпа изменений. В экономике это может быть рыночное трение или институциональная жесткость. В обучении - когнитивная нагрузка или сила привычек. В социальной динамике - культурная инерция или плотность сети.
      
      Сила ; Влияние: любой фактор, изменяющий тенденции системы. Конкурентное давление, педагогическое вмешательство, изменение политики, информационный поток.
      
      Импульс ; Сила тренда: произведение инерции и скорости (m " v). Для изменения направления тренда в системе с высокой силой тренда необходимы сильные противодействующие воздействия.
      
      Кинетическая энергия ; Трендовая способность: величина ;mv;, представляющая способность системы продолжать изменяться даже при наличии сопротивления.
      
      5. ПРИНЦИП СТРУКТУРНОЙ ДИАГНОСТИКИ
      Теперь мы сформулируем центральный результат этой статьи в виде принципа моделирования, выведенного из теоремы в [Кригер, 2018]:
      
      Принцип 1 (Принцип структурной диагностики). Если система допускает аддитивные воздействия, которые должны действовать независимо от текущего направления изменений системы, то любая модель, сформулированная исключительно на основе текущих переменных состояния, является структурно неполной.
      
      Диагностический алгоритм имеет решающее значение: этот принцип является условным, и его применение требует определенной последовательности действий:
      
      1. Прежде всего, задайте себе вопрос: суммируются ли факторы, влияющие на эту систему, аддитивно? (Удвоит ли удвоение влияния F; при сохранении F; постоянным эффект F;?)
      2. Во-вторых, задайте себе вопрос: должны ли эти факторы действовать независимо от текущей тенденции системы? (Должен ли один и тот же фактор вызывать одинаковое ускорение независимо от того, находится ли система на подъеме или на спаде?)
      3. Только если оба ответа "да": тогда модели первого порядка структурно неполны, и необходимо расширение пространства состояний.
      4. Если хотя бы один из ответов отрицательный: теорема неприменима. Система может по-прежнему извлекать пользу из моделирования второго порядка по другим причинам, но структурная необходимость не установлена.
      
      Этот принцип служит одновременно диагностическим инструментом и процедурой коррекции. Для любой динамической модели можно задаться вопросом, должны ли представляемые ею факторы действовать независимо от текущей траектории системы. Если да, и если модель является моделью первого порядка по переменным состояния, то модель структурно неполна, независимо от того, насколько хорошо она соответствует историческим данным.
      
      Этот принцип не утверждает, что все модели первого порядка неверны. Во многих системах скорость изменений действительно определяется текущими условиями - диффузией, определенной химической кинетикой, некоторой динамикой популяций. Диагностика применяется именно тогда, когда ожидается аддитивность влияний, не зависящих от скорости.
      
      6. ПОЧЕМУ МОДЕЛИ ПЕРВОГО СОСТОЯНИЯ ПРОТИВОРЕЧАТ АДДИТИВНОСТИ
      Рассмотрим типичную форму моделирования во многих прикладных областях:
      dx/dt = f(x, factors)
      
      Здесь x представляет состояние системы (рыночная позиция, распространенность мнений, уровень квалификации), а "факторы" представляют различные факторы влияния (рыночные условия, социальное давление, интенсивность обучения). Модель утверждает, что темп изменений определяется текущим состоянием и текущими факторами влияния.
      
      Следуя анализу, представленному в [Кригер, 2018], мы выявляем структурную проблему. В этой формулировке:
      
      1. Скорость (dx/dt) напрямую связана с положением. После указания x и множителей, значение dx/dt определяется однозначно. Невозможно задать скорость изменения независимо.
      
      2. Две системы не могут находиться в одном и том же состоянии с разными тенденциями. Если система А и система В находятся в состоянии x при одинаковых факторах, то скорость их изменения должна быть одинаковой. Понятие "одно и то же положение, разная скорость" не определено.
      
      3. Факторы влияния не могут действовать независимо от текущей тенденции. Воздействие любого фактора на систему зависит от того, какую скорость этот фактор создает в текущем состоянии, - но сама скорость зависит от всех факторов. Невозможно определить, как один фактор влияет на систему, "поддерживая траекторию постоянной".
      
      В этом и заключается принципиальная несовместимость. Аддитивность требует универсального соответствия между факторами влияния и изменениями тренда - одно и то же влияние приводит к одному и тому же изменению независимо от текущей скорости. Системы первого порядка не могут поддерживать такое соответствие, поскольку скорость не является свободным параметром.
      
      7. ПРАВИЛО РАСШИРЕНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ПРОСТРАНСТВА
      Решение непосредственно следует из теоремы 5.1 в [Кригер, 2018]: перевести скорость изменения в независимую переменную состояния. Исправленная форма моделирования выглядит следующим образом:
      dx/dt = v
      dv/dt = F(факторы)
      
      Здесь v представляет собой тенденцию или импульс системы - скорость изменения состояния - как независимую переменную. Воздействия действуют на v, а не непосредственно на x. Это разложение в пространство состояний: состояние системы теперь (x, v), а не только x.
      
      В соответствии с этой формулировкой:
      • Две системы могут занимать один и тот же уровень, но иметь разные тенденции - у них разная скорость изменения.
      • Влияние различных факторов может суммироваться и оказывать аддитивное воздействие на dv/dt независимо от текущего напряжения.
      • Реакция на заданный фактор одинакова независимо от того, повышается система или понижается, быстро она или медленно развивается.
      
      Ключевой сдвиг в интерпретации: факторы влияния должны воздействовать на изменение тренда, а не на уровень. Рыночная сила не устанавливает цену напрямую; она ускоряет или замедляет ценовой тренд. Сигнал обучения не определяет напрямую уровень навыков; он ускоряет или замедляет процесс обучения. Это не просто условность моделирования, а структурное требование для обеспечения согласованности аддитивного взаимодействия.
      
      8 ПРИМЕРОВ ИЗ РАЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
      8.1 Прогнозирование продаж и спроса
      Модель первого порядка: dS/dt = f(цена, реклама, сезонность). Темп продаж определяется текущими факторами.
      Проблема: Предполагается, что у фирмы с растущими продажами и у фирмы с падающими продажами, находящихся на одном и том же текущем уровне и в одинаковых условиях, будущее будет иметь одинаковые показатели. Рыночная динамика невидима.
      Расширенная модель: dS/dt = v; dv/dt = F(цена, реклама, сезонность). Продажи обладают импульсом; на ускорение тенденций продаж влияют факторы, а не непосредственно уровни продаж.
      
      8.2 Мнение и социальная динамика
      Модель первого порядка: dP/dt = f(воздействие СМИ, влияние сверстников, события). Распространенность мнений меняется в зависимости от текущих влияний.
      Проблема: Мнение, быстро набирающее популярность, и мнение, теряющее популярность, при распространенности в 40% оба, будут реагировать на новую информацию одинаково. Социальный импульс - траектория изменений - игнорируется.
      Расширенная модель: dP/dt = v; dv/dt = F(медиа, сверстники, события). Факторы влияния воздействуют на то, как ускоряются или замедляются тенденции изменения общественного мнения.
      
      8.3 Обучение и рост производительности
      Модель первого порядка: dL/dt = f(практика, обратная связь, сложность). Скорость обучения зависит от текущих условий тренировки.
      Проблема: Успеваемость одного ученика быстро улучшается, а другого стагнирует, при одинаковом уровне навыков и одинаковом обучении, и прогнозируется одинаково. Отсутствие инерции обучения.
      Расширенная модель: dL/dt = v; dv/dt = F(практика, обратная связь, сложность). Тренировка влияет на ускорение обучения, а не непосредственно на скорость обучения.
      
      8.4 Системы управления и агенты искусственного интеллекта
      Модель первого порядка: управляющий сигнал напрямую задает целевую скорость изменения.
      Проблема: Такие системы демонстрируют перерегулирование, колебания и нестабильность при изменении условий, поскольку они не могут отличить систему, движущуюся к цели, от системы, движущейся на то же расстояние.
      Расширенная модель: производная в ПИД-регулировании - это именно введение скорости в качестве переменной состояния; контроллер реагирует как на ошибку положения, так и на скорость изменения ошибки.
      
      9. СВЯЗЬ С СУЩЕСТВУЮЩЕЙ ПРАКТИКОЙ
      Описанное нами расширение пространства состояний не является новым на практике - оно было независимо обнаружено в различных областях, как правило, методом проб и ошибок:
      
      ПИД-регулирование: член D (производная) реагирует на скорость изменения ошибки, неявно вводя скорость. Эта методика была разработана эмпирическим путем в начале XX века без структурного обоснования.
      
      Импульс в оптимизации: Градиентный спуск с импульсом поддерживает экспоненциально взвешенную историю прошлых градиентов, фактически рассматривая скорость как переменную состояния. Это ускоряет сходимость и уменьшает колебания, что было обнаружено в ходе экспериментов.
      
      Эконометрика пространства состояний: модели векторной авторегрессии и фильтрации Калмана включают запаздывающие разности (неявные скорости) в качестве переменных состояния. Это повышает точность прогнозирования, что прагматично обосновано.
      
      Эпидемиологические модели: Компартментальные модели, включающие поведенческую адаптацию, часто вводят переменные, отражающие скорость изменения, чтобы показать, как популяции реагируют на тенденции, а не только на уровни.
      
      Чего до сих пор не хватало, так это единого структурного объяснения. Каждая область разработала свой собственный словарь и обоснование. Теорема в [Кригер, 2018] обеспечивает общую основу: эти модификации работают, потому что они исправляют структурную неполноту, присущую формулировкам первого порядка при наличии аддитивных, независимых от скорости влияний.
      
      10. СЛЕДСТВИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
      В качестве формального следствия мы формулируем главный результат:
      
      Следствие (Моделирование следствия теоремы о необходимости второго порядка). Пусть M - динамическая модель системы S с переменной состояния x. Предположим, что S допускает влияния F;, F;, ... которые должны (i) суммироваться аддитивно и (ii) действовать на S независимо от dx/dt. Если M имеет вид dx/dt = f(x, F), то M не может точно представить совместное воздействие этих влияний. M необходимо разложить на степени второго порядка: dx/dt = v, dv/dt = g(x, v, F).
      
      Доказательство. Путем прямого применения теоремы 4.1 из [Кригер, 2018]. Условия (i) и (ii) соответствуют аддитивности; общая структура соответствует персистентности. Компенсация автоматически выполняется для замкнутых подсистем. Тогда применяется теорема о несовместимости: динамика первого порядка не может удовлетворять этим ограничениям.
      
      Это следствие преобразует теоретический результат об основах механики в практический диагностический инструмент для прикладного моделирования.
      
      11. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
      Мы показали, что структурная теорема, доказанная в [Кригер, 2018] - о том, что динамика второго порядка обязательно возникает из определенных аксиом - обобщается за пределы механики, предоставляя универсальный принцип моделирования. Принцип структурной диагностики гласит, что модели, допускающие аддитивные, независимые от скорости влияния, не могут быть сформулированы в форме первого порядка без структурной неполноты.
      
      Этот принцип объясняет, почему аналогичные поправки (члены импульса, управление производными, разложения в пространстве состояний) были обнаружены независимо друг от друга в несвязанных областях. Это не ситуативные исправления, а необходимые меры реагирования на общий структурный недостаток.
      
      Для практиков этот принцип служит диагностическим инструментом: прежде чем строить или проверять модель, следует задаться вопросом, должны ли факторы суммироваться аддитивно и действовать независимо от текущих тенденций. Если да, то модели первого порядка структурно неадекватны, независимо от их соответствия историческим данным.
      
      Переход от ньютоновской механики к универсальному принципу моделирования иллюстрирует, как фундаментальные исследования в одной области могут пролить свет на практику во многих других. То, что Кригер [2018] установил для физических систем - что скорость должна быть преобразована в независимую переменную состояния для существования взаимодействия в когерентной аддитивной системе - применимо везде, где ожидается аддитивность и независимость от скорости.
      
      Форма динамических законов не является произвольной. Она ограничена структурой взаимодействия.
      
      ССЫЛКИ
      Армстронг, Дж. С. (2012). Прогнозирование методом экстраполяции: выводы из двадцати пяти лет исследований. Уортонская школа бизнеса, Университет Пенсильвании.
      Острем, К.Дж. и Хэгглунд, Т. (1995). ПИД-регуляторы: теория, проектирование и настройка. Инструментальное общество Америки.
      Астрём, К. Дж. и Мюррей, Р. М. (2008). Системы обратной связи: Введение для ученых и инженеров. Издательство Принстонского университета.
      Бордало, П., Геннайоли, Н., и Шлейфер, А. (2018). Диагностические ожидания и кредитные циклы. Журнал финансов, 73(5):1999-2027.
      Функ, С., Салате, М., и Янсен, В.А. (2010). Моделирование влияния человеческого поведения на распространение инфекционных заболеваний. Журнал взаимодействия Королевского общества, 7(50):1247-1256.
      Го, Г. (2017). Почему импульс действительно работает. Distill. http://doi.org/10.23915/distill.00006
      Гудфеллоу, И., Бенджио, Й., и Курвиль, А. (2016). Глубокое обучение. Издательство MIT Press.
      Кригер, Б. (2018). Возникновение ньютоновской динамики из метрических инерциальных систем: структурный вывод детерминированной эволюции второго порядка. Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.18343870
      Саймон, Д. (2006). Оценка оптимального состояния: подходы Калмана, H; и нелинейные подходы. Wiley.
      Суцкевер, И., Мартенс, Дж., Даль, Г., и Хинтон, Г. (2013). О важности инициализации и момента инерции в глубоком обучении. Труды 30-й Международной конференции по машинному обучению (ICML-13), страницы 1139-1147.
      Верелст, Х., Виллем, Л., и Бойтельс, П. (2016). Модели изменения поведения для передачи инфекционных заболеваний: систематический обзор (2010-2015). Журнал взаимодействия Королевского общества, 13(125):20160820.
      
      
      
      
      
      
      
      
      БИБЛИОГРАФИЯ
      
      Первичные источники
      
      Кригер, Б. (2018). Возникновение ньютоновской динамики из метрических инерциальных систем: структурный вывод детерминированной эволюции второго порядка. Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.18343870
      Кригер, Б. (2018). Принцип структурной диагностики динамических моделей: основан на возникновении универсальной ньютоновской динамики из метрических инерциальных систем. Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.18344823
      Классическая механика и её основы
      
      Абрахам, Р. и Марсден, Дж. Э. (1978). Основы механики, 2-е изд. Benjamin/Cummings, Рединг, Массачусетс.
      Арнольд, В.И. (1989). Математические методы классической механики, 2-е изд. Springer, Нью-Йорк.
      Голдштейн, Х., Пул, К., и Сафко, Дж. (2002). Классическая механика, 3-е изд. Аддисон-Уэсли, Сан-Франциско.
      Ланцош, К. (1970). Вариационные принципы механики, 4-е изд. Довер, Нью-Йорк.
      Марсден, Дж. Э. и Ратиу, Т. С. (1999). Введение в механику и симметрию, 2-е изд. Springer, Нью-Йорк.
      Ньютон, И. (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Королевское общество, Лондон. [Английский перевод: The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy, пер. И. Бернард Коэн и Энн Уитмен, University of California Press, 1999.]
      Геометрия и основы математики
      
      Амари, С. (2016). Информационная геометрия и ее приложения. Springer, Токио.
      Ай, Н., Йост, Й., Ле, Х.В. и Шваххофер, Л. (2017). Информационная геометрия. Springer, Cham.
      до Кармо, М.П. (1992). Риманова геометрия. Биркхаузер, Бостон.
      Ли, Дж. М. (2018). Введение в римановы многообразия, 2-е изд. Springer, Cham.
      Квантовая механика и основы физики
      
      Барбур, Дж. (2001). Конец времени: следующая революция в физике. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд.
      Дурр, Д., Гольдштейн, С., и Занги, Н. (2013). Квантовая физика без квантовой философии: бомовская механика. Springer, Берлин.
      Теория и техника управления
      
      Астром, К. Дж. и Хагглунд, Т. (1995). ПИД-регуляторы: теория, проектирование и настройка. Общество приборостроения Америки.
      Астром, К. Дж. и Мюррей, Р. М. (2008). Системы обратной связи: Введение для ученых и инженеров. Издательство Принстонского университета.
      Саймон, Д. (2006). Оценка оптимального состояния: подходы Калмана, H-бесконечности и нелинейные подходы. Wiley.
      Экономика и финансы
      
      Армстронг, Дж. С. (2012). Прогнозирование методом экстраполяции: выводы из двадцати пяти лет исследований. Уортонская школа бизнеса, Пенсильванский университет.
      Бордало, П., Геннайоли, Н., и Шлейфер, А. (2018). Диагностические ожидания и кредитные циклы. Журнал финансов, 73(5), 1999-2027.
      Шиллер, Р.Дж. (2000). Иррациональная эйфория. Издательство Принстонского университета.
      Эпидемиология и общественное здравоохранение
      
      Функ, С., Салате, М., и Янсен, В.А. (2010). Моделирование влияния человеческого поведения на распространение инфекционных заболеваний. Журнал взаимодействия Королевского общества, 7(50), 1247-1256.
      Верелст, Х., Виллем, Л., и Бойтельс, П. (2016). Модели изменения поведения для передачи инфекционных заболеваний: систематический обзор (2010-2015). Журнал взаимодействия Королевского общества, 13(125), 20160820.
      Кермак, У. О. и Маккендрик, А. Г. (1927). Вклад в математическую теорию эпидемий. Труды Королевского общества Лондона А, 115(772), 700-721.
      Машинное обучение и искусственный интеллект
      
      Го, Г. (2017). Почему импульс действительно работает. Distill. http://doi.org/10.23915/distill.00006
      Гудфеллоу, И., Бенджио, Й., и Курвиль, А. (2016). Глубокое обучение. Издательство MIT Press.
      Суцкевер, И., Мартенс, Дж., Даль, Г., и Хинтон, Г. (2013). О важности инициализации и момента в глубоком обучении. Труды 30-й Международной конференции по машинному обучению (ICML-13), 1139-1147.
      Кингма, Д.П. и Ба, Дж. (2015). Адам: метод стохастической оптимизации. Труды 3-й Международной конференции по обучению представлениям (ICLR).
      Нейробиология и когнитивная наука
      
      Фристон, К. (2010). Принцип свободной энергии: единая теория мозга? Nature Reviews Neuroscience, 11, 127-138.
      Чиксентмихайи, М. (1990). Поток: Психология оптимального опыта. Harper & Row.
      Социальная динамика и организационное поведение
      
      Ханнан, М.Т. и Фриман, Дж. (1984). Структурная инерция и организационные изменения. Американский социологический обзор, 49(2), 149-164.
      Кристенсен, К.М. (1997). Дилемма новатора. Издательство Гарвардской школы бизнеса.
      Грановеттер, М. (1978). Пороговые модели коллективного поведения. Американский журнал социологии, 83(6), 1420-1443.
      Философия науки
      
      Кун, Т.С. (1962). Структура научных революций. Издательство Чикагского университета.
      Картрайт, Н. (1983). Как лгут законы физики. Издательство Оксфордского университета.
      Ледиман, Дж. и Росс, Д. (2007). Всё должно исчезнуть: натурализованная метафизика. Издательство Оксфордского университета.
      Общие научные и междисциплинарные работы
      
      Фейнман, Р. П. (1965). Характер физических законов. Издательство MIT Press.
      Строгац, Ш.Х. (2015). Нелинейная динамика и хаос, 2-е изд. Издательство Westview Press.
      Уилсон, Э.О. (1998). Консилиенция: Единство знаний. Knopf.
      Медоуз, Д.Х. (2008). Системное мышление: вводный курс. Издательство "Челси Грин".
      Талеб, Н.Н. (2007). Черный лебедь: Влияние крайне маловероятного. Издательство "Рэндом Хаус". Канеман, Д. (2011). Мышление: быстрое и медленное. Farrar, Straus and Giroux.
  • Оставить комментарий
  • © Copyright Кригер Борис Юрьевич (krigerbruce@gmail.com)
  • Обновлено: 06/02/2026. 305k. Статистика.
  • Монография: Естеств.науки
    •  Ваша оценка:
    Связаться с программистом сайта.