# Геометрия искривленных пространств

Петр Васильевич Путенихин

Рассмотрены основные виды искривлённых пространств - пространства положительной и отрицательной кривизны. Введены соответствующие этим пространствам понятия диска и шара Римана, сферы Лобачевского. Утверждается, что параллельный перенос вектора в искривлённых пространствах невозможен в принципе, поскольку в них отсутствует понятие параллельных линий. В таких пространствах возможен только эквиугловой перенос. Рассмотрены противоречивые представления о диаграммах Пенроуза, являющихся, по сути, обычной системой координат, подобной декартовой. Приведены объёмные фигуры, построенные в пространствах положительной и отрицательной кривизны.

Путенихин, Петр Васильевич

ГЕОМЕТРИЯ искривлённых пространств / П.В.Путенихин.

- Саратов: ООО "АМИРИТ", 2023. - 430 с., цв. илл.


Макет книги находится в данный момент, 10.04.2023, в издательстве и готовится к публикации и последующей передаче обязательных экземпляров книги в Книжную палату. Отправлены в Книжную палату они будут приблизительно в мае 2023 года. Данная статья, с одной стороны, является ознакомительным фрагментом книги, а с другой стороны - файлом, содержащим анимации, упомянутые в тексте книги. Полный текст книги находится во вложении к этому фрагменту по адресам:

http://samlib.ru/img/p/putenihin_p_w/geospace/ge_74d.pdf

http://lit.lib.ru/img/p/putenihin_p_w/geospace/ge_74d.pdf

Адрес данного фрагмента:

http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/geospace.shtml

http://lit.lib.ru/p/putenihin_p_w/geospace.shtml

Для сохранения структуры оглавления в этом фрагменте представлены лишь первые главы, содержащие анимации. Главы урезаны, то есть, в них оставлен лишь первый абзац или его часть.


Иллюзия кривизны


Исследование искривлённых пространств является весьма популярной темой. Но следует заметить, что собственно понятие пространства определено несколько расплывчато. Во многих публикациях в роли пространства рассматриваются явно конечные геометрические объекты.


Логарифмическая система координат


Вероятно, одним из первых способов кажущегося искривления плоского двухмерного пространства является использование логарифмической сетки координат.


Диаграммы Картера-Пенроуза


Приём изменения характеристик координатной системы, сжатия пространства путём разбиения осей на произвольные отрезки используется довольно часто. Как правило, главной целью, как и в случае логарифмического сжатия осей, является стремление расширить охватываемую область пространства на ограниченной поверхности листа, экрана, вывести на неё как можно больше графической информации. Одним из таких сжатых пространств являются диаграммы Картера-Пенроуза.


Рис.8. Анимированная диаграмма Пенроуза: окружность с вращающейся внутри стрелкой


Диск Пуанкаре


Как мы отметили выше, подобием квадратной диаграммы Пенроуза является, назовём её так, круглая диаграмма Пенроуза, фактически тождественная диску Пуанкаре. Как считается, диск Пуанкаре описывает бесконечное пространство отрицательной кривизны Лобачевского.


Гравюры Эшера


Отметим, что гравюры Эшера являются, пожалуй, одними из наиболее интересных и красочных иллюстраций, воплощений пространства отрицательной кривизны Лобачевского.


Диаграмма Пенроуза как система координат


В физике и математике практически невозможно обойтись без систем координат, которые всегда присутствуют в том или ином, явном или неявном виде. В литературе для наглядности во многих случаях используются их различные графические отображения.


Классы диаграмм Пенроуза


Если рассмотреть различные варианты диаграмм Пенроуза в научной литературе, то по способу изображения горизонта событий их можно обобщенно, условно сгруппировать в четыре класса:


Диаграмма в форме ромба (квадрата)


То, что диаграмма Пенроуза в форме ромба (квадрата) имеет сходство с декартовой системой координат наглядно показано на рисунке рис.5.


2М-диаграмма Пенроуза


Из полученной диаграммы мы так же можем сформировать и так называемое максимально расширенное решение Шварцшильда для вечной Чёрной дыры - рисунки рис.14 и рис.6f, содержащее сингулярности и параллельную Вселенную.


Алгоритм построения диаграммы Пенроуза


Исходя из возможных видов координатных параметров в трёхмерном пространстве, можно выделить четыре различные системы координат.


Динамические диаграммы Пенроуза


Теперь, имея уравнения преобразования координат, мы можем изобразить на диаграмме Пенроуза любую мировую линию. Для этого нам нужно знать только уравнение её движения r(t). Более того, мы можем нарисовать последовательность диаграмм для каждого момента времени по этим уравнениям и соединить их в анимацию, динамическую последовательность кадров. Пример кадра такой анимации для четырех разных мировых линий изображен на следующем рисунке:


Рис.8. Мировые линии на динамической диаграмме


На кадре из динамической диаграммы рис.8 изображены четыре произвольные мировые линии, имеющие начало в момент времени t = -20, где размерность времени может быть произвольной, как указано выше. Две из линий - светоподобные и соответствуют лучам света, испущенным в точках r = 1 и r = 5, причем размерность расстояния соответствует размерности времени.


В качестве примера попробуем задать уравнение мировой линии такое, чтобы она проходила вблизи центра диаграммы. Как и в полярных координатах, на этой диаграмме изображено всё существующее пространство-время: и видимая Вселенная, и вся Вселенная за видимым горизонтом, от Большого Взрыва и до конца нашей реальности, ничто не может быть изображено вне диаграммы.


Рис.9. Пример мировой линии на динамической диаграмме Пенроуза по уравнению, рассчитанному из заданных условий


Синим цветом изображена мировая линия события по выведенному уравнению, которое приведено в правом верхнем углу диаграммы. Значение уравнения на рисунке вычислено для момента времени t = 1,75. Можно заметить, что на нижнем отрезке траектории тело движется по пространственноподобной траектории, то есть, со сверхсветовой скоростью, как тахион. Проверку на корректность уравнения движения для построения диаграммы должен производить его автор, отслеживая скорость тела. Разумеется, "отсекать" недопустимые значения траекторий может и алгоритм автоматизированного, компьютерного построения диаграмм.


Динамическая диаграмма обмена фотонами


Как правило, чаще всего диаграммы Пенроуза используются в общей теории относительности при рассмотрении неинерциального (с ускорением) движения или движения с учетом гравитационных сил, например, действия космологических Черных дыр. Однако нет никаких препятствий для использования их и для исследования инерциальных систем отсчета - ИСО.

В этом случае следует формировать столько диаграмм, сколько на ней имеется инерциальных участников движения. Рассмотрим случай обмена световыми сигналами теперь уже для двух таких ИСО - А и В. Диаграммы в виде кадра из анимации представлены на рисунке рис.10.

На рисунке представлены диаграммы, полностью соответствующие диаграммам Минковского. Слева - ситуация с точки зрения неподвижного наблюдателя ИСО В, справа - ИСО А.

В некоторый момент времени из ИСО B испускается световой сигнал r3, который достигает ИСО A. В этот же момент времени оттуда отправляется ответный световой сигнал r4. Через какое-то время этот сигнал достигает ИСО В.


Рис.10. Диаграммы Пенроуза для двух ИСО, обменивающихся световыми сигналами


Произвольные фигуры на диаграмме


Как отмечено, диаграммы Пенроуза принципиально ничем не отличаются от традиционных, классических декартовых систем координат. Поэтому их можно использовать таким же образом для любых графических построений. Поскольку координатная сетка на диаграммах Пенроуза криволинейная, такие фигуры и графики выглядят довольно-таки экзотически, как показано на рисунке рис.11. Координатная сетка, линии удалены.

Очень интересно на диаграмме Пенроуза выглядит наипростейшая геометрическая фигура - круг. На рисунке рис.13 он изображен в виде стилизованного секундомера, который приобрел довольно забавные очертания, деформируясь в некоторое подобие квадрата.

Цветной оригинал этого рисунка приведён здесь на странице 15. Трудно представить, но на рисунке действительно изображен круг с вращающейся внутри стрелкой. Особенно забавно картина выглядит на анимации. В процессе движения по окружности стрелка постоянно изгибается - образуя горб то по ходу движения, то против него. И только в четырех точках своей траектории стрелка превращается в прямую линию - на светоподобных траекториях. Как и в случае диаграммы с бесконечными горизонтами, 2М-диаграмма так же является просто координатной системой, ничем принципиально не отличающейся от декартовой. Поэтому и здесь мы вполне можем рассматривать в качестве координат не время и радиус, а обычные декартовы координаты x-y.


Рис.13. Диаграмма Пенроуза для вращающейся в круге стрелки


Таким образом, имея функции преобразования, можно построить любую геометрическую фигуру. Давайте построим "секундомер", такой же, как на диаграммах с бесконечными горизонтами на рисунке рис.13.

Построение "секундомера" можно произвести симметрично как с пересечением двух изображений друг с другом, так и без пересечения, когда каждое из изображений будет полностью находиться в одной из областей - выше или ниже оси m = 0. Мы построим только одно полноразмерное изображение каждого из выбранных объектов для одного из значений знака m, рисунок рис.14.

На рисунке изображены три объекта - две окружности, внутри которых вращаются стрелки - указатели, наподобие секундомеров, и группа из концентрических окружностей. Отметим со всей определенностью, что на рисунке изображены только окружности (и пара стрелок - указателей). Левая, каплевидная синяя окружность имеет радиус R = 0.6, а центр её расположен в точке с координатами x = 3, y = 0.1. Длина указателя или радиус окружности, которую описывает его конец, равны 0.53. Параметр преобразования m имеет положительный знак. Все геометрические параметры фигур, их размеры выбраны такими, чтобы они занимали достаточно большую область рисунка.


Рис.14. Секундомеры на координатной 2М-диаграмме


Заключение


Итак, основная, фундаментальная сущность диаграмм Пенроуза состоит в отображении на квадрат конечных размеров бесконечного одномерного пространства-времени. По сути, это обычная координатная система одномерного пространства, поскольку время не является пространственной координатой.


Показательная функция для 2М-диаграммы


Диаграмма Пенроуза для вечной Черной дыры


В литературе можно встретить наглядные графические иллюстрации процесса коллапса нейтронной звезды - так называемые диаграммы Пенроуза для вечной черной дыры.


Уравнение геодезической для показательной шкалы


Дело в том, что две половины диаграммы Вселенной (область I) неравноценны в смысле шкалы расстояний


Нелинейность времени на диаграмме Пенроуза


В качестве примера изобразим на полученной диаграмме коллапс нейтронной звезды с образованием Черной дыры, рисунок рис.6.


Рис.6. Диаграмма Пенроуза для коллапса нейтронной звезды в Черную дыру


До момента времени t = - 1 масса звезды непрерывно увеличивалась, и, соответственно, увеличивался её радиус до примерно r = 3,5M. В этот момент масса звезды превысила критическую, и звезда начала стремительно сжиматься.


Построение мировой линии произвольной функции


Полученные уравнения сформированы для уравнений прямолинейных геодезических вида r = at + b. Вместе с тем, базовое уравнение (1) можно использовать и для уравнений произвольных функций и одиночных точек на диаграмме.


Уравнения преобразования для точки


Сгруппируем компактно полученные результаты для параметрического построения геодезических, описываемых линейными функциями.


Использование диаграммы "Вечной Черной дыры"


Выведем уравнение для гипотетической ситуации подлета и удаления от Черной дыры.


Пусть наш космолет умеет двигаться со сверхсветовой скоростью. Описанную ситуацию мы анимируем на разработанных выше динамических 2М-диаграммах Пенроуза. Вот что в результате вышло:


Рис.10. Мировые линии космолетов, движущихся к Черной дыре


На рисунке (анимации) изображены три мировые линии. Красным цветом выделена мировая линия придуманного нами космолета. Из глубин космоса он движется в направлении Черной дыры. Он встречает на своем пути другого путешественника, мировая линия которого изображена синим цветом.


Демонстрация: секундомеры на 2М-диаграмме


Как и в случае диаграммы с бесконечными горизонтами, 2М-диаграмма так же является просто координатной системой. Поэтому мы вполне можем рассматривать в качестве координат не время и радиус, а обычные декартовы координаты x-y.


Построение "секундомера" можно произвести симметрично как с пересечением двух изображений друг с другом, так без пересечения, когда каждое из изображений будет полностью находиться в одной из областей - выше или ниже оси m = 0. Мы построим только одно полноразмерное изображение каждого из объектов для одного из значений знака m:


Рис.15. Секундомеры на координатной 2М-диаграмме Пенроуза


Все следующие главы анимаций не содержат, поэтому здесь не приводятся.