# Парадоксы параллельности

Петр Васильевич Путенихин

На искривлённых поверхностях не существует параллельных линий, следовательно, никакой перенос вектора не может быть параллельным. Под параллельным переносом вектора подразумевается эквиугловой перенос, то есть, перенос с сохранение угла между вектором и линией переноса. Такой условный параллельный перенос вектора не может служить индикатором кривизны пространства, в частности, на поверхности сферы. Перенос вектора по произвольной замкнутой траектории или по разным путям с сохранением угла к линии переноса может привести к изменению его направления в любом пространстве, в том числе на плоскости Евклида.

Утверждение о принципиальной невозможности сравнения векторов является ошибочным. Определение понятия скорости удаления галактик по отношению к нам является чётким, определённым и в пределах доступной точности - однозначным.

Paradoxes of Parallelism. There are no parallel lines on curved surfaces, so no vector transfer can be parallel. Parallel transfer of a vector means equiangular transfer, that is, transfer with preservation of the angle between the vector and the transfer line. Such a conditional parallel transfer of a vector cannot serve as an indicator of the curvature of space, in particular, on the surface of a sphere. Transferring a vector along an arbitrary closed trajectory or along different paths while maintaining the angle to the transfer line can lead to a change in its direction in any space, including the Euclidean plane.

The statement about the fundamental impossibility of comparing vectors is erroneous. The definition of the concept of the speed of removal of galaxies in relation to us is clear, definite and, within the limits of available accuracy, unambiguous.

Оглавление

Часть 1. Сущность параллельности

Определение прямой линии

Смысл геодезической

Сущность параллельного переноса

Использование термина параллельного переноса

Перемещение по контуру

Перемещение зависит от пути

Произвольный путь переноса

Часть 2. Произвольная траектория в роли геодезической

Перенос вектора по поверхности конуса

Часть 3. О возможности сравнения векторов

Парадокс рецессии

Заключение

Литература

Часть 1. Сущность параллельности

В ряде источников, учебников, рассматривающих вопрос определения внутренним, двухмерным наблюдателем кривизны собственного пространства, можно встретить утверждение, что он способен сделать это без привлечения понятия пространства большей размерности, так называемого пространства погружения:

"... внутренняя кривизна пространства-времени, т.е. кри-визна, при определении которой не только не используется по-гружение в какое-либо гипотетическое плоское многообразие более высокой размерности, но даже не допускается мысли о возможности такого погружения" [36, т.1, с.411].

"В двумерном случае можно представить кривое пространство вложенным в трехмерное пространство. Однако пространство данной размерности можно изучать и непосредственно, по внутренним свойствам, не обращаясь к идее вложения. ... Итак, отличие кривой поверхности от плоской можно обнаружить, исследуя геометрию самой двумерной поверхности, без вложения" [29, с.108].

В качестве одного из способов такого определения кривизны изнутри чаще всего рассматривается явление поворота, изменение направления вектора при его параллельном переносе по замкнутому контуру:

"Кривизна многообразия сама по себе выражается через изменение направления вектора, возникающее при параллельном переносе вектора по небольшому замкнутому контуру. Изменение направления вектора зависит от исходного направления вектора, а также от ориентации двумерной поверхности, в которой расположен этот замкнутый контур; при заданной ориентации изменение направления вектора пропорционально площади, охватываемой замкнутым контуром. [14, с.82].

Обратим внимание на то, что и название процедуры переноса и её описание содержат слово "параллельный". Однако в искривлённом пространстве такого понятия не существует по определению. В искривлённом пространстве нет и быть не может параллелей, параллельных прямых в традиционном, евклидовом смысле этих понятий. Примечание: далее в цитатах мы будем заменять уравнения и специфические обозначения переменных многоточием там, где они не влияют на смысл утверждений в цитатах и выводы в них, но усложняют текст.

Под традиционным, евклидовым смыслом следует понимать их определение, данное Евклидом:

"23. Параллельные **) суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно ***), ни с той ни с другой "стороны" между собой не встречаются ****) (17).

**) ... т.е. прямые, проведённые друг подле друга.

***) ... буквально "в неопределённость". Греки избегали нашего понятия "бесконечность".

****) ... совпадают, сталкиваются, встречаются друг с другом, но ни в коем случае не пересекаются" [28, с.14].

В плоском пространстве Евклида все прямые, параллельные одной прямой, также параллельны друг другу. Безусловно, такое определение параллельности можно назвать фундаментальным, поэтому все авторы практически без исключения в дальнейшем используют его строго в таком же виде:

"... под параллельным прямым мы понимаем прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек" [24, с.459].

"... две прямые называются параллельными, если они, находясь на одной плоскости, не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки)" [12, с.6].

На похожее описание этого определения ссылается сайт Википедии:

"В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются ..." [42].

Такое же определение находим ещё по одной ссылке:

"... прямые, принадлежащие одной плоскости, если они не имеют общих точек или совпадают" [43].

Заметим, что здесь понятие параллельности необоснованно, на наш взгляд, расширено на совпавшие, слившиеся в одну прямые. Напротив, в сферическом пространстве, на сфере параллельных друг другу линий, как указано в следующих трёх цитатах, нет вообще и даже нет простого аналога:

"В отличие от прямых, два больших круга всегда пересекаются - нет аналога параллельных прямых!" [37, с.12].

"... определяющим свойством евклидовой (плоской) геометрии является постулат параллельности: изначально параллельные прямые остаются параллельными навсегда. ... в искривленном пространстве это не так; на сфере ... изначально параллельные геодезические со временем пересекутся" [3, с.86].

Обратим внимание на фрагменты "изначально параллельные... со временем" и используемое в таком же контексте "некоторое удаление". По этому поводу возникает резонный вопрос. До какой точки на геодезической, на меридиане сферы эти понятия "изначально" или "некоторое удаление" сохраняются, действуют? На каком удалении от экватора? Этот вопрос не освещается в литературе явно, но указанное, возникающее нарушение параллельности описывается повсеместно. На самом деле на искривлённой поверхности вообще не существует точек, где эти условные прямые параллельны.

"Из двумерной аналогии - геометрии на сфере - видно, что понятие параллельных линий, содержащееся в пятом постулате Евклида, в сферической геометрии вообще теряет всякий смысл, ибо любая дуга большого круга, проходящая через точку C, лежащую вне круговой линии АВ, обязательно пересекает АВ, притом в двух точках" [23, с.15].

Аналогами прямых вообще в таких пространствах определены геодезические, линии наименьших расстояний. Именно эти линии считаются в этих пространствах прямыми линиями, хотя на самом деле они являются линиями кривыми. Попытки ввести евклидово понятие прямой линии на искривлённой поверхности неизбежно ведёт буквально к рекурсии: определению параметра через сам определяемый параметр.

Определение прямой линии

Очевидно, одними из первых, если не самыми первыми математическими, геометрическими определениями прямой линии, а также плоскости - плоской поверхности и параллельных прямых, являются определения, данные Евклидом:

"4. Прямая (4) линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней...

7. Плоская поверхность (6) есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней..." [28, с.11].

Определение прямой линии Евклидом можно было бы признать "автономно неполным". Действительно, окружность вполне можно считать "равно расположенной" относительно точек на ней. Исключение окружности из определения обеспечивает второй постулат, который исключает её из определения буквальным уточнением, что эта линия незамкнута, то есть, имеет концы. Однако самым веским доводом было бы дополнение первого постулата указанием, что эта проведённая прямая линия - единственная.

"1. Что от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию.

2. И что ограниченную прямую <можно> непрерывно продолжать по прямой ******) (19)" [28, с.14].

Нам неизвестны строгие, обоснованные возражения против определения прямой Евклида, но известно другое подобное определение прямой линии:

"Параллельное перемещение может дать возможность ввести понятие о прямой линии. В каждой точке кривой эта кривая имеет определенное направление, характеризуемое направлением бесконечно малого вектора" [59, с.38].

Здесь понятие прямой линии выводится из произвольной линии, кривой в общем случае. Сразу же отметим, что определение опирается на взаимосвязанные и пока сами плохо определённые параметры: параллельность, направление и, вообще-то, вектор, который уже представляет собой отрезок прямой линии.

"Возьмем в некоторой точке ... кривой бесконечно малый вектор, определяющий направление в этой точке кривой ...; переместим параллельно этот бесконечно малый вектор в какую-либо точку. ... Таким образом, вместо того, чтобы говорить о направлении кривой в точке P, мы можем теперь говорить о направлении бесконечно малого вектора в точке P" [59, с.38].

Несомненно, в указанной точке даже бесконечно малый вектор имеет какое-то направление, и это направление мы можем выбрать совпадающим с направлением кривой.

"Кривую, обладающую тем исключительным свойством, что направление параллельно перемещенного в любую точку P указанного только что вектора совпадает с направлением кривой в этой точке, условимся называть прямой линией; прямая линия отличается от всех других кривых тем исключительным свойством, что направление ее вдоль по самой линии параллельно перемещается" [59, с.38].

Что значит "параллельно перемещается"? Вообще, что такое параллельное перемещение по поверхности, на которой параллельные линии отсутствуют по определению? На таких поверхностях возможно только эквиугловое перемещение, то есть, перемещение с сохранением угла между переносимым вектором и линией переноса. В нашей работе мы используем термин, понятие "эквиугловое", а не "равноугольное", поскольку последний термин использован Пенроузом и имеет несколько иной смысл:

"Равноугольная - или логарифмическая - спираль есть плоская кривая, образующая постоянный угол с прямыми линиями, исходящими из некоторой точки на плоскости" [46, с.102].

Отметим, что в предыдущей цитате [59, с.38] явно не использовано понятие касательных, но, видимо, оно подразумевалось. Использование касательных в исследуемом механизме переноса векторов мы считаем некорректным и даже ошибочным. Приведённое определение прямой линии и "исключительное" свойство выглядят несколько противоречиво или неполно.


Рисунок из работы [59]


"... остановимся на ... таком параллельном перемещении, которое оставляет неизменным угол двух параллельно перемещающихся по одной и той же кривой векторов ..." [59, с.36]

Замечаем неточность, двусмысленность. В данном определении явно читается, что неизменным остаётся угол ω между двумя связно перемещаемыми векторами. Такое определение параллельного переноса вектора кардинально отличается от того, какое используется в исключительном большинстве иллюстраций поворота вектор при таком переносе. Однако ни при каком перемещении этот угол не меняется.

"Само собой разумеется, что для различных определений параллельного перемещения мы будем иметь и разное определение прямых линий" [59, с.38].

Правда, выше в цитируемой работе даётся описание традиционного параллельного перемещения:

"Чтобы дать более ясное представление о параллельном перемещении, рассмотрим это понятие для обычной эвклидовой плоскости, определив параллельное перемещение вектора как обычный параллельный перенос вектора из одной точки в другую ... перенос, при котором величина вектора не меняется, а прямые линии, на которых лежит вектор до и после перемещения, остаются параллельными (в обычном смысле). ... Нетрудно видеть, что, при только что установленном определении параллельного перемещения, угол для двух параллельно перемещающихся векторов не меняется, равно как не меняется и величина параллельно перемещающегося вектора; таким образом, эвклидово параллельное перемещение характеризует пространство, являющееся частным случаем пространства Римана" [59, с.37].

И не только его. Указанное параллельное перемещение не изменяет угол между векторами ни в каком пространстве.

"Возьмем в некоторой точке Po нашей кривой бесконечно малый вектор, определяющий направление в этой точке кривой ...; переместим параллельно этот бесконечно малый вектор в какую-либо точку P кривой, тогда, в большинстве случаев, направление перемещенного в точке P вектора не будет совпадать с направлением нашей кривой в этой точке. Кривую, обладающую тем исключительным свойством, что направление параллельно перемещенного в любую точку P указанного только что вектора совпадает с направлением кривой в этой точке, условимся называть прямой линией; прямая линия отличается от всех других кривых тем исключительным свойством, что направление ее вдоль по самой линии параллельно перемещается. Само собой разумеется, что для различных определений параллельного перемещения мы будем иметь и разное определение прямых линий. Обратимся теперь к эвклидовой плоскости. В ней, очевидно, будут иметься кривые, не обладающие тем свойством, что их направление вдоль по кривой перемещается параллельно ..., но будут и определенные выше прямые линии, каковые" [59, с.38].

Здесь следует указать на необходимость определения также и понятия направление. В противном случае приведённое определение прямой линии довольно легко применить и "прямым" на сфере, поскольку описываемый в литературе параллельно переносимый вдоль геодезической на сфере вектор, его "направление" всегда совпадает с геодезической. Однако, большие круги на сфере, геодезические прямыми как таковыми не являются.

Смысл геодезической

Аналогами прямых в искривлённых пространствах определены, "назначены" геодезические, линии наименьших расстояний, считающиеся в этих пространствах прямыми линиями, но на самом деле являющиеся линиями кривыми. Попытки ввести понятие прямой линии на искривлённой поверхности неизбежно ведёт буквально к рекурсии: определению параметра через сам определяемый параметр.

Рассмотрим подробнее смысл, вкладываемый в понятие геодезической линии, определение геодезических.

"... можно однозначно определить линию, являющуюся кратчайшей между двумя точками. Например, на поверхности сферы этими линиями являются большие круги. Такие кратчайшие линии называются геодезическими" [15, с.107].

Видим, что в данном определении решающим, определяющим свойством названа длина линии.

"... геодезическая линия, определяется как кривая, проходящая через две данные точки, расстояние вдоль которой между этими точками меньше, чем расстояние по любой другой кривой, проходящей через эти же точки" [14, с.60].

Здесь уточняется, что геодезическая не только кратчайшая, но и определена как кривая линия. Правда, следовало бы уточнить, с чьей точки зрения. Нередко рассматриваются так называемые "плосковитяне" - обитатели этого искривлённого двухмерного пространства. По всей видимости, для них "кривая геодезическая" видна столь же прямой, как и обычная евклидова прямая, и может быть определена точно так же, как в его геометрии.

"... в "искривленном" неэвклидовом пространстве -- времени, тела двигаются по так называемым геодезическим линиям, которые представляют четырехмерное, т.е. пространственно-временное обобщение "прямейших" линий неэвклидовой геометрии" [27, с.31].

"... объекты движутся в искривленном пространстве - времени по наикратчайшим путям. Такие пути именуются геодезическими линиями. Геодезическая - это обобщение понятия прямой линии в плоском пространстве" [33, с.80].

"Геодезическими называются такие кривые, которые на данной поверхности (локально) служат "кратчайшими маршрутами" [45, с.172].

"Геодезические линии, соответствующие мировым линиям физических тел, скорость которых меньше скорости света, оказываются линиями наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, жестко связанными с телом" [47, с.111].

Последнее определение несколько выпадает из общего контекста. Действительно, на первый взгляд следовало бы ожидать, что движение по более короткой линии, каковой и является геодезическая, должно потребовать меньшего времени.

"Геодезическая - это кривая, касательная которой переносится параллельно самой себе, то есть это "максимально прямая" кривая" [11, с.29].

Здесь просматривается бесконечно малый вектор из определения прямой, эквивалент касательной, переносимый параллельно, тождественно сохранению "направления". Не удивительно, что и здесь геодезическая отождествляется с прямой линией, правда, максимально прямой. Однако есть здесь и сомнительный момент. На искривлённой поверхности нет и быть не может евклидовых прямых, каковыми по определению являются касательные к ней. Кроме того, касательная не принадлежит искривлённой поверхности и может переноситься только в пространстве погружения, за пределами поверхности. А в таком пространстве понятие параллельности имеет чёткое, евклидово определение.

Есть и более замысловатое определение, из которого, тем не менее, следует, что геодезическая всё-таки не является прямой линией, это линия кривая, хотя и "прямейшая":

"Геодезичесской линией на поверхности называется кривая, геодезическая кривизна которой в каждой точке равна нулю. Таким образом, смысл этого определения в том, что оно выделяет класс "прямейших" линий на поверхности" [49, с.379].

Уточним, что геодезическая кривизна линии отличается от кривизны поверхности и означает, что кривая лежит в плоскости, ортогональной к поверхности в данной точке.

"... геодезическая линия, соединяющая две точки, является не только линией со стационарным значением длины, но и "наипрямейшей" линией" [35, с.231].

Вновь приводится компромиссное название - "наипрямейшая линия". Но, если "наикратчайшая" не вызывает никаких нареканий, то "наипрямейшая", несомненно, является определением условным и, по большому счёту неверным.

"Пусть касательный вектор к кривой l в точке s0 переносится параллельно вдоль этой кривой в точку s. Если перенесённый таким образом из точки s0 в произвольную точку s касательный вектор оказывается равным касательному вектору к кривой l в точке s, то такая кривая называется геодезической линией" [22, с.59].

Отметим спорность такого определения. Касательная к геодезической в искривлённом пространстве является фрагментом этой геодезической, сливается с нею. Поэтому можно было сразу сказать: если описанные вектор и касательный вектор совпадают в каждой точке линии, то линия, кривая является геодезической. В искривлённом пространстве параллельность отсутствует по определению, вернее, такого корректного определения не существует. Обычно рассматриваемая в подобных примерах касательная, евклидова прямая линия не принадлежит искривлённому двухмерному пространству, а имеет с ним только одну общую точку. Перенос касательного вектора производится не по искривлённой двухмерной поверхности, а в пространстве погружения E3, в трёхмерном пространстве Евклида. Согласно разным описаниям, касательная всегда меняет направление в этом пространстве, то есть, определённо перенос не является параллельным. При действительно параллельном переносе вектора в плоском пространстве погружения по любой линии поворота и изменения вектора не происходит. В конечной точке искривлённого пространства после переноса криволинейный вектор меняет своё направление только при эквиугловом переносе и только по геодезической, линии наименьшей длины.

"Геодезическая линия является аналогом прямой линии в евклидовом пространстве" [22, с.60].

Их аналогия заключается только в одном: это линии наименьшего расстояния.

"Геодезической линией называется кривая, направление которой во всех точках постоянно" [44, с.64].

Понятие направления само нуждается в корректном определении. Интуитивное представление о нём явно не соответствует представлению о геодезической, её определению. Например, направление параллели на глобусе выглядит таким же постоянным, как и направление главной параллели - экватора.

"Как и в римановом случае, геодезической называется гладкая кривая... касательный вектор которой переносится вдоль этой кривой параллельно" [17, с.27].

"В искривленном пространстве мы можем рисовать линии, которые являются "как можно более прямыми", требуя параллельного переноса касательного вектора. Они называются геодезическими" [9, c.156].

"... понятия прямой (геодезической) линии. Прямой мы будем называть линию, направление которой не меняется, иначе говоря, касательная к которой при переходе от точки к точке вдоль кривой испытывает бесконечно малое параллельное смещение" [21, с.122].

Весьма спорные утверждения. Манипуляции с бесконечно малыми величинам требуют большой аккуратности. Конечное число бесконечно малых является бесконечно малой величиной, однако, не нулевой. Бесконечно большое количество бесконечно малых - величина неопределённая, то есть, может быть чем угодно. Возможно, в цитате под бесконечно малым смещением подразумевается его отсутствие, то есть, отсутствие, нулевое изменение направления. Иначе, что будет с бесконечно длинной прямой линией?

"Дуги окружности большого круга образуют "кратчайшие" пути (так называемые геодезические кривые) на поверхности сферы; эти дуги лежат в плоскостях, проходящих через центр сферы" [46, с.66].

Из этих цитат, рассмотренных выше, возражений не вызывает только последняя, где геодезическая отождествляется с кратчайшей линией. Таким образом, из приведённых определений непротиворечивой мы можем однозначно, безусловно, признать только одну характеристику геодезической: это наикратчайшая линия между двумя точками на искривлённой поверхности. Называть её прямой неверно. Компромиссное название "наипрямейшая" линия можно применять условно, всегда помня, что по большому счёту, в реальности эта линия, геодезическая не является прямой. Визуально такая "наипрямейшая" линия, геодезическая в искривлённых пространствах оказывается линией кривой. Визуальность означает "взгляд" из пространства большей размерности, чем рассматриваемое, то есть, из пространства погружения, в данном случае трёхмерного пространства Евклида E3. В этой связи заметим также, что пятый постулат Евклида является прямым следствием трёх предыдущих, без четвёртого, являющегося, как считается, следствием первых трёх. Производность пятого постулата означает, что нарушение, например, третьего постулата делает его недействующим. Собственные пятые постулаты в искривлённых пространствах отрицательной или положительной кривизны ни в каком смысле не эквивалентны пятому постулату Евклида, поскольку в этих пространствах нарушается, отсутствует третий постулат. Отсутствие этого важного третьего постулата и делает возможными (эквивалентные) формулировки об отсутствии или множестве аналогов прямых, проходящих через внешнюю точку и параллельных заданной.

Отметим, что даже при явном и признаваемом отсутствии параллельности, термин этот всё-таки используется как описание реального взаимного расположения линий:

"Две геодезические, первоначально параллельные и отстоящие друг от друга на ... ("отклонение геодезических"), на некотором удалении s уже не будут параллельными" [36, т.1, с.63].

Однако такая "первоначальная параллельность" является противоречием. Поскольку любой прямолинейный отрезок на сфере - это кривая линия, называть их параллельными нельзя. Фактически параллельными кривыми линиями могут быть лишь отрезки нулевой длины, точки, например, на экваторе.

Например, в "Притче о двух путешественниках" описывает движение двух путешественников A и B от экватора на северный полюс. Изначально они находятся вдоль экватора на некотором удалении друг от друга. Далее,

"... начав двигаться параллельно друг другу и не отклоняясь ни влево, ни вправо, обнаруживают тем не менее, что приближаются друг к другу, пройдя некоторое расстояние. " [54, с.239].

Здесь вновь упоминается то самое неясное "некоторое расстояние", на котором становится заметным нарушение параллельности при движении.

Ещё в одном примере путешественники имеют имена, часто используемые в иллюстрациях в квантовой механике:

"... предположим, что ... есть два человека, идущих от экватора к северному полюсу, Алиса и Боб. Как видите, Алиса и Боб движутся навстречу друг другу" [7, с.196].

Здесь явно не указано, что в начале пути путешественники идут параллельными курсами, но факт их встречного движения свидетельствует об отсутствии параллельности. На приведённом к описанию рисунке показана соответствующая сфера и траектории путешественников.

В следующей работе для демонстрации искривлённого пространства рассмотрен глобус и конкретный город на экваторе. Рассматриваются две геодезические от экватора до полюса:

"Переместимся теперь на восток от Кито на нашем глобусе на несколько сантиметров и построим новую прямую линию (часть большого круга, геодезическую), которая на экваторе будет в точности параллельна проходящей через Кито. Так же, как и первая, эта линия пройдет через северный полюс. Причиной, которая заставляет изначально параллельные прямые пересекаться, является кривизна нашего глобуса" [55, с.105].

Как видим, здесь так же отмечено традиционное явление: пересечение "изначально" параллельных прямых. Похожая картина описывается с использованием грузовиков:

"Допустим, оба грузовика едут на север по соседним меридианам (а это геодезические линии). Оба они направляются на север и сначала движутся параллельно друг другу, но чем дальше на север они забираются, не отклоняясь от своих меридианов, тем ближе друг к другу оказываются. В конце концов они столкнутся на Северном полюсе" [53, с.329].

Вместо путешественников или грузовиков могут рассматриваться муравьи, ползущие по сфере "параллельно" от некоторого подразумеваемого экватора на соответствующий условный северный полюс:

"На поверхности сферы с положительной кривизной расстояние между муравьями уменьшается - то есть соседние геодезические сходятся" [6, с.14].

В этом же цитируемом источнике, приведены подобные траектории на плоской поверхности и на поверхности отрицательной кривизны.

Сущность параллельного переноса

Рассмотрим одно из описаний сущности параллельного переноса в следующей цитате, считая при этом, что она содержит подмену понятий. Разобьём цитату на фрагменты, приведя комментарии к каждому из них.

"Выведем теперь одно весьма существенное свойство параллельного перенесения векторов на поверхности, сближающее это перенесение с обычным" [49, с.370].

Отметим, что речь идёт о переносе векторов по искривлённой поверхности. Оставим пока без комментария формулировку "обычное перенесение", считая её неясной; "обычное" - это какое? перенесение на плоской поверхности?

"А именно, если в начальной точке t = 0 задать не один вектор a0, а рассмотреть всевозможные касательные к поверхности векторы и подвергнуть их затем все параллельному перенесению вдоль кривой на поверхности, то длины этих векторов и углы между ними сохраняются без изменения" [продолжение цитаты].

Очевидно, во-первых, все эти векторы переносятся независимо друг от друга; во-вторых, ни один из векторов не принадлежит поверхности переноса, имеет с нею только одну общую точку, поскольку находится в касательной плоскости. По сути, каждый вектор переносится параллельно самому себе в пространстве погружения, в данном случае, в пространстве Евклида E3. Сразу же заметим как очевидное: такой перенос в плоском пространстве, действительно, никак не меняет векторы.

"Другими словами, если представлять себе, что касательная плоскость к поверхности в начальной точке t =0 образована всевозможными векторами, касательными к поверхности в этой точке, то ..." [продолжение цитаты].

Да, это очевидно. В любой точке искривлённой поверхности без излома возможна только одна касательная плоскость, следовательно, все касательные векторы в этой точке обязательно лежат в касательной плоскости в этой же точке:

"... при параллельном перенесении этих векторов касательная плоскость перемещается как твердое тело" [продолжение цитаты].

Напомним, что перенос векторов происходит в плоском трёхмерном E3 пространстве погружения Евклида, что явно видно в описании процесса, поэтому линия переноса не оказывает никакого влияния на взаимное расположение векторов. Линия может и не принадлежать какой-либо заранее заданной двухмерной поверхности и может иметь любую самую замысловатую, трёхмерную форму. При этом перенос в трёхмерном пространстве погружения в общем случае также не является параллельным.

"... совпадая последовательно с касательными плоскостями во всех точках пути перенесения" [окончание цитаты].

Все описанные векторы всегда имеют общую точку своих начал и по определению лежат в одной плоскости - касательной. Понятно, что эта плоскость всегда может быть к чему-либо касательной этой общей точкой векторов; она может быть касательной к любой кривой или поверхности. Сразу же следует вывод, что описанный процесс ничего не проясняет в процессе переноса по искривлённой поверхности векторов, лежащих на ней и принадлежащих этой поверхности. Подмену понятий мы видим в том, что описан процесс переноса касательных векторов в плоском, трёхмерном E3 пространстве Евклида; однако заявлено выведение свойства переноса на двухмерной поверхности, хотя и отмечается различие переноса векторов, лежащих на искривлённой поверхности, от переноса векторов, лежащих на плоскости.

Итак, можно сказать, что сущность параллельного переноса вектора многими исследователями сводится к его переносу вместе с касательной плоскостью, находящейся в трёхмерном евклидовом пространстве погружения E3. При этом многие авторы изображают вектор вообще выходящим за пределы пространства, в котором он якобы перемещается, либо изображают его прямой линией, что не соответствует его кривизне в этом пространстве. При этом такие "параллельные" линии имеют важную особенность: параллельные заданной, они не параллельны друг другу.

Кроме того следует указать на пренебрежение малыми величинами. Манипуляции с бесконечно малыми величинами используют многие авторы. Однако большое количество малых величин в некоторых случаях имеет вполне весомое, конечное значение.

"Исходя из произвольной точки М, проделаем параллельное обнесение вектора по замкнутому пути с возвращением в прежнюю точку М. В случае абсолютного параллелизма мы возвращаемся в точку М с прежним значением вектора. (Действительно, перенесение от пути в этом случае не зависит, так что результат обнесения по замкнутому контуру будет таким же, как и тогда, когда весь этот контур стянут в одну точку М и когда, следовательно, переносимый вектор просто остается на месте.)" " [50, с.519].

Термин "абсолютного параллелизма" относительно редкий, но довольно звучный. Известно сравнение пространства абсолютного параллелизма с кристаллической решеткой. В этом случае можно рассматривать его как аналогию параллелизма по Евклиду, то есть, как описание параллельных линий в плоском пространстве.

Уклонение же параллельно обнесенного вектора от прежнего значения будет связано, таким образом, с нарушением абсолютного параллелизма. Это уклонение мы и будем рассматривать и покажем, что для бесконечно малого контура оно (в своей главной части) характеризуется тензором кривизны в точке М" [там же].

Довольно странная формулировка: нарушение абсолютного параллелизма. Выглядит так: только что параллелизм был абсолютным, и вдруг он нарушился.

"Чем больше отличаются координаты тензора кривизны от нулевых значений, тем резче отклоняется параллельно обнесенный вектор ... от первоначального вектора ... при прочих равных условиях. В этом смысле тензор кривизны характеризует в геометрии данного Ln степень нарушения абсолютного параллелизма" [50, с.530].

Мы понимает это так: чем сильнее искривлена поверхность, тем больше изменение направления вектора. В этом случае степень нарушение абсолютного параллелизма следует, видимо, трактовать так же: это степень искривлённости поверхности. Но главная подмена понятий всё-таки по-прежнему в использовании термина "параллельный перенос" в отношении искривлённого пространства. В пространстве с "нарушенным абсолютным параллелизмом" не существует параллельных линий. Пространство с "не абсолютным параллелизмом" - это пространство без параллелизма.

Использование термина параллельного переноса

Перемещение по контуру

Несмотря на отсутствие в принципе каких-либо параллельных линий на искривлённых поверхностях, формулировка "параллельный перенос вектора" используется повсеместно. Можно отметить три группы таких описаний переноса:

по замкнутому контуру, с возвратом переносимого вектора в исходную точку;

по разным траекториям из одной точки в другую;

перенос как таковой, включая бесконечно малый, и по произвольной траектории, нередко не являющейся геодезической.

Наиболее наглядным примером параллельного переноса можно назвать перенос по замкнутой траектории, по замкнутому контуру.

"... параллельный перенос произвольного вектора (тензора) по замкнутому контуру ..."К тензору кривизны ... можно прийти ... рассматривая параллельный перенос произвольного вектора (тензора) по замкнутому контуру" [23, с.67].

В более широкой трактовке - перенос не только вектора, но и тензорных величин в общем смысле:

"... ковариантную производную можно определить через операцию параллельного переноса тензорных величин в искривленном пространстве-времени,.[23, с.48].

Кривизна поверхности как таковая, ранее, как правило, хорошо представимая именно в таком обозначении, не требующая большого воображения, в приведённой трактовке определяется через понятие тензора кривизны, для оперирования которым, следует отметить, необходима специальная подготовка.

"Другой путь введения тензора кривизны основан на рассмотрении операции параллельного переноса смещений (или тензоров) по замкнутому контуру. [23, с.49]

Многие авторы для демонстрации кривизны поверхности, двухмерного пространства используют параллельный перенос вектора точно так же, не усложняя описание указанием на то, что это двухмерный тензор первого ранга.

"Параллельное смещение по замкнутой кривой в искривленном пространстве" [5, с.23].

Цитата является подписью к рисунку, который, следует отметить, сам по себе на самом деле ни в каком смысле нельзя признать доказательным: это весьма условная иллюстрация. Искажение вектора, его вращение при параллельном переносе выводится аналитически, а рисунок лишь крайне схематично, неубедительно показывает, как выглядит это искажение вектора.

Следующая работа хотя и содержит иллюстрации, но мы её рассматриваем всё-таки как аналитическое описание процесса параллельного переноса, поскольку иллюстрации не содержат никаких доказательных элементов. Отметим, что в самой цитируемой работе даётся весьма обстоятельное описание сути параллельного переноса:

"... рассмотрим параллельный перенос вектора вдоль замкнутой кривой. Для пояснения выкладок вначале выберем двумерную поверхность сферы" [51, с.102].

Важно: в контексте можно увидеть неявное утверждение, что переносимый вектор лежит строго в "плоскости" поверхности, на двухмерной поверхности, по которой переносится, не "выглядывает" за поверхность сферы.

В следующей цитате мы обратим внимание на важное замечание, хотя смысл его пока раскрыт недостаточно: это состав контура из трёх геодезических.

"... в искривленном пространстве при параллельном переносе вектора вдоль замкнутого контура ... начальное и конечное направление вектора не совпадают... Параллельный перенос вектора A по замкнутому контуру (который в этом примере состоит из трех геодезических). В искривленном пространстве начальное и конечное направление вектора не совпадают" [16, с.54-55].

Уточним: мы во многих случаях пишем без кавычек слова "параллельный перенос", относящийся к искривлённому пространству. Тем не менее, всегда следует помнить, что мы не считаем такой "перенос" параллельным на самом деле.

В качестве наглядной демонстрации изменения направления вектора при параллельном переносе обычно приводится перенос вектора на поверхности сферы. В этом случае роль прямой играют дуги больших кругов сферы, получаемые сечением сферы плоскостью, проходящей через её центр. Во всех таких примерах наглядно демонстрируется, что при параллельном переносе вектора по поверхности сферы в исходную точку его направление не совпадает с направлением исходного вектора.

Рассмотрим более детально один из таких примеров очерчивания контура при параллельном переносе вектора на поверхности сферы, ожидая, что в нем никаких неясностей, неопределенностей нет.

"На рисунке начальное положение вектора обозначено цифрой 1 (северный полюс). Он обносится параллельным образом ... вокруг сферического треугольника, все углы которого равны 90o. По возвращении в исходную точку вектор ... оказывается повернутым на 90o" [36, т.1, с.412].

Рисунок мы не приводим, поскольку нас интересует сейчас главным образом терминология, использование фразы "параллельный перенос". Как видим в цитате, и в этом случае при обходе по замкнутому контуру результирующий вектор традиционно не совпал по направлению с исходным.

Далее, в следующей цитате укажем на то, что вновь рассматривается вектор, не принадлежащий поверхности сферы:

"Один из интуитивно понятных способов визуализировать это - рассмотреть перенос геометрического вектора на двумерной сфере, встроенной в трехмерное пространство ... В качестве вектора мы берем касательный вектор к сфере. Рассмотрите возможность переноса вектора по пути на поверхности сферы, обозначенной пунктирной линией, начиная и заканчивая на северном полюсе, сохраняя вектор касательным к поверхности и не вращая его. Это называется параллельным переносом вектора. [4, с.13].

Утверждение: "касательный вектор к сфере" - некорректное в плане демонстрации параллельного переноса на по поверхности сферы. Такой вектор по определению не принадлежит двухмерному искривлённому пространству, поверхности сферы. Фактически этот вектор переносится не по поверхности сферы, не в её пространстве, а в пространстве погружения - трёхмерном E3 пространстве Евклида. Сразу же совершается главное нарушение правила "параллельного" переноса. Утверждается, что вектор "не вращается", но на самом деле

"Из рисунка видно, что вектор после однократного завершения цикла не указывает в том же направлении, что и изначально. Параллельная транспортировка вектора из одной точки в другую на сфере, как правило, будет зависеть от пройденного пути" [4, с.13].

Это однозначно указывает на то, что вектор повернулся именно в пространстве Евклида, то есть, никакого параллельного перемещения на самом деле не было. Присвоенное процессу название "параллельного переноса вектора" неверно. На самом деле, правильно - это брать касательный вектор к линии переноса. Но в этом случае вектора по определению должен совпасть с геодезической линией переноса, то есть, быть отрезком большого круга.

"Кроме того, параллельная транспортировка по замкнутому контуру будет эффективно вращать вектор на некоторый угол. Это неотъемлемая черта искривленных пространств" [4, с.13].

Вновь неверно. Поворот касательного к геодезической вектора исчезает автоматически. В исходной точке траектории существует единственная касательная, независимо от того, откуда она "пришла". Поворот возникнет только в том случае, если в точке излома, перехода с одного геодезического участка траектории на другой мы принудительно изменяем угол между вектором и траекторией. Пришёл он к этой точке касательным к предыдущему участку, а ушёл уже под углом к следующему участку траектории. Эта точка - единственная, в которой вектор был "перемещён" параллельно самому себе. На самом деле он не сдвинулся с места, просто его формально в точке излома "прикрепили" к следующему участку.

"Ясно, что трехмерное встраиваемое пространство - это просто инструмент для нас, чтобы визуализировать сферу, и нет необходимости выполнять параллельный перенос и приходить к тем же выводам" [4, с.13].

Признаемся, что смысл утверждения нам не ясен. Кроме того под "трехмерным встраиваемым пространством", вероятно, подразумевается традиционное понятие "пространства погружения".

Далее приводим несколько цитат, некоторые без комментариев, чтобы просто показать использование фразы "параллельный перенос вектора" в искривлённом пространстве:

"На рисунке ... показан результат параллельной транспортировки вектора по замкнутому треугольнику" [6, с.33].

"Будем параллельно переносить вектор вдоль замкнутой кривой ..., пока не вернемся в исходную точку. При этом перенесенный вектор либо будет совпадать с исходным, либо будет от него отличаться" [15, с.218].

Это верное замечание: вращение может быть (составная геодезическая), а может и отсутствовать.

"В искривленном пространстве параллельный перенос но замкнутому пути, вообще говоря, не дает вновь исходного вектора. Например, рассмотрим поверхность сферы ..., на которой из геодезических кривых построен сферический треугольник" [20, с.54].

Отметим важную деталь в цитате: здесь чётко указано, что треугольная траектория переноса "собрана" из геодезических.

"Возьмем в точке A бесконечно малый вектор а, совпадающий по направлению с направлением дуги AB (прямой); переместим параллельно этот вектор по сомкнутой линии, образующей треугольник ABC; в точку А наш вектор вернется в виде вектора а' с уже изменившимся направлением.

[59, с.42].

"... в кривом пространстве параллельный перенос вектора из одной заданной точки в другую дает разные результаты, если он совершается по разным путям. ... если переносить вектор параллельно самому себе по некоторому замкнутому контуру, то он, возвратившись в первоначальную точку, не совпадет с самим собой" [34, с.349].

"Обобщенное определение кривизны многомерной поверхности будет даваться через изменение вектора при его переносе вдоль замкнутой кривой, причем при таком переносе, который оставляет вектор параллельным самому себе" [57, с.193].

"Когда вектор, параллельно перемещаясь из точки ... по замкнутой кривой ..., вернулся ... в ту же точку, то величина его, вообще говоря, изменится" [59, с.44]/

"... любой вектор ..., будучи параллельно перенесенным по замкнутой кривой, должен по возвращении в исходную точку принять свое первоначальное значение. Вообще же это может и не иметь места" [26, с.93].

Перенос вектора по замкнутому пути в искривлённом пространстве всеми цитированными авторами рассматривается как параллельный, но в искривлённом пространстве это невозможно, в нём отсутствуют параллельные линии. Делается вывод, что вернувшийся в исходную точку вектор имеет иное направление, нежели первичный, переносимый.

Перемещение зависит от пути

Вариант переноса вектора из одной точки в другую, не совпадающую с исходной, призван показать, что в конечной точке векторы, пришедшие разными путями, не совпадают. Например, в работе [1, с.248] приводится рисунок, который в том или ином варианте воспроизводится во многих других работах, и который можно назвать традиционным и даже классическим вариантом иллюстрации:


Рис.1.1. Рисунок, иллюстрирующий зависимость параллельного переноса от траектории в искривленном пространстве [1, с.248]


Согласно описанию рисунка, исходный вектор 1 из начальной точки N перемещается в конечную точку C по двум различным траекториям на сфере. При движении "напрямую" по траектории NC вектор 1 преобразуется в вектор 2. При движении в качестве альтернативы по траектории NEC он преобразуется в вектор 4. Как видно на рисунке векторы 2 и 4 различны. Традиционно считается, что угол между ними отражает кривизну поверхности сферы.

Отмечается, что движение вектора происходило по геодезическим, большим кругам сферы. Это удобно, поскольку при таком переносе вектора легко обеспечить сохранность его длины и угла между ним и геодезической, который всегда остаётся неизменным.

Следует отметить, что в данном случае векторы можно и нужно рассматривать как принадлежащие сферическому пространству, полностью лежащими на поверхности сферы. Однако всё-таки внесём некоторые уточнения. Если вектор начался на некоторой прямой линии, вообще-то геодезической, совпав с нею, то, вектор должен совпадать, сливаться с этой прямой линией на всём протяжении. Любой вектор на сферической поверхности должен изображаться визуально кривым отрезком, дугой, линией, предельно близкой к дуге большого круга, на которой находится любая из его точек, например, начальная. То, что векторы 1 - 4 на рисунке визуально выглядят прямыми линиями можно считать условностью, допустимой графической погрешностью. Основная мысль автора изложена вполне корректно.

"Параллельно перенося произвольный тензор ... из произвольной точки A в точку D вдоль различных сторон параллелограмма ... можно убедиться в том, что тензор Римана-Кристоффеля определяет разность компонент тензоров, перенесенных из одной точки в другую (близкую) двумя разными путями (уравнение) ..." [23, с.67].

Просто отметим, что в данном случае та же, можно сказать, тривиальная мысль о разных путях переноса вектора, трактуется в тензорных терминах. Очевидно, это более общий случай "параллельного" переноса. Заметим, что неявно такая трактовка "бросает тень" на этот тензорный формализм. Параллельный перенос в искривлённом пространстве принципиально невозможен. Доказательство такого переноса можно рассматривать как признак несостоятельности использованного для этого доказательства формализма, либо некорректности его использования.

"Решение системы уравнений ... с начальным условием ... называется параллельным переносом вектора ... из точки p в точку x(t) вдоль кривой γ. ... результат параллельного переноса вектора из точки p в точку q в общем случае зависит от кривой γ, соединяющей эти точки" [32, с.37].

Собственно говоря, в данном случае мы просто полагаем, что геометрически исследуемый здесь параллельный перенос вектора в искривлённом пространстве выглядит именно так, как он изображается графически во множестве других работ. Главное в цитате - это полученный строго аналитически вывод о том, что при параллельном переносе результат зависит от пути, что полностью соответствует традиционному понятию пространства искривлённого.

В следующей цитате мы вновь отметим важность для аналитических выкладок приходить к тем же выводам, что и геометрические, графические построения

"... рассматривался все время параллельный перенос вектора вдоль заданной кривой, а не простой перенос вектора из точки P в точку P'. Последний же только в евклидовой геометрии не зависит от пути. Если же в общем случае перенести вектор ... вдоль замкнутой кривой в начальную точку, то перенесенный вектор ... будет отличен от начального вектора ..." [44, с.67].

Здесь вывод имеет явную "лазейку": отличие перенесённого вектора от начального будет только в общем случае. Это, очевидно, позволяет отнести любые возражения по параллельному переносу к случаю частному, исключению. К этому частному случаю, следовательно, относятся все возражения по искажениям, изменениям векторов при параллельных переносах по сфере. В том числе и по замкнутой кривой:

"Аналогично можно получить изменение ковариантных компонент вектора при параллельном переносе вектора вдоль замкнутой кривой" [44, с.68].

Следует заметить, что выше озвученные наши возражения относятся не только к сфере, а и к некоторым другим криволинейным поверхностям, на которых при переносе вектора по любому пути результат, состояние вектора остаётся неизменным:

"В общем случае результат параллельного переноса вектора существенно зависит от пути, по которому он выполняется. Этого не будет, только если компоненты вектора могут быть определены не только как функции s, но и как функции координат хk..." [44, с.75].

Специфическую особенность переноса вектора Carroll формулирует следующим образом:

"Решающее различие между плоскими и искривлёнными пространствами состоит в том, что в искривленном пространстве результат параллельного переноса вектора из одной точки в другую будет зависеть от пути, пройденного между точками" [3, с.64; 2, c.104].

Для визуальной демонстрации явления используется перемещение по двум разным путям на поверхности сферы. Рисунок мы не приводим, а процитируем только описание к нему:

"Начните с вектора на экваторе, направленного вдоль линии постоянной долготы. Параллельно перенесите его до северного полюса по долготе очевидным способом. Затем возьмите исходный вектор, перенесите его параллельно экватору на угол θ, а затем переместите его вверх к северному полюсу, как и раньше. Ясно, что вектор, параллельно перемещённый по двум путям, прибыл в один и тот же пункт назначения с двумя разными значениями (повернутыми на угол θ)" [3, с.64; 2, c.104].

Делается заключение, что два параллельных в начальной точке вектора прибыли в конечную точку повёрнутыми относительно друг друга. Однако это ошибочная ясность. Невозможно объяснить, почему на экваторе векторы параллельны, а после их приближения к полюсу вектора вдруг неожиданно "разбежались", "перенацелились" в разные стороны, причём на довольно большой угол. В какой момент, на каком удалении от экватора произошло это "распараллеливание" векторов? Наш ответ прост: вектора никогда не были параллельны, на поверхности сферы понятие "параллельности" не существует. Следовательно, никакого параллельного переноса также быть не может.

Также вновь отметим, что вектора на рисунке в цитате изображены неточно. Они, во-первых, не могут быть прямолинейными отрезками на поверхности сферы, они на всём пути к полюсу должны совпадать с соответствующими линиями долготы. Во-вторых, они не могут выходить за поверхность сферы, как изображено на рисунке. Но сделаем скидку на это, считая, что это демонстрационное упрощение.

Следующие две цитаты приводим, как и ранее, в качестве иллюстрации использования понятия "параллельного переноса", которое, как мы утверждаем, к искривлённым пространствам неприменимо:

"Параллельный перенос вектора v вдоль пяти различных кривых (все они являются большими окружностями)"

"Зависимость параллельного переноса от траектории движения. Показаны два различных пути от точки p к точке q, один из которых следует прямо по дуге большой окружности, а другой состоит из пары дуг больших окружностей, пересекающихся в некоторой промежуточной точке r" [46, с.263].

"... на искривленной поверхности параллельный перенос вектора зависит от пути" [13, с.209].

Произвольный путь переноса

Некоторые авторы явно не указывают на характер линии, траектории переноса. Это, видимо, может быть как замкнутая траектория, так и различные пути переноса. Сама траектория также не обозначается как геодезическая.

"Говорят, что вектор ... (тензор ...) переносится параллельно самому себе вдоль некоторого пути, если при переносе его абсолютное (истинное) приращение равно ... При произвольном переносе ... вектор получает приращение ... Поскольку векторы ... переносятся параллельно самим себе, то согласно определению параллельного переноса их абсолютное приращение ... равны нулю" [30, с.51].

"Перенос вектора (тензора), при котором его компоненты в галилеевых координатах остаются неизменными, называется параллельным переносом" [30, с.48].

Приведённые утверждения в цитируемом тексте следуют буквально друг за другом, поэтому считать их выдернутыми из контекста вряд ли разумно. По содержанию их явно можно назвать двусмысленным. Во-первых, неясно, что подразумевается под "произвольным переносом". Строго говоря, рассматриваемый нами параллельный перенос определённо не является произвольным: линия переноса обязательно должна быть геодезической. Это очень важное и строгое ограничение. В случае "произвольного переноса" вектор может изменить своё направление и при перемещении на плоскости. Во-вторых, под приростом при перемещении всегда подразумевается изменение направления вектора. Нередко подчёркивается, что пространства, в которых вектор изменяет свою длину, под эту модель переноса не подводятся (геометрия Вейля). Кончено, с математической точки зрения допустимо поворот вектора рассматривать, как его приращение, но всё-таки желательно уточнять, что модуль, длина вектора в рассматриваемых моделях как бы параллельного переноса всегда остаётся неизменным. Вместе с тем, заметим важную мысль в цитате: параллельным перемещением как противопоставление произвольному переносу следует называть только такое, при котором отсутствует приращение вектора.

"Рассмотрим некоторую поверхность и на ней геодезический треугольник, т.е. треугольник, сторонами которого являются отрезки геодезических линий. Далее возьмем некоторый вектор ..., определенный в одной из точек стороны ..., образующий в этой точке со стороной ... угол ... и  касающийся нашей поверхности. Будем переносить вектор ... параллельно самому себе вдоль сторон треугольника ..." [30, с.76].

Отметим частичную корректность описания. Замкнутая траектория явно обозначена как набор геодезических. Но вновь сделано неверное утверждение: вектор касательный, то есть находится в пространстве погружения, следовательно, и его перенос производится в этом пространстве. Это пространство Евклида, поэтому при параллельном переносе вектор однозначно сохранит своё направление, по какой бы траектории не перемещалась его начальная точка. Если же уточнить, что поверхности сферы касается не вектор, а плоскость, то перемещение вектора с такой плоскостью в принципе может быть параллельным лишь в особых случаях - движения вдоль большого круга. Кроме диаметральных, все касательные плоскости к сфере не параллельны друг другу.

Все цитируемые выводы относятся к криволинейным пространствам, поскольку в декартовой системе координат пространства Евклида компоненты векторов при параллельном переносе не изменяются, и результирующий вектор после прохождения любого замкнутого контура совпадет с исходным вектором, причем в общем случае, как считается, искривленной, вернее, деформированной может быть и сама система координат (например, диаграммы Пенроуза). Но в искривленном пространстве, как указано далее:

"... с помощью параллельного переноса вдоль геодезической получаются различные векторы Ui. ... если данный вектор переносить параллельно из точки P1 в точку Р2 вдоль некоторой кривой, соединяющей эти две точки, то результирующий вектор а*i зависит от формы этой линии, если пространство искривленное" [35, с.231].

Вновь заметим некоторую двусмысленность формулировок в цитате: "некоторой кривой... формы этой линии". Если линия - геодезическая, то в этом пространстве она - единственная, наикратчайшая и форма её - единственная. Форма всей линии между точками может быть разной только если эта линия - составная, состоит из нескольких геодезических.

Перефразируя цитату кратко, можно сказать, что при перемещении вектора по замкнутой составной линии в искривлённом пространстве он изменяется. Подчеркнём: составной, поскольку по неразрывной геодезической вектор вернётся с неизменным направлением.

Такое "вращательное" поведение вектора при параллельном переносе, как правило, и используется в качестве определения кривизны пространства:

"Пространство (или многообразие) называется искривленным, если в нем невозможно ввести координатную систему, которая может считаться прямолинейной. ... Координатная система будет прямолинейной, если ее оси ... во всем пространстве представляют собой прямые линии; в этом случае две определенные оси ... в любой точке пространства пересекаются под одним и тем уже углом" [14, с.60].

Да, это верно. Кстати, отметим неточность:

"Меридианы и параллели на Земле как раз и являются большими кругами..." [14, с.60].

На карте Земли (глобусе), как это ни странно звучит, формально, то есть, только на экваторе параллельными на самом деле считаются меридианы, а не параллели, несмотря на название, которые являются не большими кругами, а просто кривыми линиями.

"Представление о параллельном переносе позволяет уяснить специфические свойства искривленного пространства. Если взять две точки в пространстве и вектор в одной из них, то можно построить вектор во второй точке, который параллелен вектору, заданному в первой точке" [14, с.62].

Повторим, что это определённо выглядит противоречиво, когда речь идёт об искривлённом пространстве. Как построить параллельный вектор в пространстве, в искривлённом пространстве, в котором по определению параллельные линии невозможны?

"... проведем через рассматриваемые точки геодезическую линию и совершим перенос исходного вектора вдоль геодезической линии, принимая во внимание, что угол между прямой линией и вектором при параллельном переносе остается постоянным, что вектор не поворачивается вдоль прямолинейного пути, а только скользит вдоль него и, наконец, что при параллельном переносе длина вектора не меняется" [14, с.62].

Заметим вновь, параллельный перенос как таковой невозможен, поэтому остаётся только то, что "принято во внимание": эквиугловой перенос, перенос с сохранением угла. И вновь отметим неточность в цитате. При описанном "параллельном переносе" вектор неизбежно вращается в "сферической плоскости многообразия" по отношению к любой другой "прямой" на сфере. Собственно, это и приводит к изменению его направления, поскольку это вращение фиксируется при переходе с одной "прямой", геодезической на другую.

"В точности такая же процедура может быть применена к параллельному переносу вектора вдоль замкнутого пути, образованного несколькими прямолинейными сегментами..." [14, с.62].

К месту заметим, что при переносе вектора по замкнутой, единой геодезической на сфере в исходную точку в общем случае он возвращается, совершив полный оборот вокруг оси, на 360 градусов. Понятно, что любой замкнутый путь в общем случае (не состоящий из единственной геодезической) возможен только с переходом с одного "прямолинейного сегмента" на другой. Автоматически это и приводит к замалчиваемому вращению вектора.

"... результат параллельного переноса вектора зависит не только от исходного вектора, но и от пути, по которому совершается перенос. ... Параллельный перенос вектора вдоль пути, состоящего из отрезков прямых (ломаная линия) ... приводит к новому вектору в начальной точке..." [14, с.62].

Это верно, но вновь возразим против использования термина "прямая" в искривлённом пространстве. Обратим внимание также на существенный признак: изменение вектора при перемещении по замкнутому пути происходит только в случае "ломаной" геодезической.

Ещё одна важная характеристика на многообразии обозначена как связность, обобщающая изменения при переносе касательного вектора:

"Кривизна, наглядное представление о которой дает искривленная поверхность, является характеристикой другой геометрической конструкции на многообразии - связности, которая обобщает на искривлённые пространства параллельный перенос в плоском пространстве. ... параллельный перенос в искривленном пространстве зависит от пути, по которому он осуществляется" [31, с.30].

Это очевидно: разных путей параллельного переноса вектора из одной точки в другую может быть сколько угодно. В плоском пространстве существует единственное направление, параллельное заданному в какой-то точке, поэтому результат переноса определяется только исходным вектором и не зависит от пути переноса, который может быть любым. Следующее описание процесса - безусловно, верное, но является описанием процесса, неверно названного параллельным переносом, хотя, заметим, возникло это описание буквально из ничего, без каких-либо логических обоснований.

"Тогда, обобщая параллельный перенос на плоскости, параллельный перенос касательного вектора на искривлённой поверхности можно описать как перенос вдоль наикратчайших так, что угол между вектором и наикратчайшей остаётся неизменным" [там же].

Действительно, никаких упоминаний о неизменности угла до этого момента не было, а перенос вдоль геодезических, наикратчайших акцентирован именно здесь, поскольку ранее путь переноса никак не привязывался к геодезическим - это был просто путь, линия переноса. Это важное и даже решающее правильное обстоятельство: перенос вектора обязательно должен производиться вдоль геодезической и обязательно с сохранением угла между вектором и этой геодезической. Называть такой перенос параллельным - неверно. Тем не менее, далее мы вновь видим упоминание переноса в искривленном пространстве как параллельного:

"На искривленной поверхности (в качестве примера будем рассматривать сферу) роль прямой играет наикратчайшая линия, соединяющая две точки. На сфере это дуга большого круга" [там же].

Линия кривая и называемая не прямой, а геодезической.

"... параллельный перенос касательного вектора на искривлённой поверхности можно описать как перенос вдоль наикратчайших так, что угол между вектором и наикратчайшей остается неизменным ..." [там же].

Подчеркнём: наикратчайшая в искривлённом пространстве - это геодезическая кривая линия.

"Сам вектор, однако, при этом поворачивается, что особенно наглядно видно, если перенести его по замкнутому контуру, когда, в отличие от параллельного переноса на плоскости ..., конечное направление ... вектора, ... не совпадает с начальным" [там же].

Добавим: в описанной ситуации геодезическая, замкнутый контур обязательно должен быть составным. Перемещение вдоль единой замкнутой геодезической, линии, не имеющей изломов, не приводит к повороту вектора. Напомним, что перенос по замкнутой прямой линии, имеющей излом, например, на поверхности конуса, так же приводит к повороту вектора.

"... при параллельном переносе вектора вдоль некоторой кривой в искривленном пространстве частные производные от этого вектора пропорциональны самому вектору" [19, с.54].

В цитате не указано, и не видно оснований полагать, что это подразумевается, что кривая переноса - геодезическая. Кроме того, из приведённых в данной цитате выводов явно не видно, совпал ли вектор, перенесённый по замкнутой кривой со своим исходным состоянием, цитата выглядит как констатация известных фактов с некоторой детализацией через производные. Кроме того, возникает резонный вопрос: а в плоском пространстве частные производные от вектора разве не пропорциональны самому вектору?

Главным недостатком приведённого варианта описания процедуры параллельного переноса вектора является отсутствие чёткого и однозначного утверждения о том, что в искривлённом пространстве при таком переносе, в частности, по замкнутой кривой вектор не сливается со своим исходным состоянием, направлением. Не видно констатации, что вернувшийся вектор - это уже другой вектор.

Далее мы встречаем довольно редкую привязку поворота вектора и системы координат искривлённого пространства. В частности, это означает отсутствие параллельности даже между координатными линиями:

" ...в общих координатах компоненты тензора испытывают при параллельном переносе изменения, обусловленные различием координатных направлений в различных точках пространства. Пусть параллельный перенос тензора ... , заданного в точке ... , производится в точку ... . В таком случае в результате параллельного переноса компоненты принимают значения ... , приобретая приращения" [18, с.15].

Здесь мы видим достаточно чёткое указание на изменение компонент тензора, понимая под ним его частный, векторный вариант.

"С понятием параллельного переноса тесным образом связана операция ковариантного дифференцирования" [18, с.16].

Далее приводятся подтверждающие аналитические выкладки, проводящие параллель между понятием прироста компонент вектора между исходной и конечной точками и понятием ковариантной производной вектора.

Однако в этих выкладках что же, собственно, произошло с "параллельно" перенесённым вектором просматривается, довольно завуалированно. Явной констатации, совпадут ли две его копии, если будут перемещены в некоторую точку по двум разным путям или по замкнутой траектории.

В следующей цитате прямо не указывается, что базис описывает искривлённое пространство, а кривая является геодезической:

"Формула ... задает изменение компонент вектора в фиксированном базисе при его параллельном переносе вдоль кривой" [22, с.59].

В цитате прямо не указывается, что базис описывает искривлённое пространство, а кривая является геодезической. Однако из контекста раздела работы явно следует, что речь идёт всё-таки об искривлённом пространстве. В работе в достаточно общем, формальном виде приводятся определения понятий параллельного переноса вектора и понятия кривизны - тензора кривизны или тензора Римана. Отмечено, что задача о параллельном переносе и определении кривизны является корректной и имеет однозначное решение. О том, что в искривлённом пространстве параллельный перенос в принципе невозможен, ничего не говорится.

Далее в цитате "стрелка" - это переносимый вектор:

"В плоском пространстве ... Стрелку можно переносить так, чтобы она всегда оставалась параллельной своему первоначальному направлению. Однако на изогнутой поверхности это невозможно. ... Все эти особенности будут присутствовать в любом пространстве (скажем, на поверхности одновременности) в искривленном пространстве-времени" [7, с.203].

Цитата является описанием серии весьма наглядных рисунков. Отметим явное утверждение, что на искривлённой поверхности невозможен параллельный перенос. Однако эта невозможность рассматривается в работе в широком, собирательном смысле. Параллельный перенос на некотором коротком участке считается возможным, правда под этим переносом подразумевается сохранение некоего направления, вектор переносят "сохраняя его всегда направленным в одном и том же направлении" [7, с.203].

Назовём это простой подменой понятий, названий: фактически "параллельный перенос" отождествляется с переносом с сохранением направления. В плоском пространстве эти понятия тождественны. На искривлённой поверхности сферы любое неизменное направление - это направление на заранее выбранный произвольный полюс или вдоль геодезической переноса. Частный случай - перенос по экватору, когда неизменным направлением является направление на полюс или вдоль экватора. Но эти "неизменные" направления в пространстве погружения не являются неизменными. Вектор вращается.

"Экватор является геодезической ... при параллельном переносе касательный вектор к геодезической остается касательным вектором, поэтому при параллельном переносе вдоль экватора V становится таким же, как U, поэтому они параллельны по определению" [8, c.121].

Рассмотрены два альтернативных пути переноса: диаметрально вдоль экватора и в эту же конечную точку через полюс. На качественной иллюстрации видно, что векторы после переноса не совпали. Однако это верно лишь при отказе от точности терминологии. Во-первых, как мы уже неоднократно заявляли, ни тот, ни другой переносы параллельными не являются. В цитате переносится касательный вектор, который на поверхности сферы по определению является линией кривой. Параллельность кривых линий - понятие не определённое, не смотря на заявленное "они параллельны по определению". Нет такого определения "параллельные кривые линии". Например, можно встретить определение, что "под параллельными кривыми линиями подразумеваются линии, получаемые одна из другой путем параллельного переноса". Но это определение понятия через само это понятие, то есть, фактически тавтология.

Отметим и отчасти согласимся с описанием в следующей цитате важного правила параллельного переноса, которое нарушается едва ли не в каждом его описании в разных источниках:

"... мы рисуем вектор так, как его видит двумерный муравей на сфере, поэтому он всегда должен касаться сферы" [9, c.154].

Укажем лишь на некоторую двусмысленность этого интересного утверждения. Если вектор касается сферы, а не линии на сфере, то такого вектора муравей не может увидеть по определению. Вектор полностью находится в пространстве погружения плоском или искривлённом, но относительно двухмерной поверхности он имеет третье измерение, принципиально недоступное для наблюдения двухмерным обитателям. Правильнее было сказать, что вектор полностью лежит на сфере и является касательным к некоторой линии на ней. Если линия - геодезическая, то этот касательный вектор полностью с ней сливается. Для внешнего наблюдателя и вектор и геодезическая видны как кривые линии, отрезки больших кругов сферы. Для муравья обе они - прямые линии.

"... на изогнутом многообразии просто невозможно определить глобально параллельные векторные поля. Мы все еще можем определить локальный параллелизм, например, как перемещение вектора из одной точки в другую, сохраняя его параллельным и одинаковой длины. Но результат такого "параллельного транспорта" из точки A в точку B зависит от пройденного пути. ... Если векторы _V в бесконечно близких точках кривой параллельны и имеют одинаковую длину, то говорят, что векторы _V переносятся параллельно по кривой" [9, c.155].

В общих чертах с этим можно согласиться. Но всегда следует помнить о тонкостях операций с бесконечно малыми величинами. Грубо говоря, при таких манипуляциях мы просто подменяем малый участок искривлённой поверхности на евклидову плоскость, неосознанно обозначая её бесконечно большой. Цитата описывает именно такую ситуацию.

"Для аффинной связности параллельный перенос не зависит от пути тогда и только тогда, когда тензор кривизны равен нулю" [10, с.603].

Здесь упоминание параллельного переноса сделано в виде "инверсной" теоремы, доказывающей независимость результата параллельного переноса в плоском пространстве.

"... мы хотим развить внутреннее понятие кривизны, которое может быть применено к любому многообразию без ссылки на пространство более высоких измерений, в которое оно могло бы быть вложено. Такое понятие кривизны можно определить в терминах параллельного переноса" [10, с.603].

Это распространённое, можно даже сказать, классическое заблуждение, ошибка. В искривлённом пространстве понятие параллельного переноса является ложным понятием. Не существует определения понятия параллельных кривых линий.

"На такой поверхности, как плоскость ... или сфера ... , у нас есть интуитивное представление (которое будет математически точным ниже) того, что значит держать вектор "указывающим в одном направлении" (но всегда в касательном пространстве многообразия) при его перемещении по траектории" [11, с.29].

И вновь целый набор ошибочных утверждений как "интуитивных", так и "математически точных ниже". Понятие "одного направления" на искривлённой поверхности является негласным отождествлением с параллельностью, которой, как мы заявили, нет и быть не может на такой поверхности. Вектора в касательном пространстве многообразия, несомненно, могут иметь явно заданное направление, быть параллельными. Но эти векторы не лежат на искривлённой поверхности, не принадлежат ей, а имеют с нею одну-единственную общую точку. Такие "удерживаемые векторы" перемещаются исключительно в пространстве погружения, которое может быть как плоским, евклидовым, так и искривлённым трёхмерным пространством.

По искривлённой поверхности возможен только эквиугловой перенос вектора. Заметим, что такое определение кривизны "изнутри" фактически схоже с измерением суммы внутренних углов треугольника или даже "двухугольника".

Известны попытки определить таким способом кривизну нашего пространства: измерения углов треугольников показало в пределах доступной точности, что наше пространство - плоское.

"Пространство будет искривленным тогда и только тогда, когда некоторые изначально параллельные геодезические не смогут оставаться параллельными, то есть пятый постулат Евклида не сработает" [там же].

Более того: геодезические не только "не смогут оставаться параллельными", они вообще никогда и нигде параллельными не были. Естественно, пятый постулат, описывающий поведение параллельных линий, на искривлённой поверхности неприменим чисто терминологически.

"Учитывая только многообразную структуру пространства, у нас нет естественного понятия параллельного переноса" [там же].

Это верно, такого понятия, действительно нет, ни естественного, ни противоестественного.

"Причина в том, что касательное пространство Vp и Vq двух различных точек p и q являются разными векторными пространствами, и поэтому нельзя сказать, что вектор в p совпадает с вектором в q" [там же].

Поэтому указанная причина также лишена оснований. Естественного понятия параллельного переноса в искривлённом пространстве нет по причине отсутствия в таком пространстве параллельных линий, самого понятия параллельности.

"... выводится уравнение отклонения геодезических, которое характеризует кривизну с точки зрения неспособности изначально параллельных геодезических оставаться параллельными" [11, с.30].

Эта точка зрения ошибочна. Не могут оставаться параллельными линии, которые не только изначально, а никогда не были и не могли быть параллельными.

Как мы уже не раз отмечали, в любых доступных литературных источниках, учебниках и статьях при рассмотрении искривлённых пространств делается вывод о том, что при параллельном переносе вектора он изменяет своё направление. В следующей работе, в работе Германа Вейля перенос вектора по поверхности сферы описан таким образом:

"На сфере радиуса а (в трехмерном евклидовом пространстве) большие круги являются геодезическими линиями. При движении по большому кругу изменение dt касательного вектора t единичной длины нормально самой касательной. Из равенства (t t) = 1 следует поэтому, что (t dt) = 0. Кроме того, dt лежит в плоскости, проходящей через центр сферы. Таким образом, t совпадает с направлением нормали к сфере, т.е. t испытывает при движении вдоль кривой параллельное перенесение на поверхности" [21, с.123].

Описание верно отчасти, если рассматривает его с точки зрения пространства погружения - евклидова пространства E3. С точки зрения двухмерной поверхности сферы - все утверждения ошибочны. Вектор приращения dt нормален к поверхности сферы, то есть, он этой поверхности не принадлежит. Кроме того, поверхности не принадлежит и сам переносимый вектор, поскольку он лежит в касательной к поверхности плоскости. Заявлять, что вектор переносится на поверхности - неверно. У вектора с этой поверхностью лишь одна общая точка - начало вектора. Более того, ни в одной точке траектории этот нормальный вектор приращения не остаётся параллельным своему предыдущему состоянию. Иначе это тождественно утверждению, что все радиусы сферы - параллельны, что, конечно же, является нелепостью.

"Рассмотрим параллельный перенос касательного вектора ... из точки ... c координатами ... в точку ..." [25, с.426].

Как мы уже не раз отмечали, перенос касательного вектора не является переносом вектора по искривлённой поверхности. Это перенос вектора в пространстве погружения. Он может быть каким угодно: параллельным, эквиугловым, с поворотом или без поворота вектора. Касательный вектор к искривлённой поверхности этой поверхности не принадлежит.

"Параллельный перенос касательного вектора вдоль поверхности Σ осуществляется следующим образом ... сначала переносим вектор ... из точки у в точку ... как вектор в R3 (...), а затем берем его проекцию на касательную плоскость в точке ..." [25, с.428].

Довольно неплохая детализация процесса, но, к сожалению, имеющая очевидные противоречия. Первый описываемый перенос в R3 - это перенос касательного вектора. Явно не указан характер переноса, можно лишь предположить, что вектор в R3 перенесён параллельно. Сразу же возникает вопрос: почему касательный к искривлённой поверхности вектор не лежит в касательной к ней же плоскости? Насколько нам известно, все вектора, касательные к искривлённой поверхности в некоторой точке лежат в одной плоскости - касательной к этой поверхности в этой же точке. В таком случае описанная проекция касательного вектора на касательную плоскость равна самому вектору. Неясно, в чём смысл процедуры.

"При параллельном переносе в плоском пространстве сохраняется направление вектора. В частности, сохраняются углы, образуемые вектором с прямой (т.е. геодезической), соединяющей исходную и конечную точки переноса" [29, с.110].

Заметим, что обозначение, именование прямой, прямой евклидовой линии как геодезической, очевидно, приводит к возникновению множества ошибок при описании параллельных переносов. Поскольку прямая - это геодезическая, то многие авторы, видимо, полагают и обратное: геодезическая - это прямая. Но есть и другое существенное отличие: в плоском пространстве параллельный перенос вдоль прямой линии, что тождественно переносу с сохранением направления, возможен по определению и он эквивалентен эквиугловому переносу вдоль прямых линий. В искривлённом пространстве нет ни понятия параллельности, ни переноса с сохранением направления, поэтому и параллельного переноса быть не может, а возможен только эквиугловой.

"При обходе замкнутого контура положение вектора совпадает с исходным. В искривленном пространстве это не так. Легче всего это понять на примере сферы ..." [29, с.110].

Это верно лишь отчасти. Если замкнутый контру образован единственной геодезической, то поворота вектора не буде. В общем случае, если геодезическая составная, в искривлённом пространстве вектор не совпадает с исходным.

"Выйдем из полюса с вектором, направленным по меридиану. Дойдем до экватора и перенесем вектор параллельно самому себе вдоль экватора, после чего вернемся по другому меридиану на полюс" [29, с.110].

В искривлённом пространстве отсутствуют понятия параллельного переноса и переноса с сохранением направления. Сравнивать принципиально разные, различающиеся переносы: параллельный перенос в плоском пространстве с эквиугловым переносом в искривлённом следует с чёткими оговорками. В обоих случаях следует указать, что перенос именно эквиугловой, не используя понятия параллельности или неизменности направления. Кроме того, линия переноса в плоском пространстве - это прямая евклидова линия, а в искривлённом - линия кривая, геодезическая. Обе линии - наикратчайшие между точками. Всё сказанное относится и к высказыванию следующего автора:

"Единичный вектор, касательный к геодезической, претерпевает параллельный перенос" [52, с.20].

Единичный и любой иной вектор, касательный к геодезической всегда сливается с нею. Мы говорим - геодезическая, поскольку речь идёт об искривлённом пространстве. Перенос такого вектора даже более, чем эквиугловой, он, скорее, конгруэнтный, но никак не параллельный. В искривлённом пространстве нет такого понятия - параллельность.

Часть 2. Произвольная траектория в роли геодезической

Как видно, в некоторых из приведённых цитатах перенос векторов производится по неопределённой траектории, пути, без упоминания, что траектория является геодезической. Насколько это важно? Зависит ли поведение переносимого вектора от характера траектории? Для того чтобы внести определённость в этот процесс:

"... полезно рассмотреть ... внутреннюю геометрию обычной двумерной сферы S 2. Выберем на S2 некоторую точку р (например, для определенности, на северном полюсе) и некоторый касательный вектор v в точке р (направленный, например, вдоль Гринвичского меридиана" [46, с.261].

Сразу же отметим, что выбранный вектор v не принадлежит поверхности сферы, а точки p и q, судя по рисункам к цитате, обе лежат на выбранном меридиане.

"Какие другие касательные векторы в других точках сферы S2 мы должны считать "параллельными" вектору v?" [там же].

Именно это и является главным вопросом определения параллельности. В цитате отмечается различие этого понятия на сфере и на плоскости:

"Если воспользоваться евклидовым понятием "параллельности", унаследованным от стандартного погружения S2 в евклидово 3-пространство, то мы найдем, что в большинстве точек q сферы S2 не существует касательных векторов к S2, которые были бы "параллельны" вектору v в указанном смысле, поскольку касательная плоскость в точке q, как правило, не содержит направления v" [там же].

Отметим смягчающие замечания "в большинстве случаев" и "как правило". Это значит, что такие касательные параллельные векторы есть. Вместе с тем, поскольку рассматривается сфера, то указания "в большинстве точек" и "как правило" выглядят чрезмерно осторожными: по сути, это очевидно. Следующее пояснение, хотя и несколько замысловатое для очевидности, но является верным:

"Точки, в которых имеются касательные векторы к S2, могущие быть "параллельными" вектору v в этом смысле, содержит лишь большая окружность, проходящая через точку p перпендикулярно к Гринвичскому меридиану" [там же].

Все векторы на указанном ортогональном меридиане, большой окружности и ортогональные к нему, параллельны вектору v в евклидовом 3-пространстве погружения. Все эти векторы и вектор v ортогональны к плоскости описанного фактически "большого круга", круга, образованного этой большой окружностью, содержащей Гринвичский меридиан.

"Подходящее понятие параллелизма на S2 должно относиться только к касательным векторам, поэтому лучшее, что мы можем сделать, - это переносить направление вектора v в тангенциальную плоскость в точке q по мере постепенного удаления точки q от p" [там же].

Довольно замысловатое описание процесса вращения вектора v в процессе его удаления от полюса. У понятия "тангенциальная плоскость", популярного в деревообработке, есть синоним: "касательная плоскость". И вновь обратим внимание на противоречие: параллелизм на S2, то есть, на поверхности сферы, отнесён к касательным векторам, которые этой поверхности не принадлежат. На рисунках это отчётливо показано: все вектора находятся, изображены на рисунках за пределами поверхности сферы. Фразу "переносить... в тангенциальную плоскость", видимо, следует чуть подправить: не "переносить в плоскость", а "переносить вместе с этой плоскостью", закрепив вектор в исходной тангенциальной плоскости, которую затем и переносим.

"Эта идея прекрасно работает, но теперь возникает новая особенность: вводимое таким образом понятие параллелизма зависит от пути, по которому точка q смещается от точки p" [там же].

Идея прекрасно работает, но с чем? Такой перенос вектора - это перенос в евклидовом трёхмерном пространстве погружения, но никак не по поверхности сферы. Введённое понятие параллелизма - это традиционное, известное понятие для плоского пространства. А особенностью его является то, что перенос вектора не является параллельным по определению, приведённому в цитате. Касательный вектор v изначально определён, постулирован как вектор в пространстве погружения. Перенос, вращение касательной плоскости не имеет абсолютно никакого отношения к событиям на поверхности сферы. Обитатели этого двухмерного мира сферы не могут увидеть ни эту касательную плоскость, ни вектор, в ней лежащий. Видят они лишь одну единственную точку: точку касания. То, что эта точка движется по поверхности сферы, этим обитателям не несёт абсолютно никакой информации. Единственное, что они видят: это линия, нарисованная в их мире. Меридианная линия.

Нет, представленную идею следует признать ошибочной. Возникшая особенность состоит более в ином: параллельный перенос не относится к исходному вектору. Кроме того, эта идея косвенно не только не проясняет, а вообще ставит под сомнение саму идею параллельного переноса.

Для пояснения приводится ещё один рисунок, выполненный, следует заметить, несколько странно, даже небрежно. В цитируемой работе на рисунке рис.14.2б, который мы не приводим, изображена волнообразная кривая линия γ, начинающаяся на северном полюсе и доходящая почти до экватора.

"Рассмотрим кривую γ на S2, начинающуюся в точке p и заканчивающуюся в некоторой другой точке q на S2" [46, с.262].

Небрежность состоит, в частности, в том, что на этом рисунке упомянутая точка q не показана. В подписи к рисунку говорится:

"... будем двигать вектор v вдоль заданной кривой γ, постоянно проектируя его на касательную плоскость к сфере. (Полагаем, что кривая γ построена из большого числа мелких отрезков p0p1, p1p2, p2p3, ... , проектируемых на каждой стадии)" [там же].

Здесь также видна неточность: на кривой γ указанные мелкие отрезки не отмечены, отмечены они на находящемся рядом меридиане. Но мы догадываемся, где находятся эти отрезки. Кроме того, пока из пояснения неясно, зачем при переносе вектора v мы постоянно проектируем его на касательные плоскости. И в чём состоит смысл "отрезков... проектируемых"? То есть, на касательную плоскость проектируются как векторы, так и криволинейные отрезки, соединяющие его промежуточные положения? Но что это даёт?

"Затем переходим к пределу, в котором отрезки становятся все меньше"[там же].

Переход к пределу понятен: "ломаные" отрезки превращаются в плавную кривую, не понятно лишь, что это дало.

"Такое понятие параллельного переноса показано на рисунке для Гринвичского меридиана, а также для кривой общего вида γ" [там же].

Похоже на заключительный вывод, завершение пояснения. Однако показанное на рисунке понятие "параллельного переноса" заявленного исправления положения не достигло. Касательные векторы на рисунке по-прежнему принадлежат евклидову пространству погружения E3, а не S2 пространству сферы. Косвенно это отмечено чуть выше:

"а) Непосредственное применение евклидовой "параллельности", когда сфера S2 считается погруженной в пространство Е3, не работает (за исключением направления вдоль меридиана, перпендикулярного Гринвичскому), поскольку векторы, параллельные v, не остаются касательными к S2" [там же].

Но и здесь утверждение "за исключением меридиана" - тоже не работает. Во всех случаях, включая направление, ортогональное Гринвичу, переносимые векторы не принадлежат поверхности сферы. Далее в тексте приводится более подробное пояснение, повторяющее подпись к рисунку. Интерес представляет следующий фрагмент:

"Будем передвигать вектор v вдоль γ, причем на каждом из отрезков pr-1pr перемещать его параллельно самому себе (в обычном смысле, с использованием евклидова трехмерного пространства), а затем проектировать на касательное пространство в точке рr" [там же].

Мы с неизбежностью трактуем фрагмент цитаты "параллельно самому себе ... евклидова трёхмерного пространства" буквально: касательный вектор v перемещается непосредственно в евклидовом, плоском трёхмерном пространстве погружения E3. Вектор не принадлежит поверхности, пространству S2 сферы. Далее следует не менее странная процедура: не принадлежащий сфере вектор проецируется на не принадлежащую сфере касательную плоскость. Всё это происходит вне двухмерного пространства сферы, все эти события не имеют к пространству, миру плоскости сферы никакого отношения. Параллельны переносимые вектора друг другу или нет, для двухмерного пространства сферы не имеет никакого значения. Всё, что у этих миров общего - это единственная касательная точка вектора и плоскости к поверхности сферы, лишь одна общая точка.

"Эта процедура заканчивается касательным вектором в точке q" [там же].

Здесь следовало бы более определённо указать: конечный вектор является касательным к линии на сфере или находится в касательной к ней плоскости, поскольку рассматривались обе ситуации. Также отметим, что здесь нет никаких указаний на то, что произвольная линия переноса вектора обязательно должна состоять из отрезков геодезических, если не считать описанную выше процедуру укорачивания не определённых отрезков.

Приведённый анализ в общих чертах повторяет, дополняет исследования, проведённые в первой части нашей работы. Здесь, в рассмотренных цитатах мы хотим отметить другое, не менее, если не более важное обстоятельство: это разбиение линии переноса на отрезки.

"Полагаем, что кривая γ построена из большого числа мелких отрезков p0p1, p1p2, p2p3, ... , проектируемых на каждой стадии... Затем переходим к пределу, в котором отрезки становятся все меньше" [там же].

Автор цитируемой работы не указывает, с какой целью сделана эта аппроксимация, но по внешнему виду она выглядит традиционной. А именно: любую, произвольную линию на сфере мы можем аппроксимировать короткими, в пределе бесконечно малыми отрезками геодезических, вследствие чего результирующая линия в некотором смысле сама становится подобием геодезической. Но здесь возникает очевидная проблема: теперь невозможным становится не только параллельный перенос вдоль такой "геодезической", а и эквиугловой перенос. Изломы на такой псевдо-геодезической становятся бесконечно близкими и при переходе с одного бесконечно малого участка такой ломано геодезической на следующий частный поворот переносимого вектора становится также бесконечно малым. Другими словами, бесконечном малым становится и изменение угла в процедуре эквиуглового  перемещения. Визуально показать это изменение на рисунке просто невозможно. Вместо этого возникает ложное представление об эквиугловом перемещении. Такая аппроксимация является опасной процедурой. По сути, произвольная кривая превращается в геодезическую, хотя и составную.

В случае сферического геодезического треугольника обычно изображается "параллельный" перенос вектора, вектор в конце обхода меняет своё направление. Но что будет, если взять сферически квадратный или прямоугольный контур и использовать "геодезическую" аппроксимацию его изначально не геодезической стороны, параллели? Поскольку мы вправе произвести параллельный перенос вектора по произвольному маршруту, то мы добавили такой отрезок, превратив сферический треугольник в сферический квадрат (вернее, криволинейный четырехугольник). Как видно на рис.2.1 при таком эквиугловом переносе итоговый угол φ = 0, что означает отсутствие кривизны поверхности.


Рис.2.1. Параллельный перенос вектора на сфере с использованием аппроксимированной геодезической


Однако поверхность сферы определённо является искривленной. Следовательно, такой метод "спрямления" параллели до геодезической неверен или, по меньшей мере, не должен использоваться при графической демонстрации эквиуглового перемещения.

Рассмотрим еще один пример перемещения вектора по произвольной кривой, то есть, кривой, которая не обозначена явно как геодезическая или состоящая из отрезков геодезических. Приведён соответствующий рисунок плавной замкнутой кривой с картофелеобразным контуром, не имеющим явных признаков геодезической (отрезков меридианов, больших кругов).


Рис.2.2. Рисунок 13 из статьи [59]


Рассматриваемые в тексте кривые линии названы прямыми, то есть, имеющими смысл геодезических. В описании рисунка сказано:

"Проведем через заданную точку P. какую-либо замкнутую линию - контур C (рис.13), возьмем некоторый бесконечно малый вектор a в точке P и будем параллельно перемещать его вдоль по линии C, пока снова не вернемся в исходную точку P; наш вектор превратится в вектор a1, причем ... по направлению ... вектор a, вообще говоря, не должен совпасть с вектором a1"[59, с.40].

Отметим мягкость заключения: "вообще говоря, не должен совпасть". Нас интересует именно этот вариант "параллельного" переноса векторов, при котором после обхода контура вектор всегда меняет своё направление. Таким свойством обладает "параллельный" перенос вектора по составным геодезическим на сфере. Вместе с тем, на рисунке рис.13 в цитируемой статье видно отчётливо: замкнутая траектория геодезической не является. Конечно, пространство, поверхность, на которой линия рис.2.2 является геодезической, в принципе, возможно. Однако в цитате такой вариант не отмечен. Следовательно, перенос не является ни параллельным, ни эквиугловым по отношению к какой-либо геодезической. Произвольный, не геодезический характер линии переноса не ведёт к повороту вектора при его эквиугловом переносе по замкнутой траектории. В исходную точку вектор возвращается без изменения направления. То, что вектор показан с изменившимся направлением после обхода траектории - это декларативное, бездоказательное решение.

Уточнение о геодезическом характере кривой, траектории переноса является важным обстоятельством. Принципиальная невозможность параллельного переноса вектора по сфере с неизбежностью требует замены параллельного переноса на эквиугловой. Такой перенос возможен как вдоль геодезической, прямой линии, так и вдоль произвольной линии. Но в последнем случае, если следовать буквально правилу транспортировки с сохранением угла, то вектор совпадёт со своим исходным направлением, поскольку в начальной-конечной точке существует единственное направление с заданным углом.

В двух последних приведённых выше цитатах нет явного указания на геодезический характер линий переноса, хотя, вероятно, он подразумевается. Отметим это обстоятельство как важное, решающее, но явно нигде не озвученное. Изменение направление вектора при его переносе происходит только в точках излома, точках перехода вектора с одной геодезической на другую. Если геодезическая замкнута и не имеет изломов, то вектор в исходную точку всегда возвращается без изменения направления.

Перенос вектора по поверхности конуса

Излом на геодезической может быть как в случае стыковки разных геодезических, так и вследствие её самопересечения. Такая ситуация может возникнуть, например, на поверхности конуса [58] при некоторых углах развертки образующей его плоскости. Заметим, что эти геодезические на конусе являются прямыми евклидовыми линиями. Косвенно на это обстоятельство обратил внимание Carroll, правда, в несколько ином ключе. Рассматривая криволинейную траекторию переноса вектора, он указал

"Конус - это пример двумерного многообразия с ненулевой кривизной ровно в одной точке. Мы можем увидеть это также, развернув его; конус эквивалентен плоскости с удаленным "дефицитным углом" и обозначенными противоположными сторонами" [3, с.83].

Рассматриваемый далее параллельный перенос в общих чертах в цитате описан верно: на поверхности конуса такой перенос возможен:

"В метрике, унаследованной от этого описания как часть плоской поверхности, конус плоский везде, кроме вершины. Это можно увидеть, рассматривая параллельную транспортировку вектора по различным петлям; если цикл не охватывает вершину, не будет общего преобразования, тогда как цикл, который действительно охватывает вершину (скажем, только один раз), приведет к повороту на угол, который является просто недостающим углом" [там же, с.84].


Рис.2.3. Перенос вектора по поверхности конуса [3, с.83]


Вместе с тем отметим, что на рисунках рис.2.3a и рис.2.3b просматривается странная ситуация. Действительно, вся поверхность конуса, приведённая на рисунке рис.2.3 в виде развёртки, является плоской в евклидовом смысле. Это прямо означает, что любые два отрезка, параллельные друг другу, остаются параллельными при любом параллельном переносе. Рассмотрим немного другую, инверсную ситуацию. Перенесём векторы A и B из конечной точки C независимо друг от друга, считая их изначально параллельными. В точках A и B эти векторы после переноса останутся параллельными. В чём тогда причина нарушения в цитате?

То, что, как указано в цитате, вектор после переноса по замкнутому контуру испытал поворот, прямо, классически означает: пространство конуса криволинейное. Либо следует признать, что параллельный перенос не может служить индикатором кривизны. Однако противоречие в ином.

Рассмотрим ещё один вариант переноса: в том же направлении перенесём вектор из точки B в точку A. Очевидно, что после такого переноса векторы будут строго параллельны, что соответствует их положению относительно линий координат. Однако визуально, из пространства погружения векторы будут расположены под углом, равным недостающему углу. Возникает естественный вопрос: так параллельны векторы или расположены под углом? Возникает также и второй вопрос-возражение: вектор B, вообще-то, строго говоря, не вернулся в исходную точку B, поскольку, как мы указали, путь завершён в точке A. Что будет, если перенести вектор через линию разреза? Линия разреза конуса - это линия, которую мы можем выбрать вдоль любой его образующей. На конусе эта линия разреза изначально не задана. Если мы обходим вершину конуса S полностью, по замкнутой кривой, то, естественно, мы рано или поздно будем вынуждены пересечь и линию разреза, скрывающую недостающий угол. Вот в чём и заключено это противоречие: вращение вектора происходит тогда и только тогда, когда он пересекает линию разреза. Не вершина конуса S является единственно не плоской точкрой, а линия разреза является запрещённой для пересечения линией. На поверхности конуса мы можем производить любые построения, которые будут строго соответствовать положениям евклидовой геометрии, но только с соблюдением запрета на пересечение линии разреза. Линию можно задать до нанесения координатной сетки на поверхность конуса, а можно и в процессе построений, если для неё останется пространство, в котором она не пересекает наши построения.

Для условных двухмерных обитателей поверхности конуса эта линия разреза имеет статус непреодолимой границы, своеобразной стены. Можно двигаться как угодно по поверхности, но пройти сквозь стену невозможно. Вернее, невозможно пройти без искажений. Эта стена является, так сказать, "кротовой норой" для обитателей поверхности конуса, своеобразной Чёрной дырой. Собственно говоря, эта ситуация возникает просто потому, что недостающий угол - это вырезанная часть плоскости Евклида. Участок плоскости, удалённый из неё. Никакие движения по несуществующему участку невозможны. Этот участок можно как угодно деформировать: сжать, растянуть, свернуть. Никакие манипуляции с ним не меняют этого участка: при любом изменении Ничего, если придавать этому изменению хоть какой-то смысл, Ничто остаётся Ничем.

Как вариант, стена может быть прозрачной. В этом случае любая линия, упёршаяся в стену, может быть продолжена обитателями за стеной. При этом как угодно: быть визуальным продолжением, либо также визуально лежать под таким же углом к линиям координат, как и повторяемая. Но это уже две разные линии. Следовательно, и линии CA и BC на рисунке рис.2.3с из цитаты не являются замкнутым контуром - это две разные линии. В цитате выбрано продолжение линии, BC, кажущееся "параллельным" линии CA. В кавычки мы взяли это слово, поскольку на самом деле точки A и B следовало бы считать одной точкой, точкой излома на линии, что формально означает - линии разные.

Как видим на сдвоенном рисунке рис.2.3a и рис.2.3b, перенос производится параллельно по произвольной траектории в разных областях конуса, по линии, не являющейся геодезической. Однако такой перенос в плоском пространстве не ведёт к повороту вектора. Если в результате такого переноса вектор изменил направление, то пространство не является плоским и в нём параллельный перенос невозможен, а допустим лишь эквиугловой перенос, причём только вдоль геодезической. То есть, в нашем случае невозможен и эквиугловой перенос, поскольку линии переноса не объявлены геодезическими, а визуально выглядят как линии произвольные. Эквиугловой перенос вектора вдоль произвольной линии не является индикатором искривлённости пространства, поскольку поворот вектора определить невозможно, он может быть любым.

Зададимся вопросом: как условный "плосковитянин", обитатель поверхности конуса, определяет, что линия переноса является геодезической, а перенос вектора - параллельным? Самым очевидным является использование координатной сетки. При её наличии все вопросы о геодезических и параллелях на плоскости снимаются.

В общем случае определение, выявление искривлённости поверхности без использования понятия погружения является неоправданно сложной процедурой, имеющей целый ряд недостатков и обязательных оговорок. Такой перенос целесообразно использовать лишь как демонстрацию, как геометрическое следствие одного из свойств искривлённого пространства, но никак не для его диагностики, тестирования. На рис.2.4 мы показали эквиугловой перенос вектора по плоскости по разным траекториям. Как видим, один и тот же вектор (слева) приходит в конечную точку (справа) с разным поворотом в зависимости от вида линии переноса. Две из них являются для плоскости геодезическим, по ним чёрный и зелёный векторы после перемещения сохранили свои направления. Но линии, содержащие негеодезические вставки, привели к повороту синего и красного векторов, причём в разные стороны. Отметим, что эквиугловой перенос по геодезическим на плоскости тождественен параллельному переносу.


Рис.2.4. Четыре траектории эквиуглового переноса векторов на плоскости: прямая, угловая линия и две вставки четверти окружности

На рисунке рис.2.3a мы видим, что оригинальные векторы, обозначенные далее как A и B, не параллельны друг другу, то есть, пространство, поверхность определена, протестирована как искривлённая. В соответствии со свойством эквиуглового переноса вдоль линий, не являющихся геодезическими, если бы переносимый вектор имел неизменный угол к изображенной произвольной линии переноса, то в исходную точку он вернулся бы с любым наперёд заданным углом поворота. Однако перенос на рис.2.3a является ни параллельным, как заявлено, ни эквиугловым.

На рисунке рис.2.3c мы добавили красные векторы. Так на самом деле должен выглядеть параллельный перенос в плоском пространстве. Ещё раз отметим: важным моментом на рисунке является переход вектора через "недостающий угол". Две точки A и B на поверхности конуса - это точка, рассматриваемая в цитате как одна и та же, просто нами изображённая дважды. Вряд ли можно допустить, что в ней один и тот же вектор одновременно имеет разные направления, поэтому векторы A и B мы изобразили строго параллельными всем другим векторам, поддержав утверждение цитаты о параллельном переносе. Отметим ещё более определённо: развёртка конуса с "раскрытием" его "недостающего угла" явно демонстрирует, что эта поверхность является плоскостью. Тем не менее, при заявленном параллельном переносе, вектор принудительно повёрнут.

Если пренебречь запретом на переход через линию разреза, через недостающий угол, некоторые положения евклидовой геометрии на поверхности конуса будут нарушены. Например, прямая линия на конусе может пересекать саму себя. Две прямые линии, отрезки a и b на рис.2.5, могут образовывать геометрическую фигуру "двухугольник", то есть, они пересекаются дважды в двух разных точках - A и B.


Рис.2.5. Прямые отрезки a и b пересекаются дважды на поверхности конуса


Помимо конуса с недостающим углом возможны конусы с избыточным углом [58]. На поверхности таких конусов можно наблюдать противоположный эффект: изначально параллельные линии, проходящие мимо полюса с двух сторон, начинают удаляться друг от друга.

Традиционно конус создают из плоскости, вырезав в ней угол из прямых линий - тот самый недостающий угол рис.2.6. Иначе говоря, часть плоскости буквально исчезает. Затем стороны угла смыкают, рис.2.7, вследствие чего и образуется коническая поверхность. Для наглядности и более удобного исследования конической поверхности угол следует вырезать относительно какой-либо из осей координат. На рис.2.6 мы вырезали угол в четвёртом квадранте, совместив одну из его сторон с осью абсцисс. На рис.2.7 мы сомкнули стороны угла и показали лишь участок поверхности вблизи линии смыкания, там где "спрятан" недостающий угол.


Рис.2.6. Создание развёртки конуса с координатной сеткой и недостающим углом


Сразу же заметим, что поверхность конуса при этом не имеет точек кривизны, вся она строго плоская в евклидовом смысле. Поскольку мы нанесли на его поверхность координатную сетку, сразу же можем отметить странную на первый взгляд ситуацию. На рис.2.6, на поверхности конуса параллельными являются отрезки a и b, хотя на рис.2.7 кажется, что они расположены под углом. Напротив, линии c и a параллельными не являются - рис.2.6, хотя извне явно видна их параллельность - рис.2.7. Это иллюзия: отрезки a и b расположены вдоль оси абсцисс и являются параллельными по определению. На развертке это видно отчётливо.


Рис.2.7. Фрагмент поверхности конуса с линией разреза, скрывающей недостающий угол


Отметим, что традиционный способ формирования конической поверхности вырезанием недостающего угла не является единственным. На следующем рисунке рис.2.8 изображена развёртка конической поверхности, образованной из плоскости с криволинейным недостающим углом. Аналитическое определение формы сторон такого произвольного угла, видимо, достаточно громоздки. Поэтому мы произведём обратную процедуру формирования этого угла. Обычным способом создаём конус из плоскости с нанесённой координатной сеткой и вырезанным недостающим углом, как показано на рис.2.6. Далее на поверхности конуса мы рисуем произвольную линию, наугад. После этого ножницами разрезаем поверхность конуса вдоль этой линии и, как результат, получаем плоскую развертку рис.2.8. Поскольку поверхность конуса мы объявили строго евклидовой плоскостью, то исходную координатную сетку с вырезом рис.2.6 мы заменяем сеткой первого квадранта, просто расширив её на всю поверхность развёртки кроме вырезанных областей. Эти области недостающих углов являются областями, запретными для построений и даже для их пересечения. Границы углов при построениях означают буквально физические границы, как границы обычного чертёжного листа. Вопросы параллельности и параллельного переноса векторов решаются строго в рамках евклидовой плоскости с учётом "дырок" на листе.


Рис.2.8. Развёртка поверхности конуса с криволинейным недостающим углом и координатной сеткой


Очевидно, что любая линия, пересекающая нарисованную нами линию разреза, линия, кажущаяся сплошной на поверхности конуса, на самом деле является составной: до разреза и после него. В области линии разреза, в точке касания разреза, эта составная линии лишь кажется сплошной и без излома. На развёртке в этой точке линия, казавшаяся сплошной, разбивается на две независимые, не соприкасающиеся линии. Если эта линия была на конусе визуально прямой линией, то на развёртке эти два фрагмента находятся под углом, равным недостающему углу исходного конуса рис.2.6. Заметим, что такой поворот напоминает прохождение луча света через призму.

Таким же двусмысленным свойством быть плоскостью и одновременно искривлённой поверхностью обладает поверхность куба - рис.2.9. Если по его поверхности вектор переносится по замкнутому контуру произвольной формы, параллельно и без обхода, охвата какой-либо из его вершин, то в исходную точку вектор возвращается без поворота - рис.2.9b. Если же контур охватывает какую-либо вершину, то даже при строго параллельном переносе по геодезической вектор возвращается в исходную точку с поворотом. Угол поворота всегда кратен прямому. Например, при охвате двух вершин куба вектор меняет своё направление на противоположное, при охвате одной вершины - поворот равен 90 градусам, рис.2.9а.


Рис.2.9. Параллельный перенос вектора по поверхности куба с обходом вершины a) и без обхода b)


Такое сходство вполне объяснимо. Три смежные грани куба эквивалентны поверхности некоего конуса, который просто "разглажен" с образованием трёх рёбер. Кстати, граней может быть сколько угодно, то есть, конус можно деформировать, превратив в многогранную пирамиду. Более того, можно заметить сходство сдвоенного конуса помимо куба с другими фигурами: сферой и октаэдром - рис.2.10. Сходство этих фигур можно заметить в плане наличия полюсов, как на сфере. Каждая из фигур рис.2.10 имеет три пары полюсов. Мы расположили фигуры так, чтобы их верхнюю и нижнюю точки обозначить как полюса север и юг. Остальные полюса удобно рассмотреть сначала на примере сферы. Традиционно в качестве системы координат сферы используются меридианы и параллели. Однако это не единственный вариант. Координаты могут быть образованы и ортогональными параллелями и ортогональными меридианами, как показано на рис.2.10b. Две системы меридиан означают наличие двух пар полюсов. Традиционная пара, как показано на рисунке, это север и юг. Вторую пару полюсов, для второго набора меридиан мы назвали Запад-Восток. Отметим интересную деталь. Если мы находимся на полюсе, то у нас существует единственное направление - на смежный полюс. В случае двух систем меридианов, двух пар полюсов таких направление становится больше. Находясь, например, на северном полюсе, во всех направлениях у нас будет юг. Но не только. Появляется ещё два направления: это юго-восток и юго-запад. Причём возникшие ещё два направления выглядят двусмысленно: это направление точно между западом и востоком. Эта двусмысленность позволила ввести ещё одну пару полюсов, которую мы называли Полдень и Полночь. То есть, находясь на северном полюсе, мы имеем ещё два направления: юго-полдень и юго-полночь. Эти два дополнительных полюса не нужны для создания координатной сетки, поскольку два набора меридианов и две пары полюсов однозначно определяют координаты любой точки на поверхности сферы.


Рис.2.10. Меридианные координаты на сдвоенном конусе, сфере, кубе и октаэдре.


По аналогии со сферой мы можем установить такие же три пары полюсов на сдвоенном конусе и на октаэдре - рис.2.10a,d. Отметим некоторое отличие полюсов на кубе. Две пары - юг-север и запад-восток - ничем не отличаются от таковых на других фигурах. Но пара полюсов Полдень-Полночь иная. Мы можем обозначить их двояко: либо как точки на серединах боковых рёбер куба, либо как сами эти рёбра. По сути, это не принципиально и не имеет никаких противоречий.

На каждой из фигур в качестве примера мы изобразили по одному ортогональному меридиану. Для каждой пары меридианных полюсов смежные нулевые меридианы являются экваторами.

Часть 3. О возможности сравнения векторов


Процедура параллельного переноса векторов чаще всего используется для демонстрации кривизны пространства: перенесённый вектор изменяет своё направление только в искривлённом пространстве. Нередко такая демонстрация представляется в особом свете: утверждается, что обитатель искривлённого мира способен определить его кривизну, не прибегая к понятию пространства погружения. Как мы обнаружили, эта процедура переноса связана с весьма сомнительными выкладками, и фактически является эквивалентным, но довольно усложнённым способом определения кривизны через сумму углов треугольника. Более того, для такого определения кривизны использование параллельного переноса вектора в искривлённом пространстве некорректно, поскольку в искривлённом пространстве параллельных линий нет и быть не может по определению. Некоторые авторы описывают на самом деле эквиугловой перенос, не делая, впрочем, на этом акцента.

Но и в случае использования эквиуглового перемещения, в таких выкладках мы нередко обнаруживаем ряд недомолвок. Главным спорным, вернее даже, ошибочным моментом является то, что в качестве линии переноса зачастую объявляют произвольную линию, линию не являющуюся геодезической. Более замысловатым вариантом является аппроксимация такой произвольной линии бесконечно малыми отрезками геодезических. При этом остаётся незамеченным, что и в этом случае от "геодезической" природы произвольной линии ничего не остаётся.

Бесспорным было и остаётся то, что эквиугловой перенос вектора вдоль геодезической или цепочки геодезических, действительно, приводит к изменению направления вектора, зависимого от выбранного пути. Эти уточнения относительно использования геодезических встречаются нечасто, поэтому повторим: перенос вектора обязательно должен производиться вдоль геодезической или их неразрывной последовательности и с неизменным углом относительно них. При нарушении этих правил переноса закономерно возникают другие, довольно спорные, мягко говоря, трактовки. Пожалуй, наиболее странным и удивительным следует признать утверждение о принципиальной невозможности сравнивания векторов. Буквально это можно трактовать как бессмысленность вообще каких-либо недеформирующих переносов векторов в пространстве.

"Как мы видим в римановой геометрии, в отличие от евклидовой, непосредственное сравнение векторов, удаленных друг от друга, то есть векторов, находящихся в различных точках пространства, невозможно" [21, с.126].

Конечно, можно сказать, что в цитате отвергается процедура всего лишь непосредственного сравнения векторов, однако явно эта непосредственность не описана. Возможно, речь идёт о прикладывании двух векторов друг к другу в конечной точке, при котором они либо совместятся, либо образуют некоторый угол. При этом остаётся неясным, возможно ли такое непосредственное сравнение векторов скоростей двух разных частиц, если они находятся не в удалённых, а в близлежащих точках пространства? Для определённости мы исключаем варианты, когда вектор в процессе перемещения изменяет свою длину, что, строго говоря, возможно, то есть, мы придерживаемся аргументов, отвергающих геометрию Вейля.

Подобную точку зрения о невозможности сравнения векторов, находящихся в разных точках пространства, изложил ещё один автор:

"В отличие от некоторых проблем, с которыми мы столкнулись, у этой проблемы нет решения - мы просто должны научиться жить с тем фактом, что два вектора можно сравнивать естественным образом, только если они являются элементами одного и того же касательного пространства" [3, с.64; 2, c.104].

Является ли указанный в этой цитате естественный образ сравнения тождественным непосредственному сравнению из предыдущей цитаты? Здесь мы видим буквальную трактовку: сравнивать можно только векторы, находящиеся в пространстве Евклида, на плоскости, поскольку касательным пространством обычно считается именно плоскость Евклида. Непосредственно на поверхности сферы таких векторов быть не может вообще. Векторы в касательном пространстве не принадлежат пространству искривлённому, поскольку любые векторы в них могут иметь с "касаемыми" искривлёнными пространствами лишь одну общую точку и ничего более. А точка, понятно, вектором не является, сколько бы касательных пространств мы ни построили.

"Например, две частицы, проходящие мимо друг друга, имеют четко определенную относительную скорость... (которая не может быть больше скорости света). Но две частицы в разных точках изогнутого многообразия не имеют четко определенного понятия относительной скорости - это понятие просто не имеет смысла" [3, с.64; 2, c.104].

Заметим, что фразу "относительную скорость, которая не может быть больше скорости света" саму следует назвать утверждением "относительным". В любой ИСО два фотона могут удаляться друг от друга с относительной удвоенной скоростью света. Расстояние между ними при таком удалении возрастает с удвоенной скоростью света. Согласно кинематике ведущих физических теорий, галилеевой, эйнштейновой, любые скорости - относительные. Правильнее было бы сказать, что смысла не имеют как раз абсолютные скорости, а отношение скоростей указанных частиц мы просто не можем измерить, что, вообще-то, тоже неверно. Отрицание относительной скорости в цитате, по сути, лишает смысла понятие скорости вообще как таковой. В плоском двухмерном пространстве относительная скорость определяется изменением длины наименьшего, геодезического расстояния между объектами за единицу времени, то есть, скоростью изменения длины геодезической, причём не только в плоском, но и в искривлённом пространстве. Очевидно, что никаких физических запретов не имеют ни измерение интервала времени, ни измерение длины геодезической в любой момент времени.

Утверждение об отсутствии, бессмысленности относительной скорости следует признать не просто спорным, оно ошибочно. Соответственно, и утверждение: "не имеют чётко определённого понятия относительной скорости" (курсив в цитате наш) является странным, бездоказательным постулятивным, а вся цитата в целом выглядит как подмена понятий.

Подобные критические взгляды, отметим, довольно редки. Нам встретилось лишь ещё одно, третье высказывание о такой невозможности сравнивания векторов с прямой отсылкой к процедуре их параллельного переноса:

"В общем случае многообразие будет изогнутым, и возникает тонкая проблема, касающаяся того, как сравнивать векторы или более общие тензоры в разных точках на многообразии" [4, с.13].

Оставим без анализа "более общие тензоры", поскольку проблема со сравниванием просто векторов весьма значительна уже сама по себе, хотя и отмечена как "тонкая проблема". Для визуализации этой проблемы, как один из вариантов, в цитате предложено использовать традиционный перенос вектора на поверхности сферы:

"... когда многообразие искривлено, больше не существует однозначного способа сравнения векторов, определенных в разных точках на многообразии. Один из интуитивно понятных способов визуализировать это - рассмотреть перенос геометрического вектора на двумерной сфере, встроенной в трехмерное пространство" [там же].

Общепризнанно, что такой перенос вектора из одной точки в другую на изогнутом многообразии будет зависеть от выбранного пути. Другими словами, в точку назначения в зависимости от выбранной трассы "придут" разные векторы. Следовательно,

"... поскольку нет предпочтительного пути для выбора, мы не можем найти значимый способ сравнения векторов в разных точках на многообразии, то есть в разных касательных пространствах" [4, с.13].

Сразу же возразим: касательные пространства к переносу векторов не имеют никакого отношения, о чём мы неоднократно говорили. Вектора в касательных пространствах не принадлежат в данном случае поверхности сферы. Все векторы на сфере являются отрезками геодезических, то есть, наикратчайших, но кривых линий. Сказанное нами является пока неявным, скрытым опровержением цитаты [4, с.13]. Как мы отметили: вектор - это отрезок, коллинеарный геодезической. То есть, любой вектор на поверхности сферы обязательно сливается с той или иной геодезической. Иначе говоря, этот вектор имеет некое условное направление, задаваемое этой геодезической. Но направление конкретной геодезической на сфере всегда однозначно, предопределено и нигде на ней не меняется. Следовательно, коллинеарный вектор, перемещаемый по этой геодезической, в любой её точке так же всегда имеет одно и то же направление, направление этой геодезической. Подчеркнём: при таком перемещении вектор, как и геодезическая, нигде и никогда не меняет своего геодезического направления. В любой точке сферы, через которую проходит эта геодезическая, вектор в процессе скольжения так же имеет это неизменное направление. Первый вывод, следующий из этих рассуждений как возражение утверждению [4, с.13]: предпочтительный выбор есть, он однозначен и единственно правильный - это геодезическая, соединяющая исходную и конечную точки. Перенос вектора в искривлённом пространстве мы производим не в неопределённость, не в неизвестность, а в однозначно заданную конечную точку, в наш измерительный прибор. Другими словам: линия переноса вектора в любом искривлённом многообразии предопределена. Конечно, можно выбрать между этими двумя предопределёнными точками и какую-либо другую траекторию, любой кривизны и длины. Таких линий на поверхности сферы - бесконечное множество. А геодезическая, проходящая через эти точки, - единственная. Из этого повторно делаем, подтверждаем вывод: предпочтительный путь для выбора есть, и он строго предопределён - это геодезическая, соединяющая исходную и конечную точки. Между двумя точками есть только одна наикратчайшая линия, только одна единственная геодезическая. Мы рассматриваем меридианную систему координат сферы, поэтому все геодезические, проходящие между точками через другую половину сферы, мы отбрасываем.

Однако, могут нам возразить, векторы не всегда лежат вдоль геодезической, соединяющей две точки. На это мы сначала приведём традиционный пример с переносом вектора вдоль экватора и ортогонального ему. Необоснованно, неверно считается, что такой перенос является параллельным. Ошибка в том, что на поверхности сферы в принципе нет параллельных линий, поэтому и никакого параллельного переноса нет и быть не может. Тогда почему вектор при обходе всего экватора в точности совпадает со своим исходным положением? Здесь на самом деле присутствует не параллельный, а эквиугловой перенос вектора. На всём пути своего движения вектор всегда находился под одним и тем же углом к линии переноса, а к экватору - под прямым. И в начале движения и, соответственно, в конце движения. Но прямой угол - это для наглядности демонстрации. Вектор может иметь с линией переноса любой угол. Пройдя полный круг на сфере, причём не обязательно вдоль экватора, вектор вернётся в исходную точку под тем же первоначальным углом, совпав со своим исходным положением. Из этого делаем последний вывод, завершающий наши возражения: перенос вектора вдоль геодезической, соединяющей начальную и конечную точки, всегда сохраняет направление вектора, задаваемого углом к линии переноса, геодезической переноса.

Особо подчеркнём: линия переноса обязательно должна быть единой, неразрывной геодезической. Любое "перескакивание" с геодезической на геодезическую приводит к увеличению расстояния между точками. По определению эквиуглового переноса по неразрывной наикратчайшей, геодезической угол наклона вектора к этой геодезической сохраняется неизменным. Использование для переноса понятий параллельности, касательных пространств и проекций вектора на них только вводит в заблуждение, приводя к ошибочным выводам.

Однако собственно перенос вектора пока ничего нам не сказал о возможности сравнения векторов. Что означает указанная в утверждении [21, с.126] невозможность сравнения векторов? Хорошо, мы перенесли вектор из отдалённой точки в конечную, целевую с соблюдением правил "по геодезической с сохранением угла". Вот они, два вектора, лежат, так сказать, на столе рядом друг с другом. Что дальше? Что мешает нам их сравнить? А мешает, как можно догадаться, отсутствие определения: что такое сравнивание векторов? Действительно, мы можем сравнить длину двух отрезков, веса двух гирь, время происхождения каких-либо событий, но что означает "сравнить векторы"?

Первое, очевидное: мы можем сравнить длины двух векторов. При этом неважно, каким путём они к нам прибыли, поскольку мы постулировали, что при перемещении векторов их модули не меняются. Поскольку вектор - это, по сути, указатель направления, то сравнивать, видимо, и следует эти два разных в общем случае направления. Но как это сделать? Возникает, строго говоря, весьма странная ситуация. На поверхности сферы векторов, имеющих одинаковое направление, не существует вообще. Особенно это заметно с точки зрения пространства погружения. Любой вектор на сфере - это кривая линия. Есть ли у кривой линии направление? Ну, разве что, по кругу. Только как-то странно называть направлением движения постоянно меняющееся... направление. Касательный вектор в данном случае эквивалентом не является.

С точки зрения обитателей сферы, проблема направления выглядит ещё более странно. Например, все без исключения векторы на полюсе сферы имеют одно и то же направление - на смежный полюс. Но они, понятно, друг с другом не сливаются, это разные векторы. Как ни перемещай любой из них на другой полюс, вектор обязательно изменит своё направление - на предыдущий полюс. Выходит, правы цитированные авторы: сравнивать векторы нет никакой возможности? Но в этом случае так же теряет смысл и всякий перенос векторов в искривлённом пространстве. Выходит, что вектор, перемещённый в новую точку, не имеет с исходным вектором ничего общего. Кроме модуля. Иначе говоря, в процессе перемещения вектора он теряет одно из своих определяющих свойств: направленность. Формально он превратился в скаляр, хотя в новой точке у него всё-таки явно есть какое-то направление, новое. Действительно, ситуация выглядит весьма странно. Чтобы разобраться в ней, произведём тестовый перенос на сфере некоторого вектора с соблюдением правила "эквиугловой-геодезическая".

Рассмотрим две точки на поверхности сферы. Пусть одна будет на полюсе, а вторая находится на удалении от неё. Между этими двумя точками и, добавим, между двумя любыми точками, мы можем провести наикратчайшую - геодезическую. В каждой из этих точек строим по вектору. Напомним: каждый из построенных векторов обязательно является отрезком какой-либо геодезической, отрезком большого круга, то есть, отрезком кривой линии. Никакие касательные к сфере пространства, плоскости эти вектора вместить не могут: они будут, так сказать, "выпирать" из этих плоскостей. Но и проекции векторов на эти касательные пространства к нашим векторам имеют крайне отдалённое отношение, имея с ними лишь по одной общей точке. Вопрос, таким образом, состоит в том, как сравнить эти два криволинейных вектора.

Если отбросить различие в их направлениях, то два отрезка больших кругов, векторов в нашем случае, вполне могут иметь одну и ту же скалярную длину. Для определённости постулируем это. Следовательно, вопрос формулируется чуть короче: как сравнить направления этих криволинейных отрезков, отрезков больших кругов? Каждый из векторов, повторим, сливается с той или иной геодезической, большим кругом сферы. Все эти круги, геодезические имеют между собой раз и навсегда заданный угол в точке пересечения. В том числе, углы предопределены попарно так же и между тремя геодезическими: теми, на которых лежат наши вектора, и геодезической, соединяющей их начала, заданные нами точки.

Любой большой круг сферы мы можем вращать вокруг оси, ортогональной к плоскости любого другого большого круга. При этом в точке пересечений этих двух кругов угол будет всегда один и тот же. Это очевидно просто в силу симметрии. Такое вращение можно назвать эквиугловым для вектора, находящегося в точке пересечения геодезических и лежащего на одной из них.

Вращая этим способом один из векторов с его "персональной" геодезической мы обязательно рано или поздно коснёмся их точкой пересечения другой точки. Но эта другая точка - начало второго вектора и теперь уже его "персональной" геодезической. Иначе говоря, оба вектора своими началами, своими начальными точками совместились.

В процессе вращения кругов мы ничего на поверхности сферы не меняли, сохранились все углы между всеми парами участников "вектор-геодезическая", угол между которыми по определению равен нулю, и два угла: "геодезическая между точками" и две "персональные" геодезические.

Далее идёт элементарная арифметика: суммарный угол между векторами однозначно определяется их углами относительно геодезической между точками, линии переноса. Сколько бы мы ни вращали "измеряемый" вектор с его геодезической, при совмещении его со второй, целевой точкой угол между ним и вторым вектором всегда будет определяться этой элементарной арифметикой и всегда будет одним и тем же.

Сначала заметим, что возможный вопрос-возражение: "почему мы вращаем вектор именно вдоль этой геодезической, а не по какой-нибудь другой или по ломаной?" не имеет под собой никаких оснований. Главное: мы используем для переноса вектора наикратчайшую линию, геодезическую, которая на сфере является единственной и наипростейшей.

А теперь решающий вопрос: образовавшийся в результате такого замысловатого вращения угол между двумя векторами, что это за угол? Каков его смысл? Совершенно точно, этот результирующий угол предопределён как исходным углом перемещаемого вектора, так и углом вектора в точке назначения. Поскольку эти два угла, по сути, тождественны соответствующим направлениям векторов, то так и спросим: что означают направления двух совмещённых векторов, разные в общем случае? Очевидно, что возможен и частный случай, когда два вектора в целевой, конечной точке совместятся.

В любом случае некое "привязанное" к поверхности сферы направление переносимого вектора однозначно связано с углом между его перенесённой копией и вектором в конечной точке. Но пока по-прежнему неясно, как именно всё-таки сравнить, количественно, например, в градусах эти два направления, исходные направления двух векторов. Очевидным решением является введение какой-то системы координат, в которой эти направления можно будет охарактеризовать конкретными числами. Но здесь возникает некоторая неопределённость. Использовать декартову, прямолинейную систему координат на искривлённом многообразии, как утверждается [14, с.60], невозможно. Использование же обычной для сферы системы координат в виде меридианов и параллелей также имеет серьёзный недостаток. Любой вектор, описанный в этих координатах, будет иметь разную длину, в зависимости от того в какой точке сферы он находится. Например, на рис.3.1a векторы A и B имеют одинаковую "координатную" длину: два меридиана в ширину и две параллели в высоту. Однако отчётливо видно, что их длины при этом - разные. Одной из причин этого различия является то, что в зависимости от параллели расстояния между меридианными точками различаются. На экваторе интервал между соседними меридианами намного больше, чем вблизи от полюса. Но тогда, может быть, система координат параллель-параллель исправит ситуацию? Между всеми параллелями на поверхности сферы всегда одно и то же геометрическое расстояние. То есть, параллели можно назвать эквидистантными кривыми. Однако нет, этот приём также не приводит к желаемому результату. На том же рис.3.1b видим, что такие же два вектора A и B имеют визуально разную длину, хотя в параллелях каждый из них является диагональю квадрата со сторонами, равными одной параллели.


Рис.3.1. В традиционных меридиан-параллель и в специальных параллель-параллель координатах поверхности сферы длина вектора зависит от его положения на сфере


И всё-таки проблема имеет решение. Нужно просто использовать сферическую систему координат. Заметим, что эта система описывает трёхмерное пространство, а мы рассматриваем векторы на двухмерной поверхности. Но это не должно быть препятствием, поскольку изначально эту двухмерную поверхность мы рассматриваем именно как находящуюся в пространстве погружения - трёхмерном евклидовом пространстве. Условные обитатели двухмерного мира вполне могут исследовать недоступную им для наблюдения третью координату этой выбранной системы координат. Точно так же, как мы исследуем недоступную для наблюдения в нашем трёхмерном мире четвёртую пространственную координату. Систему координат пространства погружения, разумеется, мы также вольны выбрать из соображений удобства.

Мы будем использовать совместно декартову и частично сферическую системы координат. Координаты всех точек двухмерного многообразия, сферы описываются в декартовой системе уравнением x2+y2+z2 = R2. Каждый вектор, например, векторы A и B на рис.3.2 мы будем задавать декартовыми координатами их начала и конца. Строго говоря, это не обязательно, но мы считаем это более удобным. Для того чтобы длина вектора была неизменной при его нахождении в любой области сферы, мы задаём правило: векторное произведение радиус-векторов этих двух точек создаваемого вектора должно быть неизменным. Поскольку длины радиус-векторов неизменны и равны радиусу сферы, то неизменным становится и синус угла между ними, то есть, угол. Такое определение, назначение длины вектора можно назвать угловой длиной вектора. На рисунке рис.3.2 приведён пример перемещения вектора A по поверхности сферы до совмещения его начальной точки с начальной точкой другого вектора - B.

Векторы A и B на рисунке образованы радиус-векторами сферы, каждый из которых задаёт точку на её поверхности. Например, вектор A начинается в точке сферы, определяемой радиус-вектором r1(x1, y1, z1), а заканчивается в точке сферы, определяемой радиус-вектором r2(x2, y2, z2). При любом перемещении этого вектора по поверхности сферы его длина остаётся неизменной, что обеспечивается неизменностью угла между радиус-векторами r1 и r2. Картину перемещения вектора A мы наблюдаем из пространства погружения, причём на рисунке нам видна внутренняя сторона поверхности сферы. Такой вид мы выбрали для того, чтобы были видны радиус-векторы r1 - r6. Между началами векторов A и B проводится обязательная единственная геодезическая, Принимаем, что при переносе по ней вектора A угол между ним и этой линией переноса был неизменным, то есть, перенос был эквиугловым.

Очевидно, что перемещение вектора A называть параллельным мы не имеем права - никаких параллелей здесь не просматривается. В качестве линии переноса мы могли бы выбрать произвольную линию, но мы используем правило - переносить только по геодезическим. Такой геодезической на рисунке является большой круг, проходящий через начальные точки векторов - r1 и r3. Понятно, что в процессе переноса вектор A мог вращаться вокруг своей начальной точки, но мы вновь придерживаемся правила: угол между вектором A и линией переноса оставляем неизменным и равным его начальному значению. И теперь зададимся вопросом: есть ли какие-либо факторы, способные привести к разным значениям конечного угла между векторами A и B? Более того, сразу же после проведения геодезической между точками r1 и r3 нам становятся известны два угла: углы векторов A и B относительно линии переноса, геодезической.


Рис.3.2. Перемещение вектора A по поверхности сферы в положение A' до совмещения его начала с началом вектора B. Длина вектора A при перемещении остаётся неизменной. Вид на поверхность сферы изнутри.


Система координат поверхности сферы является сферической, а пространства погружения - декартовой. Между сферическими и декартовыми координатами есть однозначная связь. Это позволяет аналитически определить параметры векторов, необходимые для их перемещения по поверхности сферы. Например, основной, неизменный параметр векторов - их длину - мы установили, предопределили углом между его образующими радиус-векторами. И теперь очень важное замечание: сами эти радиус-векторы позволяют однозначно связать с образованным вектором его направление. Для этого в качестве направления вектора удобно использовать вектор, ортогональный к радиус-векторам рис.3.3. Для выбора из двух возможных, противоположных направлений этого вектора-направления можно использовать традиционное правило буравчика.

Для перемещения мы используем векторы, имеющие одну и ту же длину - угловую длину. Это значит, что все эти векторы имеют векторы направления так же одной и той же длины. Для удобства можно длину вектора направления нормализовать, то есть, принудительно пропорционально изменить декартовы координаты его конца таким образом, чтобы модуль вектора стал равен радиусу сферы. Начало вектора по определению находится в центре сферы.

Таким образом, любой вектор на поверхности сферы имеет однозначно определённое условное направление. Условным направлением мы его называем, потому что геометрически, визуально это направление не является продолжением своего вектора, указывает не туда, не в ту сторону, куда указывает стрелка вектора. Тем не менее, это условное направление изначально является для вектора однозначным, всегда однозначно меняет своё реальное направление при любом перемещении образующего вектора по поверхности сферы и во всех случаях имеет однозначное координатное описание, строго определённые значения координат. Иначе говоря, любой вектор на поверхности сферы имеет длину и направление.


Рис.3.3. Векторы A, B, C, D и E направлены в одну сторону, в сторону, определяемую вектором направления N


Бесспорно, выглядит это странно, необычно. Вектор направления N на рис.3.3 ни с одним из "направляемых" векторов A, B, C, D и E не только не имеет общих точек, он к тому же не принадлежит и поверхности сферы, так же не имея с нею общих точек, и не являясь, в том числе, касательным к сфере вектором. Вместе с тем, следует отметить важную особенность этого вектора направления. Все векторы на рис.3.3 визуально направлены в разные стороны. Кажется, что все они указывают в разные стороны. Конечно, это видимость из пространства погружения. Однако рассмотрим положение некоторого вектора на меридиане. Изначально он указывает, скажем, на север. Двигаясь в этом направлении, вектор доходит до северного полюса, по-прежнему указывая на него, на север. Но что произойдёт, когда вектор встанет точно на северный полюс? Если считать, что магнитный полюс точно совпадает с географическим полюсом, то стрелка компаса в этой точке поведёт себя весьма странно: она будет указывать не на север или юг, а точно под ноги, встав строго вертикально. Но наш вектор в этот момент никуда не перемещался и, строго говоря, не менял своего направления. Более того, достаточно переместиться совсем незначительно, и стрелка компаса развернётся на 180 градусов. Стрелка компаса изменила своё направление, а наш вектор - нет. Вектор не изменил своего направления физически, то есть, если в его роли выступает, скажем, реальный, материальный указатель, стрелка на подставке, то этот указатель не вращался. Скажем, в некотором отдалении мы видим какой-то объект, на который направлен указатель. При смещении вектора на незначительное расстояние он по-прежнему будет направлен на этот указатель, но математически, географически теперь указатель-стрелка, вектор сменили своё направления ровно на 180 градусов. Не вращаясь, вектор развернулся на 180 градусов. Теперь он указывает не на север, а на юг. Конечно, всем понятно, что это географическая условность, вращение вектора при переходе через полюс - условность. Однако при движении вдоль экватора никаких подобных условностей не наблюдается. Вектор всегда будет направлен в одну и ту же сторону - на запад или на восток.

Этими двусмысленностью и условностями не обладает вектор направления N на рис.3.3. Всем векторам на рисунке он "назначил" одно и то же направление, которое неизменно при любых смещениях векторов вдоль соответствующей геодезической. При описанных обозначениях координат векторов через их сферические радиус-векторы любая задача о перемещении вектора имеет простое решение: в конкретных числовых обозначениях мы можем сравнивать любые векторы как по их длине, так и по их направлениям. Разумеется, для такого сравнения необходимо установить, задать нулевые, реперные направления, в качестве которых можно использовать, например, те же декартовы координаты пространства погружения.

Разумеется, можно возразить. Во всех предыдущих рассуждениях мы решительно выступали против использования касательных пространств и векторов, поскольку они не принадлежат поверхности сферы, искривлённой поверхности. Тогда почему здесь, в рассматриваемой модели мы используем вектор, который не только не принадлежит искривлённой поверхности, но и с соотносимыми с ним векторами вообще не имеет общих точек. Выглядит как двойные стандарты.

Отчасти это возражение имеет основания. Но сравним связи векторов на поверхности с этими двумя объектами: вектором направления и касательными. Вектор направления всегда связан с интуитивно определяемым направлением вектора. При любом перемещении некоторого вектора по геодезической, его направление считается неизменным, и таким же неизменным остаётся и вектора его направления. Напротив, касательные вектора и касательные плоскости в этой же ситуации ведут себя, мягко говоря, странно. При перемещении вектора каждый раз они указывают на новое направление, куда-то "в небо". Даже на каждое частное направление вектора - на полюс или на запад-восток - эти касательные вектора явно не указывают. Более того, если вектор направления для всех векторов на геодезической один и тот же, то касательные для каждого вектора - собственные и, соответственно, отличаются друг от друга. Таким образом, очевидно, что информативность вектора направления в нашей модели более соответствует ситуации, нежели информативность касательных векторов.

С другой стороны, отсутствие общих точек у вектора на поверхности и вектора направления можно считать относительным. Оба вектора исходят с поверхности большого круга сферы, фактически являясь его производными. Эта общая природа векторов имеет как следствие и жёсткую, нерасторжимую аналитическую связь между ними.

Добавим, что данный формализм определения направлений векторов применим к любым искривлённым пространствам. Рассмотрим, например, волнообразную поверхность на рис.3.4. Вектор направления N заданного вектора A - это вектор, являющийся векторным произведением радиус-векторов r1(x1, y1, z1) и r2(x2, y2, z2) начала и конца, формирующих этот заданный вектор. Длина вектора направления N равна произведению длин радиус-векторов r1 и r2, умноженному на синус угла между ними. Из этого определения следует очевидный вывод: евклидов вектор, строго прямая линия не имеет сопутствующего вектора направления в выбранной нами сферической системе координат. Действительно, хотя для прямой линии мы можем обозначить длины радиус-векторов его концов бесконечной длины, но в евклидовом пространстве по определению они будут параллельными линиями, то есть, формально в этом случае угол между ними должен быть принят тождественно равным нулю. Отсутствие вектора направления в назначенных координатах следует считать признаком отсутствия кривизны вектора.


Рис.3.4. Волнообразная, "мятая" плоскость для внутреннего наблюдателя является плоской, для внешнего - искривлённой.


Однако на рис.3.4 мы видим, что на волнообразной плоскости вектор направления N вектора A в выбранной точке этой плоскости определённо не равен нулю. Возникает двусмысленная ситуация. Для обитателей на волнообразной двухмерной плоскости их мир является строго плоским, евклидовым. Никакими измерениями эти обитатели не смогут определить локальную кривизну своего мира. Сумма углов треугольника всегда будет равна 180 градусам, а параллельный перенос вектора всегда будет сохранять его направление.

С другой стороны: в трёхмерном пространстве погружения мы явно видим, что эта волнообразная, "мятая" поверхность определённо искривлена. Также видно, что на этой двухмерной поверхности прямыми линиями, евклидовыми геодезическими являются только линии, расположенные поперёк волн.

Эти наблюдения высвечивают ещё одну весьма интересную проблему. Считается, что поверхности цилиндра и конуса - плоские, хотя и с некоторыми оговорками. Однако предложенная модель координат и способ построения векторов на этих поверхностях приводят к неожиданному выводу: поскольку существует множество векторов, имеющих ненулевой вектор направления N, эти поверхности конуса и цилиндра являются на самом деле искривлёнными. На цилиндре этот вектор направления максимален вдоль оси цилиндра, а нулевым является только вдоль его радиуса.


Парадокс рецессии


Таким образом, процедура сравнения векторов сводится к двум операциям: a) измерению их длины, модулей и b) измерению их углов относительно геодезической, проходящей через их начальные точки. После этого производится простое сопоставление числовых или геометрических значений этих величин. Утверждение о невозможности такого сравнения, сопоставления является ошибочным. Тем не менее, рассмотренные утверждения о невозможности сравнения векторов получили довольно интересное расширенное толкование:

"В космологии ... очень заманчиво сказать, что галактики "удаляются от нас" со скоростью, определяемой их красным смещением. ... галактики не удаляются, поскольку понятие их скорости по отношению к нам четко не определено" [3, с.64; 2, c.104].

Утверждение, заметим, весьма радикальное, поскольку помимо вопросов перемещения векторов отвергает и фундаментальное положение теории Большого Взрыва. Формально заявлено, что Вселенная не расширяется. Правда, это утверждение входит в некоторое противоречие со следующим в цитате: "не удаляются", но "четко не определено". Нечёткое определение не может служить основанием для радикальной трактовки. Отрицание удаления галактик на основании неопределённости понятия об их скорости относительно нас, наблюдателей, мы считаем ошибочным. Тем более что понятие относительной скорости в описанной ситуации мы считаем строго, чётко определённым.

Следующее далее в цитате пояснение этого расширенного толкования и радикальной трактовки об отсутствии удаления галактик выглядит не менее спорным, чем само толкование.

"На самом деле происходит то, что метрика пространства-времени между нами и галактиками изменилась (Вселенная расширилась) на пути фотона отсюда туда, что привело к увеличению длины волны света" [3, с.65; 2, c.104].

Конечно, наши возражения можно назвать лингвистическим спором. Тем не менее: следует ли отличать, различать, считать разными явлениями увеличение расстояния до галактик вследствие расширения Вселенной, пространства и их удаление от нас. В сущности это одно и то же.

"В качестве примера того, как вы можете ошибиться, наивное применение формулы Доплера к красному смещению галактик подразумевает, что некоторые из них удаляются быстрее света, что явно противоречит теории относительности" [там же].

Что же выходит? Использование эффекта Доплера, наблюдение красных и прочих смещений, космологические измерения скорости удаления галактик, скорости расширения Вселенной, присуждение нобелевской премии за открытие ускоренного расширения Вселенной, поиски тёмных материй и энергий, всё это впустую? Вовсе нет. Ссылка в цитате на теорию относительности в данном случае неверна. Галактики удаляются условно, гипотетически, визуально вследствие расширения пространства, поэтому никакого сверхсветового противоречия нет. Такое удаление галактик, включая якобы и сверхсветовое, как признаётся всеми, а косвенно далее отмечено и в цитате, не считаются реальным, физическим движением. Буквально, галактики удаляются, оставаясь неподвижными. Заметим, что галактики, удаляющиеся быстрее скорости света, не могут наблюдаться в принципе.

"Разрешение этого очевидного парадокса просто в том, что само понятие их рецессии не следует понимать буквально" [там же].

Да, действительно, удаление галактик, рецессию следует понимать с оговоркой, что физическим движением они не являются. В этой связи заметим, что такой подход к "неподвижному удалению" галактик заметно противоречит гипотезе о тёмной энергии, якобы "расталкивающей" галактики. Это расталкивающее усилие определённо означает приведение галактик в реальное, физическое движение, причём с ускорением. При таком подходе сверхсветовое разбегание галактик, противоречащее теории относительности, уже нельзя сбрасывать со счетов.

С другой стороны, трактовке процесса как рецессии, физического разбегания галактик это "неподвижное движение" не противоречит. Длина волны фотона увеличилась не просто так. Фотон движется к нам строго вдоль геодезической, являющейся наикратчайшей линией. Расстояние между галактиками вдоль геодезических увеличилось не мгновенно, а постепенно, что эквивалентно движению их относительно друг друга. Увеличение длины волны полученного нами фотона в точности соответствует скорости нашего "убегания" от него. Согласно трактовке эффекта Доплера, не имеет значения, кто от кого удаляется: источник от приёмника или приёмник от источника. Изменение, увеличение длины волны в этих двух ситуациях одно и то же. Поскольку скорость фотона неизменна, увеличение длины его волны характеризует только скорость разбегания источника и приёмника.

Конечно, по большому счету применение формулы Доплера следует считать всё-таки несколько условным. Можно сказать, что доплеровские измерения определяют не скорость удаления галактик, а увеличение длины геодезической между ними и наблюдателями за время движения фотонов. При этом нет никаких оснований отвергать трактовку такого увеличения длины геодезической как скорости взаимного удаления объектов на её концах. Несмотря на несущественную условность этой трактовки, она даёт хорошие, осмысленные результаты через связь между расстоянием до источника по его яркости и увеличению длины волны.

Кроме того, к галактикам, якобы удаляющимся быстрее света, формула Доплера и не применяется, причём не потому, что физически это движение невозможно. Такие галактики не наблюдаемы, поэтому не существует в принципе и, соответственно, не регистрируется такое красное смещение, при котором скорость могла бы трактоваться как сверхсветовая.

Есть высказывания, что теория Большого Взрыва - плохая теория, но у нас нет ничего лучше (вообще-то, есть [48, с.9]). То же самое, видимо, можно сказать и о красном смещении и доплеровских измерениях. Вероятно, их обоснованность кому-то покажется недостаточной, однако общая картина реальности, созданная с их применением, строго взаимосвязана, непротиворечива внутренне и не противоречит наблюдениям. "Очевидный парадокс" рецессии является иллюзорным. Нет никакого парадокса, определение понятия скорости удаления галактик по отношению к нам является чётким, определённым и в пределах доступной точности - однозначным.

Заключение

На искривлённых поверхностях не существует параллельных линий и, следовательно, никакой перенос вектора не может быть параллельным. Из этого прямо следует: параллельный перенос вектора  в рамках пространства не может служить индикатором кривизны пространства, в частности, на поверхности сферы. Подобное несоответствие возникает и на поверхности Лобачевского. Это справедливо в отношении любой искривленной поверхности.

Любой перенос вектора, лежащего в плоскости, касательной к искривлённой поверхности, может свидетельствовать только об искривлении пространства погружения, то есть, пространства, в котором находятся как искривлённая поверхность, так и касательная плоскость с вектором. Параллельный перенос касательного вектора в E3 пространстве погружения Евклида всегда сохраняет его направление. Такой касательный вектор не принадлежит искривлённому пространству и имеет с ним только одну общую точку - начало вектора.

Исследование кривизны пространства возможно с использованием эквиуглового перемещения вектора, то есть, его перемещения с сохранением угла относительно линии переноса. Линией переноса обязательно должна быть геодезическая. Если эта линия замкнута и не имеет излома, то вектор вернётся в исходную точку без поворота и точно совпадёт со своим исходным направлением. Если геодезическая переноса имеет излом, то вектор изменит своё направление на величину угла в точке излома геодезической.

Использование для переноса вектора произвольной, не геодезической линии, в том числе, путём аппроксимации произвольной линии бесконечно малыми отрезками геодезических, приводит к невозможности визуализации как параллельного, так и эквиуглового переноса.

Перенос вектора по произвольной замкнутой траектории или по разным путям с сохранением угла к линии переноса может привести к изменению его направления в любом пространстве, в том числе на плоскости Евклида.

На поверхности конуса геодезическая - евклидова прямая линия - может пересекать саму себя, то есть, быть замкнутой прямой линией с изломом. Перенос вектора по замкнутому контуру на такой плоской поверхности приведёт к его повороту.

В качестве линии разреза конуса для формирование его развёртки может использоваться как его образующая, так и любая, произвольная линия.

Ошибочным является утверждение о принципиальной невозможности сравнивания векторов, что можно буквально трактовать как бессмысленность вообще каких-либо недеформирующих переносов векторов в пространстве.

Утверждение о возникновении ошибок вследствие  "наивного" применения формулы Доплера к красному смещению галактик само является ошибочным и наивным.

Ошибочным также является и утверждение о том, что галактики не удаляются от нас. Обоснованием этого "очевидного парадокса" рецессии явилось заявленное отсутствие четкого определения понятие их скорости по отношению к нам. Это заявление ошибочно: никакого парадокса нет. В среде космологов, астрономов определение понятия скорости удаления галактик по отношению к нам является чётким, определённым и в пределах доступной точности - однозначным.

Литература

1.   Blau M. Lecture notes on General Relativity \\ Albert Einstein Center for Fundamental Physics Institut fur Theoretische Physik Universitat Bern, CH-3012 Bern, Switzerland, 2017, URL: http://www.blau.itp.unibe.ch/Lecturenotes.html

2.   Carroll S. Spacetime and geometry. An Introduction to General Relativity. University of Chicago, Copyright No 2004 Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley, ISBN 0-8053-8732-3 (hardcover)

3.   Carroll S.M. Lecture Notes on General Relativity, arXiv:gr-qc/9712019v1 3 Dec 1997

4.   Ekhammar S., Erkensten D., Lassila M., Nilsson T. From Black Holes to Wormholes in Higher Spin Gravity. 2+1-dimensional gravity in a Chern-Simons formulation. Department of Physics, Chalmers University of Technology, Gothenburg, Sweden 2017

5.   Gerard 't Hooft Introduction to General Relativity. Institute for Theoretical Physics, Utrecht University and Spinoza Institute, the Netherlands, 2012, URL: https://webspace.science.uu.nl/~hooft101/lectures/genrel_2010.pdf

6.   Hendry M. An Introduction to General Relativity, Gravitational Waves and Detection Principles. University of Glasgow, UK, 2007

7.   Marolf D. Notes on Relativity and Cosmology. Physics Department, Syracuse University, 2003, URL: https://ru.scribd.com/document/38274054/Relativity-and-Cosmology-Notes

8.   Ryder L. Introduction to General Relativity. University of Kent, UK. Cambridge University Press, New York, 2009

9.   Schutz B.F. A First Course in General Relativity. Second Edition. Max Planck Institute for Gravitational Physics. Cambridge University Press, New York, 2009

10.   Straumann N. General relativity : with applications to astrophysics / Norbert Straumann. - Berlin [etc.]: Springer, cop. 2004. - xii, 674 с. : ил., портр.; 25 см

11.   Wald R.M. General relativity. The University of Chicago Press, Chicago and London, 1984. URL: https://www.pdfdrive.com/general-relativity-r-waldpdf-e19758319.html

12.   Александров П.С. Что такое неэвклидова геометрия. - М.: Изд. академии пед. наук РСФСР, 1950.

13.   Беллони Л., Рейна Ч. Прецессия Томаса. Подход Зоммерфельда. В сборнике: Эйнштейновский сборник, 1984 - 1985: Сб. статей. - М.: Наука, 1988.

14.   Бергман П. Загадка гравитации \\Перевод с английского В.А.Угарова. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969

15.   Бергман П.Г. Введение в теорию относительности, с предисловием А. Эйнштейна \\Пер. с анг. П. Кунина и И. Таксара, под редакцией Б. Л. Гинзбурга. - М.: Гос. изд. иностранной литературы, 1947

16.   Бескин В.С. Гравитация и астрофизика. - М.: Физический институт им. П.Н.Лебедева РАН. Учебно-Научный Комплекс, 2007

17.   Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия, - М.: Мир, 1985. - 400 с.

18.   Богородский А.Ф. Уравнения поля Эйнштейна и их применение в астрономии. Изд-во Киевского университета, 1962 г.

19.   Введение в общую теорию относительности, ее современное развитие и приложения : [учеб. пособие] / С. О. Алексеев, Е. А. Памятных, А. В. Урсулов, Д. А. Третьякова, К. А. Ранну; М-во образования и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. - Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2015. - 380 с. ISBN 978-5-7996-1584-0

20.   Вебер Дж. Общая теория относительности и гравитационные волны. \\ Пер. с анг. Н. Мицкевича. Под редакцией проф. Д. Иваненко. - М.: Изд. иностранной литературы, 1962.

21.   Вейль Г. Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности: Пер. с нем. Изд. 2-е, испр. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 456 с.

22.   Вергелес С.Н. Лекции по теории гравитации. Учебное пособие. - М., МФТИ, 2001.- 428с.

23.   Владимиров Ю.С. Классическая теория гравитации: Учебное пособие. -- М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009, 264 с.

24.   Гильберт Д. "Основания геометрии", пер. с 7-го немецкого издания И.С.Градштейна, Москва - Ленинград, ОГИЗ, Гос. изд. тех.-теор. лит-ры, 1948 г.

25.   Горбунов Д.С., Рубаков В.А. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва. - М.: Издательство ЛКИ, 2008. - 552 с., цв. вкл.

26.   Гравитация и относительность. Под редакцией X. Цзю и В. Гоффмана. Пер. с анг. Д.В.Белова и И.В.Мицкевича под редакцией А.3.Петрова. - М.: Изд. "Мир", 1965 г.

27.   Гуревич Л.Э., Чернин А.Д. Общая теория относительности в физической картине мира. Гравитация, космология, космогония, М.- "Знание", 1970, 62 стр.

28.   Евклид "Начала", книги I-VI, пер. с греч. и комментарии Д.Д.Мордухай-Болтовского, ОГИЗ, Гос. изд. тех.-теор. лит-ры, Москва - Ленинград, 1950 г.

29.   Зельдович Я.Б., Блинников С.И., Шакура Н.И. Физические основы строения и эволюции звезд, МГУ, 1981

30.   Зельманов А.Л., Агаков В.Г. Элементы общей теории относительности. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.

31.   Иваненко Д.Д, Сарданашвили Г.А. Гравитация / Отв. ред. П.И.Фомин. Изд. 5-е. - М.: Издательство ЛКИ, 2012, 200с.

32.   Катанаев М.О. Лекции по общей теории относительности. Математический институт имени В. А. Стеклова Российской Академии Наук, 2018 г. URL: http://www.mathnet.ru/supplement/conf/1354/lecture10.pdf

33.   Кауфман Уильям Дж. Космические рубежи теории относительности. М.: "Мир", 1981, 352 с.

34.   Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. П. Теория поля. - 8-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 536 с. - (Т. II).

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. П. Теория поля.-- 7-е изд., испр.-- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 512 с. -- ISBN 5-02-014420-7 (Т. II).

35.   Мёллер К. Теория относительности. Изд. 2-е. Пер. с англ. Под ред. проф. Д. Иваненко. М., Атомиздат, 1975, 400 с.

36.   Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация, т.1-3. - М.: "Мир", 1977

37.   Никулин В.В., Шафаревич И.Р. Геометрии и группы. - М.: Наука, 1983, - 240 с.

38.   Парадоксы параллельности, Самиздат, URL: http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/paraldox.shtml

39.   Парадоксы параллельности. Часть 1, Самиздат, URL: http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/paraldox1.shtml

40.   Парадоксы параллельности. Часть 2, Самиздат, URL: http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/paraldox2.shtml

41.   Парадоксы параллельности. Часть 3, Самиздат, URL: http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/paraldox3.shtml

42.   Параллельные прямые, Википедия, URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Параллельные_прямые

43.   Параллельные прямые, Математический справочник, URL: http://dict.scask.ru/index.php?id=1177

44.   Паули В. Теория относительности: Пер. с нем. и англ. - 3-е изд., испр./Под род. В. Л. Гинзбурга и В. П. Фролова,-- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. (Б-ка тсор. физики). - 328 с - ISBN 5-02-014346-4.

45.   Пенроуз Р. Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики: Пер. с англ. / Общ. ред. В.О.Малышенко. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 384 с.

46.   Пенроуз Р. Путь к реальности или законы, управляющие Вселенной. Полный путеводитель. \\ Пер. с анг. А.Р.Логунова и Э.М.Эпштейна, R&C, Москва, Ижевск, 2007

47.   Петров А.Н. Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор. Фрязино: "Век 2", 2013. - 320 с.

48.   Путенихин П.В. Логические основания многомерных пространств. -- Саратов: "АМИРИТ", 2018. - 396 с., цв. илл., ISBN 978-5-907035-29-4, URL: https://www.twirpx.org/file/3089642/

https://www.elibrary.ru/item.asp?id=42690781

49.   Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. - М.-Л., ГИТТЛ, 1950

50.   Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. Изд.3. - М., "Наука", 1967. - 664 с., ил.

51.   Сажин М.В. Теория относительности для астрономов. ГАИШ, Москва

52.   Синг Дж.Л. Общая теория относительности. \\ Пер. с анг. Б.Т.Вавилова. Под редакцией А.3.Петрова. - М.: Изд. иностранной литературы, 1963.

53.   Тайсон Н.Д., Стросс М.А., Готт Д.Р. Большое космическое путешествие. Пер. на рус. ООО Издательство "Питер", 2018

54.   Тейлор Э.Ф., Уилер Дж.А. Физика пространств времени, пер. с анг. Н. В. Мицкевича. Изд. второе, доп. - М.: Мир, 1971, - 320 с.

55.   Торн К.С. Черные дыры и складки времени: Дерзкое наследие Эйнштейна. Перевод с англ. под ред. чл.-корр. РАН В.Б. Брагинского. - М.: Изд. физ.-мат. лит-ры, 2007, 616 с.

56.   Трёхмерное эллиптическое пространство положительной кривизны. Диск и шар Римана, Самиздат, URL: http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/spheriman.shtml

57.   Фейнман Р.Ф., Мориниго Ф.Б., Вагнер У.Г. Фейнмановские лекции по гравитации. \\ Под редакцией Б.Хатфилда. Введение Дж.Прескилла и К.С.Торна. Пер. с анг. д.ф.-м.н. А.Ф.Захарова, Москва, "Янус-К", 2000

58.   Феномен конуса, Самиздат, URL: http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/cone.shtml

59.   Фридман А.А. Мир как пространство и время. Изд. второе. - М.: Изд. "Наука", 1965 г.


28.06.2021 - 29.01.2022